EJERCICIOS COORDENADAS POLARES
1. Determine las coordenadas cartesianas del punto (2, −2𝜋/3) y las coordenadas polares
del punto (3√3, 3).
Solución: 𝑷(𝟐,−𝟐𝝅/𝟑)= (−𝟏,−√𝟑) y 𝑷(𝟑√𝟑, 𝟑) = (𝟔,𝝅/𝟔)
2. Identifique la curva encontrando una ecuación cartesiana para la curva polar
𝑟2=cos(2𝜃) = 1.
Solución: La curva polar 𝒓𝟐𝐜𝐨𝐬(𝟐𝜽)= 𝟏 en coordenadas cartesianas representa la
hipérbola 𝒙𝟐− 𝒚𝟐= 𝟏.
3. Encuentre una ecuación polar para la curva 𝑥𝑦 = 4.
Solución: La ecuación cartesiana 𝒙𝒚 = 𝟒 representa la curva polar 𝒓𝟐= 𝟒𝐬𝐞𝐜𝜽𝐜𝐬𝐜 𝜽
4. Bosqueje la curva 𝑟 = 4 sin(3𝜃) de la ecuación polar, graficando primero 𝑟 como
función de 𝜃 en coordenadas cartesianas.
Solución: La curva polar 𝒓 = 𝟒𝐬𝐢𝐧𝟑𝜽 representa una flor de 3 pétalos.
5. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva polar 𝑟 = cos 2𝜃 en 𝜃 = 𝜋/4.
Solución: 𝒅𝒚
𝒅𝒙|𝜽=𝝅/𝟒 = 𝟏
6. Determine los puntos donde la recta tangente es horizontal o vertical para la curva polar
𝑟 = 1 + cos 𝜃.
Solución: Horizontal en (𝟑
𝟐,𝝅
𝟑),(𝟎,𝝅),(𝟑
𝟐,𝟓𝝅
𝟑). Vertical en (𝟐,𝟎),(𝟏
𝟐,𝟐𝝅
𝟑),(𝟏
𝟐,𝟒𝝅
𝟑)
7. Dadas dos curvas polares 𝑟 = 𝑓1(𝜃) y 𝑟 = 𝑓2(𝜃), sus puntos de intersección se hallan
resolviendo el sistema: 𝑓1(𝜃)= 𝑓2(𝜃) . Encuentre los puntos de intersección de las
siguientes curvas polares:
a) 𝑟 = 1 + sin𝜃 y 𝑟 = 5 − 3sin𝜃. Solución: Punto de intersección: (𝟐,𝝅/𝟐)
b) 𝑟 = cos2𝜃 y 𝑟 = cos𝜃 . Solución: Puntos de intersección:
(−𝟏
𝟐,𝟐𝝅
𝟑),(−𝟏
𝟐,𝟒𝝅
𝟑),(𝟏,𝟎),(𝟏,𝟐𝝅)
8. Encuentre el área que encierra la curva polar 𝑟 = √1 + cos2(5 𝜃).
Solución: 𝑨 = 𝟑
𝟐𝝅 𝒖𝟐
9. Hallar el área limitada por la curva 𝑟 = 2 + cos𝜃.
Solución: 𝑨 = 𝟗𝝅
𝟐 𝒖𝟐
