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Algebra. 2004-2005. Ingenieros Industriales.
Departamento de Matem´atica Aplicada II. Universidad de Sevilla.
Tema 11.- Autovalores y Autovectores.
Definici´on, propiedades e interpretaci´on geom´etrica. La ecuaci´on caracter´ıstica.
Matrices diagonalizables.
Autovalores y autovectores complejos.
A lo largo de todo el tema trataremos esencialmente con matrices cuadradas reales (aunque muchos de los resul-
tados que veamos tambi´en ser´an v´alidos para el caso de matrices cuadradas complejas). De todos modos, aunque se
trabaje con matrices reales, ser´a imprescindible hacer referencia a los n´umeros complejos puesto que un polinomio con
coeficientes reales puede tener ra´ıces complejas no reales.
Autovalores y Autovectores: Definici´on y propiedades.
Definici´on. Sea A una matriz cuadrada de orden m. Diremos que un escalar λ ∈ K (= R o C) es un autovalor de A
si existe un vector v ∈ K
m , v 6 = 0 tal que Av = λv, en cuyo caso se dice que v es un autovector de A asociado al
autovalor λ.
Proposici´on. Sea λ un autovalor de A y v un autovector asociado, entonces:
- αλ es un autovalor de αA con autovector v.
- (λ − μ) es un autovalor de A − μI con autovector v.
- λ k es un autovalor de A k con autovector v.
- Si q(·) es un polinomio, entonces q(λ) es un autovalor de q(A) con autovector v. (Ejemplo: 3λ 3 + 5λ 2 − 7 λ + 2
es un autovalor de la matriz 3A 3
- Si A tiene inversa, entonces λ 6 = 0 y λ − 1 es un autovalor de A − 1 con autovector v.
Definici´on. Sea A una matriz m × m y sea λ 0 un autovalor de A. Se llama:
(a) Multiplicidad algebraica de λ 0 , y se denota por ma(λ 0 ), a la multiplicidad de λ 0 como ra´ız del polinomio
caracter´ıstico p(λ) = det(A − λI) de A. Es decir, p(λ) puede factorizarse como
p(λ) = (λ − λ 0 )
ma(λ 0 ) q(λ),
siendo q(λ) un polinomio (de grado m − ma(λ 0 )) que no se anula para λ 0 , q(λ 0 ) 6 = 0.
(b) Multiplicidad geom´etrica de λ 0 , y se denota por mg (λ 0 ), a la dimensi´on del espacio nulo de A − λ 0 I,
dim [Nul (A − λ 0 I)] = m − rango [(A − λ 0 I)].
Es decir, la multiplicidad geom´etrica coincide con el n´umero (m´aximo) de autovectores linealmente independientes
asociados al autovalor.
Lo ´unico que se puede afirmar en general sobre la relaci´on entre las multiplicidades algebraica y geom´etrica de un
autovalor de una matriz viene dado por el siguiente resultado.
Lema. Sea λ 0 un autovalor de una matriz A, entonces 1 ≤ mg (λ 0 ) ≤ ma(λ 0 ).
Proposici´on. Sea A una matriz m × m y sean λ 1 , λ 2 ,... , λm sus m autovalores (cada uno aparece tantas veces como
indique su multiplicidad algebraica) entonces:
su polinomio caracter´ıstico es p(λ) = (−1) m (λ − λ 1 )(λ − λ 2 ) · · · (λ − λm).
el determinante de A coincide con el producto de los autovalores: det(A) = λ 1 λ 2 · · · λm.
la traza de A coincide con la suma de los autovalores:
tr(A) := a 11 +... + amm = λ 1 + λ 2 + · · · + λm.
Proposici´on. Sea A una matriz m × m, entonces:
1. A
t tiene los mismos autovalores que A (en general los autovectores asociados ser´an distintos).
- Si A es real y v es un autovector de A asociado a λ, entonces ¯v tambi´en es autovector de A asociado al autovalor
λ. Adem´as, las multiplicidades algebraicas y geom´etricas respectivas de λ y
λ coinciden.
Matrices diagonalizables.
Definici´on. Se dice que una matriz A m × m es diagonalizable si existe alguna matriz P no singular tal que P − 1 AP
es una matriz diagonal.
Notemos que si
P
− 1 AP = D =
d 1 0 0... 0
0 d 2 0... 0
0 0 d 3... 0
. . .
0 0 0... dm
entonces cada columna de P es un autovector de P asociado al correspondiente elemento diagonal de D que ser´a un
autovalor de A. Adem´as, puesto que existe la matriz inversa de P , las m columnas de P son linealmente independientes.
Teorema. Sea A una matriz m × m. Se verifica:
(1) A es diagonalizable si y s´olo si tiene m autovectores linealmente independientes.
(2) A autovalores distintos de A le corresponden autovectores linealmente independientes, es decir, si v 1 , · · · , vk son
autovectores de A asociados respectivamente a los autovalores λ 1 , · · · , λk y estos son distintos dos a dos, entonces
v 1 , · · · , vk son linealmente independientes.
(3) Si A tiene todos sus autovalores simples, entonces es diagonalizable.
(4) A es diagonalizable si y s´olo si para cada autovalor λ se verifica que
ma(λ) = mg (λ).
Matrices semejantes y aplicaciones lineales. Consideremos una aplicaci´on lineal T : R
m → R
m
. Fijada la base
can´onica Bc = {e 1 ,... , em} de R
m , esta aplicaci´on lineal tiene asociada una matriz A, cuyas columnas son los vectores
T (e 1 ), T (e 2 ),... T (em).
Si fijamos otra base B = {v 1 ,... , vm} de R m , la aplicaci´on lineal T tiene asociada una matriz B respecto a dicha
base, la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores T (v 1 ), T (v 2 ),... T (vm) respecto a la base B, es
decir,
[T (v 1 )] B ,... , [T (vm)] B
Las matrices A y B verifican que B = P
− 1 AP siendo
P =
(^) v 1...^ vm
En general, dicha relaci´on se formaliza mediante la siguiente definici´on.
Definici´on. Se dice que dos matrices m × m A y B son semejantes si existe alguna matriz no singular P tal que
B = P
− 1 AP.
La matriz P se suele denominar matriz de paso.
A la vista de la definici´on es obvio que una matriz es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal.
Proposici´on. Si A y B son semejantes, entonces:
A y B tienen el mismo polinomio caracter´ıstico y, por tanto, los mismos autovalores con las mismas multiplici-
dades algebraicas. Si v es un autovector de A asociado a un autovalor λ, entonces P
− 1 v es un autovector de B
asociado al mismo autovalor λ (siendo P la matriz no singular tal que B = P
− 1 AP ).
det(A) = det(B) y tr(A)=tr(B).
Cada autovalor (de A y B) tiene la misma multiplicidad geom´etrica para ambas matrices, es decir,
dim [Nul (A − λI)] = dim [Nul (B − λI)].
mientras que si sustituimos dichas columnas por la parte real y la parte imaginaria de v tendremos
A
· · · u 1 u 2 · · ·
· · · u 1 u 2 · · ·
a b
−b a
con lo cual, si multiplicamos A por una matriz real P cuyas columnas forman una base de R
n y en la que u 1 y u 2
sean dos vectores columna y los restantes vectores columna sean autovectores reales o vectores obtenidos a partir de
la parte real y de la parte imaginaria (por parejas) de un autovector complejo, tendremos
AP =
· · · u 1 u 2 · · ·
· · · u 1 u 2 · · ·
a b
−b a
= P C
y por tanto P − 1 AP = C, donde la diagonal de la submatriz
[
a b
−b a
]
est´a sobre la de la matriz C que ser´a una
matriz real casi-diagonal (diagonal por cajas). Ve´amoslo con ejemplos.
Ejemplo. Obtener una matriz casi-diagonal real (y la correspondiente matriz de paso) semejante a la matriz
A =
Su ecuaci´on caracter´ıstica es
λ
4 − 5 λ
3
2 − 19 λ + 10 = 0.
Sus autovalores y sus autovectores asociados son
λ 1 = 1, v 1 =
; λ 2 = 2, v 2 =
; λ 3 = 1 − 2 i, v 3 =
1 + i
2
1 + i
2
; λ 4 = 1 + 2i, v 4 =
1 − i
2
1 − i
2
Al ser la matriz diagonalizable, si construimos Q = [v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ], obtenemos:
Q
− 1 AQ = D =
0 0 1 − 2 i 0
0 0 0 1 + 2i
donde los autovalores aparecen en la matriz diagonal D en el orden en que se coloquen los autovectores correspondientes
en la matriz Q. El inconveniente de esa expresi´on es que tanto D como Q son matrices complejas aunque A es real.
Para evitar trabajar con matrices complejas se procede como sigue (aunque, en este caso, ya no se va a obtener una
matriz diagonal sino diagonal por bloques).
Por tanto, construyendo la matriz P = [v 1 , v 2 , Re (v 3 ), Im (v 3 )], obtenemos:
C = P
− 1 AP =
Ejemplo. Obtener una matriz casi-diagonal real (y la correspondiente matriz de paso) semejante a la matriz
A =
Su ecuaci´on caracter´ıstica es
λ
4
2
Sus autovalores y sus autovectores asociados son
λ 1 = −i, v 1 =
1 − i
− 2
−1 + i
2
; λ 2 = i, v 2 =
1 + i
− 2
− 1 − i
2
λ 3 = − 2 i, v 3 =
−i
−1 + i
− 1
1
; λ 4 = 2i, v 4 =
i
− 1 − i
− 1
1
Al ser la matriz diagonalizable, si construimos Q = [v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ], obtenemos:
Q
− 1 AQ = D =
−i 0 0 0
0 i 0 0
0 0 − 2 i 0
0 0 0 2 i
donde los autovalores aparecen en la matriz diagonal D en el orden en que se coloquen los autovectores correspondientes
en la matriz Q. El inconveniente de esa expresi´on es que tanto D como Q son matrices complejas aunque A es real.
Para evitar trabajar con matrices complejas se procede como sigue (aunque, en este caso, ya no se va a obtener una
matriz diagonal sino diagonal por bloques).
Por tanto, construyendo la matriz P = [Re (v 1 ), Im (v 1 ), Re (v 3 ), Im (v 3 )], obtenemos:
C = P
− 1 AP =
Ejemplo. Obtener una matriz casi-diagonal real (y la correspondiente matriz de paso) semejante a la matriz
A =
Su ecuaci´on caracter´ıstica es
λ
3
2
Sus autovalores y sus autovectores asociados son
λ 1 = − 2 − 3 i, v 1 =
i
1 + i
1
(^) , λ 2 =^ −2 + 3i, v 2 =
−i
1 − i
1
(^) ; λ 3 = 3, v 3 =
Al ser la matriz diagonalizable, si construimos Q = [v 1 , v 2 , v 3 ], obtenemos:
Q
− 1 AQ = D =
− 2 − 3 i 0 0
0 −2 + 3i 0
0 0 3
donde los autovalores aparecen en la matriz diagonal D en el orden en que se coloquen los autovectores correspondientes
en la matriz Q. El inconveniente de esa expresi´on es que tanto D como Q son matrices complejas aunque A es real.
Para evitar trabajar con matrices complejas se procede como sigue (aunque, en este caso, ya no se va a obtener una
matriz diagonal sino diagonal por bloques).
Por tanto, construyendo la matriz P = [Re (v 1 ), Im (v 1 ), v 3 ], obtenemos:
C = P
− 1 AP =
Ejercicio 3 ¿Para qu´e valores de a ∈ R tiene la siguiente matriz A tres autovectores linealmente independientes? (es
decir, estudiar cu´ando A es diagonalizable)
A =
a 1 0
1 1 2
Ejercicio 4 Dada la matriz
A =
a − 2 2
3 0 − 1
, a ∈ R.
- Calcular los valores de a para los que A es diagonalizable.
- Para dichos valores de a, calcular los autovalores y los autovectores de A − 1 .
- Para dichos valores de a, calcular A
n .
Ejercicio 5 Estudiar la diagonalizabilidad de las siguientes matrices en funci´on de los par´ametros que aparecen.
A =
a + 3 b 1
0 a 0
a
2 − 1 c a + 1
, B =
0 − 1 b
3 0 a
, C =
a − 1 0 0
b d 1 0
c e f 1
Ejercicio 6 Sea f : R 4 → R 4 la aplicaci´on lineal dada por f (x) = Ax, donde
A =
a 1 − 1 − 1
0 b 0 − 3
− 1 2 c 1
0 1 0 d
- Hallar A sabiendo que f (S 1 ) = S 2 , donde
S 1 ≡
x 1 − x 2 = 0
x 3 + x 4 = 0
y S 2 = Gen{(1, − 2 , 1 , 1)
t , (0, 3 , − 1 , −2)
t }.
- Probar que A no es diagonalizable.
Ejercicio 7 Consideremos la matriz
A =
a 1 b 1 c 1
1 b 2 c 2
0 b 3 c 3
(a) Determinar los elementos de A sabiendo que sus autovalores son λ 1 = 2 y λ 2 = 3 (doble), que v 1 = (1, 2 , 1)
t es
un autovector asociado a λ 2 = 3 y v 2 = (2, 1 , 0)
t satisface que Av 2 = 3v 2 + v 1.
(b) Estudiar si A es diagonalizable.
(c) Calcular las soluciones del sistema de ecuaciones en diferencias
un = Aun− 1
para los vectores iniciales u 0 = (1, 2 , 1)
t y u 0 = (1, 3 , 2)
t .
Ejercicio 8 Dado el sistema de ecuaciones en diferencias un = Aun− 1 , siendo
A =
0 α 0 0
α 0 0 0
0 0 0 α
0 0 α 0
- Obtener la expresi´on general de un, seg´un los valores de α ∈ R.
- Calcular u 10 , dado el vector inicial u 0 = (0, 2 , 0 , 2)
t .
