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Ejercicios de Probabilidad
Elisa M. Molanes-L´opez, Depto. Estad´ıstica, UC3M
M´etodos combinatorios
Ejercicio 1. En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Indique de cu´antas maneras puede hacerse esta distribuci´on si:
a) Los premios son diferentes y cada alumno s´olo puede recibir uno.
b) Los premios son diferentes pero cada alumno puede recibir m´as de uno.
c) Los premios son iguales y cada alumno s´olo puede recibir uno. d) Los premios son iguales pero cada alumno puede recibir m´as de uno.
Soluci´on: En los cuatro apartados se trata de buscar de cu´antas maneras posibles se pueden agrupar los 10 alumnos de la clase en grupos de 3 alumnos. Dependiendo de las condiciones de cada apartado, el orden que guarden los alumnos en los grupos ser´a irrelevante o no, y los alumnos podr´an aparecer s´olo una vez o m´as de una vez.
a) Al ser los premios diferentes es importante el orden dentro del grupo. Adem´as, dado que cada alumno s´olo puede recibir un premio, cada alumno s´olo podr´a aparecer una vez en el grupo. Bajo estas condiciones, el n´umero de posibilidades viene dado por variaciones sin repetici´on de 10 elementos tomados de 3 en 3, es decir, hay V^310 = (^) (1010!−3)! = 10 × 9 × 8 = 720 maneras de distribuir los premios. b) Al ser los premios diferentes es importante el orden dentro del grupo. Adem´as, dado que cada alumno puede recibir m´as de un premio, cada alumno podr´a aparecer m´as de una vez en el grupo. Bajo estas condiciones, el n´umero de posibilidades viene dado por variaciones con repetici´on de 10 elementos tomados de 3 en 3, es decir, hay VR^310 = 10^3 = 1000 maneras de distribuir los premios. c) Al ser los premios iguales es irrelevante el orden dentro del grupo. Adem´as, dado que cada alumno s´olo puede recibir un premio, cada alumno s´olo podr´a aparecer una vez en el grupo. Bajo estas condiciones, el n´umero de posibilidades viene dado por combinaciones sin repetici´on de 10 elementos tomados de 3 en 3, es decir, hay C^310 =
3
= (^) 3!(1010!−3)! = 7206 = 120 maneras de distribuir los premios.
d) Al ser los premios iguales es irrelevante el orden dentro del grupo. Adem´as, dado que cada alumno puede recibir m´as de un premio, cada alumno podr´a aparecer m´as de una vez en el grupo. Bajo estas condiciones, el n´umero de posibilidades viene dado por combinaciones con repetici´on de 10 elementos tomados de 3 en 3, es decir, hay CR^310 =
3
3
12! 3!(12−3)! = 220 maneras de distribuir los premios.
Ejercicio 2. ¿De cu´antas maneras se pueden sentar 10 personas en un banco en el que hay 4 sitios disponibles?
Soluci´on: En los grupos de 4 personas ´estas no se pueden repetir y s´ı importa el orden que guardan entre s´ı, de modo que el n´umero de posibilidades viene dado por variaciones sin repetici´on de 10 elementos tomados de 4 en 4, es decir, hay V^410 = (^) (1010!−4)! = 5040 maneras de sentar a 10 personas en un banco en el que hay 4 sitios.
Ejercicio 3. Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen. ¿De cu´antas maneras puede elegirlas? ¿Y si las 4 primeras son obligatorias?
Soluci´on: El orden de las preguntas elegidas no es relevante y adem´as no se puede elegir la misma pregunta varias veces, es decir, las preguntas no se pueden repetir. De modo que hay C^710 = (^) 7!(1010!−7)! = 120 maneras de elegir 7 de entre un total de 10 preguntas. Si las 4 primeras preguntas son obligatorias, el alumno s´olo podr´a elegir libremente 3 de las 6 restantes, de modo que dispone de C 63 = (^) 3!(66!−3)! = 20 maneras posibles de hacer su elecci´on.
Propiedades de la Probabilidad
Ejercicio 1. Sean A 1 , A 2 , y A 3 sucesos tales que A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 = E, A 1 ∩ A 2 = A 1 ∩ A 3 = A 2 ∩ A 3. Si Pr(A 1 ) = 1/4, Pr(A 2 ) = 1/2, y Pr(A 1 ∩ A 2 ) = 1/8, calcule Pr(A 3 ).
Soluci´on: En primer lugar hay que tener en cuenta la f´ormula de la probabilidad de la uni´on de 3 sucesos:
Pr(A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ) = Pr(A 1 ) + Pr(A 2 ) + Pr(A 3 ) − Pr(A 1 ∩ A 2 ) − Pr(A 1 ∩ A 3 ) − Pr(A 2 ∩ A 3 )
Adem´as, teniendo en cuenta que A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 = E y que A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 = A 1 ∩ (A 2 ∩ A 3 ) = A 1 ∩ (A 1 ∩ A 2 ) = (A 1 ∩ A 1 ) ∩ A 2 = A 1 ∩ A 2 , resulta que:
1 = Pr(E) = Pr(A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ) = Pr(A 1 ) + Pr(A 2 ) + Pr(A 3 ) − 2 Pr(A 1 ∩ A 2 ).
De esta igualdad se puede despejar Pr(A 3 ), que es la probabilidad que nos piden:
Pr(A 3 ) = 1 − Pr(A 1 ) − Pr(A 2 ) + 2 Pr(A 1 ∩ A 2 ).
Dado que Pr(A 1 ) = 1/4, Pr(A 2 ) = 1/2, y Pr(A 1 ∩ A 2 ) = 1/8, se concluye que:
Pr(A 3 ) = 1 − (1/4) − (1/2) + 2(1/8) = 1/ 2.
Ejercicio 2. ¿Son ciertas las igualdades siguientes?
a) Pr(A|B) = Pr(A|B) b) Pr(A|B) + Pr(A|B) = 1
Soluci´on:
a) Demostraremos que esta afirmaci´on es falsa por reducci´on al absurdo. Supondremos que es cierta y llegaremos a una contradicci´on por lo que entonces se ha de concluir que la afirmaci´on es falsa. Si A ⊆ B entonces A ∩ B = A y Pr(B|A) = Pr( Pr(A∩AB) )= Pr( Pr(AA)) = 1 6 = 1/2 = Pr(B|A). b) Demostraremos que esta afirmaci´on es verdadera viendo que Pr(A ∩ B) = Pr(A) Pr(B). Por una parte sabemos que Pr(A ∩ B) = Pr(A) Pr(B|A) = (1/4)(1/2) = 1/ 8. Teniendo en cuenta que tambi´en Pr(A ∩ B) = Pr(B) Pr(A|B) resulta que Pr(B) = Pr( Pr(AA∩|BB)) = 11 //^84 = 1/2. De modo que se obtiene que Pr(A) Pr(B) = (1/4)(1/2) = 1/8 = Pr(A ∩ B). c) Por el ejercicio 3 y teniendo en cuenta el apartado b) anterior, se puede concluir que esta afirmaci´on es cierta. d) Esta afirmaci´on es falsa porque sabemos por el apartado b) que la intersecci´on de A con B tiene probabilidad estrictamente positiva (en concreto, Pr(A ∩ B) = 1/ 8 > 0), y por consiguiente dicha intersecci´on ha de ser distinta del suceso imposible (es decir, A ∩ B 6 = ∅). e) Veremos que esta afirmaci´on es falsa.
Pr(A|B) = Pr(A^ ∩^ B) Pr(B)
= Pr(A) Pr(B) 1 − Pr(B)
f) Veremos que esta afirmaci´on es cierta en este caso concreto.
Pr(A|B) + Pr(A|B) = (1/4) + (3/4) = 4/4 = 1.
Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes
Ejercicio 1. Un inversor tiene la posibilidad de realizar inversiones en dos tipos de valores (tipo I y tipo II). La primera vez que invierte no tiene ninguna preferencia. En la segunda ocasi´on, su elecci´on se ver´a influida por el resultado de la primera inversi´on, de modo que si obtiene beneficios en la primera inversi´on, entonces est´a dispuesto a invertir en el mismo tipo de valor, mientras que, en caso contrario, cambiar´a su elecci´on. En cada inversi´on, se sabe que la probabilidad de que obtenga beneficios es del 60 % si invierte en el tipo de valor I y del 80 % si invierte en el tipo de valor II.
a) Calcule la probabilidad de que el inversor obtenga beneficios en la segunda inversi´on. b) Sabiendo que en la segunda inversi´on obtiene beneficios, ¿cu´al es la probabilidad de que en la primera inversi´on hubiese invertido en el tipo de valor I y obtenido beneficios? c) Sabiendo que en la segunda inversi´on obtiene beneficios, ¿cu´al es la probabilidad de que en la primera inversi´on hubiese invertido en el tipo de valor I y no hubiese obtenido beneficios? d) Sabiendo que en la segunda inversi´on obtiene beneficios, ¿cu´al es la probabilidad de que en la primera inversi´on hubiese invertido en el tipo de valor I?
Soluci´on: Definamos los sucesos Iij = ‘el inversor invierte en el tipo de valor i la j-´esima vez que invierte’, y Gj = ‘el inversor gana beneficios en la j-´esima ocasi´on’, siendo i = 1, 2 y j = 1, 2.
a) Los sucesos G 1 ∩ I 11 , G 1 ∩ I 11 , G 1 ∩ I 21 y G 1 ∩ I 21 constituyen una partici´on del espacio muestral. De modo que, usando el Teorema de la Probabilidad Total se sabe que:
Pr(G 2 ) = Pr(G 2 |G 1 ∩ I 11 ) Pr(G 1 ∩ I 11 ) + Pr(G 2 |G 1 ∩ I 11 ) Pr(G 1 ∩ I 11 )
- Pr(G 2 |G 1 ∩ I 21 ) Pr(G 1 ∩ I 21 ) + Pr(G 2 |G 1 ∩ I 21 ) Pr(G 1 ∩ I 21 ),
donde
Pr(G 1 ∩ I 11 ) = Pr(G 1 |I 11 ) Pr(I 11 ) = 0, 6 × 0 ,5 = 0, 3 , Pr(G 1 ∩ I 11 ) = Pr(G 1 |I 11 ) Pr(I 11 ) = (1 − 0 ,6) × 0 ,5 = 0, 2 , Pr(G 1 ∩ I 21 ) = Pr(G 1 |I 21 ) Pr(I 21 ) = 0, 8 × 0 ,5 = 0, 4 , Pr(G 1 ∩ I 21 ) = Pr(G 1 |I 21 ) Pr(I 21 ) = (1 − 0 ,8) × 0 ,5 = 0, 1 ,
Pr(G 2 |G 1 ∩ I 11 ) = Pr(G 2 |I 12 ) = 0, 6 , Pr(G 2 |G 1 ∩ I 11 ) = Pr(G 2 |I 22 ) = 0, 8 , Pr(G 2 |G 1 ∩ I 21 ) = Pr(G 2 |I 22 ) = 0, 8 , Pr(G 2 |G 1 ∩ I 21 ) = Pr(G 2 |I 12 ) = 0, 6.
De modo que, la probabilidad pedida es
Pr(G 2 ) = 0 , 6 × 0 ,3 + 0, 8 × 0 ,2 + 0, 8 × 0 ,4 + 0, 6 × 0 ,1 = 0, 72.
b) Nos piden Pr(G 1 ∩ I 11 |G 2 ). Por el Teorema de Bayes se sabe que
Pr(G 1 ∩ I 11 |G 2 ) = Pr(G 2 |G 1 ∩ I 11 ) × Pr(G 1 ∩ I 11 ) Pr(G 2 ) =
0 , 6 × 0 , 3
0 , 72 = 0,^25.
c) Nos piden Pr(G 1 ∩ I 11 |G 2 ). Por el Teorema de Bayes se sabe que
Pr(G 1 ∩ I 11 |G 2 ) = Pr(G 2 |G 1 ∩ I 11 ) × Pr(G 1 ∩ I 11 ) Pr(G 2 ) = 0 ,^8 ×^0 ,^2 0 , 72
=^0 ,^16
c) Nos piden Pr(I 11 |G 2 ). Dado que el suceso I 11 se puede escribir como la uni´on de dos sucesos disjuntos, es decir, I 11 = (G 1 ∩ I 11 ) ∪ (G 1 ∩ I 11 ), se concluye que:
Pr(I 11 |G 2 ) = Pr(G 1 ∩ I 11 |G 2 ) + Pr(G 1 ∩ I 11 |G 2 ) = 0,25 + 0,22 = 0, 47.
Ejercicio 2. Considere el siguiente sistema formado por 7 componentes (C1, C2,... y C7) que fun- cionan independientemente unos de otros y cuya respectiva probabilidad de funcionar correctamente es de 0,96, 0,90, 0,93, 0,55, 0,55, 0,55 y 0,55.
a) ¿Cu´al es la probabilidad de que el sistema funcione correctamente? b) ¿Cu´antos componentes con probabilidad de funcionar igual a 0,55 ser´an necesarios agregar al subsistema formado por los componentes C4, C5, C6 y C7 para lograr una fiabilidad total de al menos 0.91?
De modo que para alcanzar una fiabilidad de al menos 0,91 ser´a necesario a˜nadir en paralelo dos componentes m´as a ese subsistema final.
c) Nos piden Pr(F 1 |(F 1 , 2 ∩ F 3 ∩ F 4 , 5 , 6 , 7 )). Por el Teorema de Bayes se verifica que:
Pr(F 1 |(F 1 , 2 ∩ F 3 ∩ F 4 , 5 , 6 , 7 )) = Pr(F^1 ,^2 ∩^ F^3 ∩^ F^4 ,^5 ,^6 ,^7 |F^1 ) Pr(F^1 ) Pr(F 1 , 2 ∩ F 3 ∩ F 4 , 5 , 6 , 7 )
Del enunciado sabemos que Pr(F 1 ) = 0, 96 y del apartado a) sabemos que Pr(F 1 , 2 ∩ F 3 ∩ F 4 , 5 , 6 , 7 ) = 0, 8883. Calculemos ahora la probabilidad que nos falta, Pr(F 1 , 2 ∩ F 3 ∩ F 4 , 5 , 6 , 7 |F 1 ). Teniendo en cuenta que F 1 , 2 ∩ F 3 ∩ F 4 , 5 , 6 , 7 |F 1 = F 3 ∩ F 4 , 5 , 6 , 7 , resulta que:
Pr(F 1 , 2 ∩ F 3 ∩ F 4 , 5 , 6 , 7 |F 1 ) = Pr(F 3 ∩ F 4 , 5 , 6 , 7 ) = 0,93(1 − (0,45)^4 ) = 0, 8919.
Con todo ello se concluye que Pr(F 1 |(F 1 , 2 ∩ F 3 ∩ F 4 , 5 , 6 , 7 )) = 0 ,^89190 , 8883 ×^0 , 96 = 0, 9639.
