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Ejercicios de funciones para practicar.
Tipo: Ejercicios
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1. (a) a = 3, b = 4 (A1)
f ( x ) = ( x – 3)
2
(b) y = ( x – 3)
2
x = ( y – 3)
2
x – 4 = ( y – 3)
2
x (^4) = y – 3 (M1)
y = x^ ^4 + 3 (A1) 3
y – 4 = ( x – 3)
2 (M1)
y 4 = x – 3 (M1)
y 4
y = x^ ^4 + 3
Þ f
(c) x ³ 4 (A1)(C1) [6]
2. (a) (i) f (a) = 1 A1 N
(ii) f (1) = 0 A1 N
(iii) f (a
4 ) = 4 A1 N
(b)
f
y f – 1
x
Note : Award A1 for approximate reflection of f in y = x, A1 for y intercept at 1, and A1 for curve asymptotic to x axis. [6]
3. ln ( x – 2) ³ 0 since we need to find its square root (M1)(R1)
Þ x – 2 ³ 1 (A1) Þ x ³ 3 (A1) (C4)
Note: x > 3: deduct [1 mark] ([2 marks] if no working shown). [4]
4. f ( x ) = 2e
3 x
. Let x = 2e
3 y (M1)
x
= e
3 y (A1)
Þ ln
x
= 3 y (A1)
Þ y =
ln 3
1 x
that is f
ln 3
1 x
[4]
5. (a) interchanging x and y (may happen later)
11 e 8
y x
(^) (M1)
eg x = ln (2 y + 10) evidence of correct manipulation (A1)
eg e
x = 2 y + 10
x e f x A1 N
METHOD 2
y = ln ( x + 5) + ln 2 y - ln 2 = ln ( x + 5) (A1) evidence of correct manipulation (A1)
eg e
y (^) - ln 2 = x + 5 interchanging x and y (seen anywhere) (M1)
eg e
x (^) - ln 2 = y + 5
f
-^1 ( x ) = e
x (^) - ln 2
(b) METHOD 1
evidence of composition in correct order (M1)
eg ( g ◦ f ) ( x ) = g (ln ( x + 5) + ln 2)
= e
ln (2( x + 5)) = 2( x + 5)
(g ◦ f ) ( x ) = 2 x + 10 A1A1 N
evidence of composition in correct order (M1)
eg ( g ◦ f ) ( x ) = e
ln( x + 5) + ln 2
= e
ln ( x + 5) ´ e
ln 2 = ( x + 5) 2 (g ◦ f ) ( x ) = 2 x + 10 A1A1 N [7]
9. (a)
1
A1 N
(b) (i) Attempt to form composite ( f ◦ g ) ( x ) = f (ln (1 + 2 x )) (M1)
( f ◦ g ) ( x ) = e
ln (1 + 2 x ) = (= 1 + 2 x ) A1 N
(ii) Simplifying y = e
In(1 + 2 x ) to y = 1 + 2 x (may be seen in part (i) or later) (A1)
Interchanging x and y (may happen any time) M
eg x = 1 + 2 y x - 1 = 2 y
( f ◦ g )
-^1 ( x ) = 2
x 1
A1 N [6]
10. (a) Evidence of attempting to form composition (M1)
Correct substitution ( h ◦ g ) ( x ) =
x
x
x
x
x
x
x
(b) Evidence of using numerator = 0 (M1)
eg 15 x - 10 = 0 (3 x - 2 = 0)
x A2 N [6]
11. (a) METHOD 1
For f (-2) = - 12 (A1)
( g ◦ f ) (-2) = g (-12) = - 24 A1 N
( g ◦ f ) ( x ) = 2 x
3
(g ◦ f ) (-2) = - 24 A1 N
(b) Interchanging x and y (may be done later) (M1)
x = y
3
f
-^1 ( x ) =
[6]
12. (a) ( f (^) ° g ): x ^ 3( x + 2) (= 3 x + 6) A2 2
(c) x ¹ 0 ( \ {0} etc) (A1) (C1) [6]
14. (a)
y 2 x 1
x 2 y 1 (M1)
1
2
x y
x f x
(b)
2 3( 3) 4
(^23) (A1) (C2)
(c)
2 f g x ( ) f (3 x 4)
2 2(3 x 4) 1 (A1)
6 x^2 7 (A1) (C2) [6]
15. (a) x = e - y (M1) ln x = – y (A1)
y = f
- 1 ( x ) = –ln x (A1) (C3)
(b) ( g (^) ° f ) ( x ) = g (e
x
x
Note: Award (M1)(A1) for =
x
x 1
° g ) ( x )) [6]
16. (a) METHOD 1
f (3) = 7 (A1)
( g ◦ f ) ( 3 ) = 7 A1 N
( g ◦ f ) ( x ) =
2 x 4 (= x + 4) (A1)
( g ◦ f ) ( 3 ) = 7 A1 N
(b) For interchanging x and y (seen anywhere) (M1) Evidence of correct manipulation A
eg x =
2 y x y
f
-^1 ( x ) = x
2
(c) x ³ 0 A1 N [6]
17. x = g - ( f (0.25)) (M1)
= log 2 ((0.25)
1/ ) (A1)
= log 2
f
2 (M1)
= ( f
x ) = 2
2 x (M1)
Therefore, 2
2 x = 0.25 = 2
(2) Þ 3 x + 5 = 2 (M1) x = –1 (A1) (C2)
(b) g ( f (–4) = g (–12 + 5) = g (–7) (A1) = 2(1 + 7) = 16 (A1) (C2) [4]
19. (a) f (3) = 2
3 (M1)
