UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN
DE AREQUIPA
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
Curso: Cálculo 4 – Grupo “C”
Apellidos y Nombres: Villalba Blancos,
Jeanpierre Edwing
CUI: 20211729
Docente: G. Paúl Cheneaúx Gómez
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Resolución de ecuaciones diferenciales en Cálculo 4 de Ingeniería Civil en UNAS Arequipa, Ejercicios de Cálculo
La resolución de dos problemas de ecuaciones diferenciales en el curso de cálculo 4 de la escuela profesional de ingeniería civil de la universidad nacional de san agustín de arequipa. Se muestran los pasos para obtener la solución general de cada ecuación y se explican los conceptos de factor de integración y función integrante. Útil para estudiantes de ingeniería civil que están aprendiendo a resolver ecuaciones diferenciales.
Tipo: Ejercicios
2021/2022
1 / 7
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN
DE AREQUIPA
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
Curso: Cálculo 4 – Grupo “C”
Apellidos y Nombres: Villalba Blancos,
Jeanpierre Edwing
CUI: 20211729
Docente: G. Paúl Cheneaúx Gómez
AREQUIPA
Claudio Pita−Cálculo vectorial
ra
edición
Capítulo 7.
2 ¿ Quela ecuacióndada es exacta y obtenga su solución general. º
( y + 1 ) dx+ ( x+ 1 ) dy= 0
RESOLUCIÓN
Verifiquemos si cumple el criterio para ser una diferencial exacta
( y + 1 ) dx+ ( x+ 1 ) dy= 0
M ( x , y )=
∂ f
∂ x
= y + 1 ⇒
∂ M
∂ y
N ( x , y )=
∂ f
∂ y
=x+ 1 ⇒
∂ N
∂ x
∂ M
∂ y
∂ N
∂ x
Entonces existe una función f para la que
∃ f ( x , y )=c
∂ f
∂ x
= y + 1
f ( x , y )=
∫
( y + 1 ) dx+g ( y )
f ( x , y )=xy + x+ g ( y )
∂ f
∂ y
=x + g ' ( y )
Por lo tantoigualamos
μ
'
24 xy− 2 x
24 x
3
y + 4 x y
2
- 24 xy − 24 x
3
y − 4 x y
2
− 2 x
μ
'
24 xy− 2 x
24 xy− 2 x
μ
'
De modoque laecuación posee un factor de integraciónque depende solamente de z.
μ ( z )=e
∫
dz
∴ μ ( z )=e
x
2
- y
2
Multiplicando toda laecuación por este factor se obtiene
e
x
2
- y
2
12 x
3
- 2 xy + 12 x
dx +e
x
2
- y
2
12 x
2
y + 2 y
2
dy= 0
Verificamos nuevamente si cumple elcriterio para ser una diferencialexacta
M ( x , y )=
∂ f
∂ x
=e
x
2
- y
2
( 12 x
3
+ 2 xy + 12 x ) ⇒
∂ M
∂ y
= 2 y e
x
2
- y
2
( 12 x
3
+ 2 xy + 12 x ) +e
x
2
- y
2
( 2 x) =e
x
2
- y
2
( 24 x
3
y+ 4 x y
2
N ( x , y )=
∂ f
∂ y
=e
x
2
- y
2
( 12 x
2
y + 2 y
2
∂ N
∂ x
= 2 x e
x
2
- y
2
( 12 x
2
y + 2 y
2
+ 1 ) +e
x
2
- y
2
( 24 xy )=e
x
2
- y
2
( 24 x
3
y + 4 x y
2
∂ M
∂ y
∂ N
∂ x
Por lo que ahora la ecuaciónes exacta. Debe haber entonces una función f ( x , y )
∂ f
∂ x
( x , y )=e
x
2
- y
2
( 2 x ) ( 6 x
2
+ y + 6 )
∂ f
∂ y
( x , y )=e
x
2
- y
2
( 12 x
2
y + 2 y
2
De la primera de estas expresiones se obtiene que
f ( x , y )= ∫
e
x
2
- y
2
( 2 x )
6 x
2
- y + 6
dx + g ( y )
I =
∫
e
x
2
- y
2
( 2 x )
6 x
2
- y + 6
dx
I =e
y
2
∫
e
x
2
( 2 x) ( 6 x
2
+ y + 6 ) dx
u=x
2
du= 2 x dx
I =e
y
2
e
u
( 6 u+ y + 6 ) du
I =e
y
2
[
e
u
6 u+ y + 6
e
u
du
]
I=e
y
2
[ e
u
( 6 u+ y + 6 )− 6 e
u
]
I =e
y
2
[ e
u
( 6 u+ y ) ]
I =e
y
2
[ e
x
2
6 x
2
- y
]
I=e
x
2
- y
2
( 6 x
2
+ y ) +c
1
f ( x , y )=e
x
2
- y
2
6 x
2
- y
- g ( y )
∂ f
∂ y
= 2 y e
x
2
- y
2
( 6 x
2
+ y )+e
x
2
- y
2
- g ' ( y )
Por lo tantoigualamos
2 y e
x
2
- y
2
6 x
2
- y
- e
x
2
- y
2
- g' ( y )=e
x
2
- y
2
12 x
2
y + 2 y
2
e
x
2
- y
2
( 12 x
2
y + 2 y
2
)+ e
x
2
- y
2
+g ' ( y )=e
x
2
- y
2
( 12 x
2
y + 2 y
2
) +e
x
2
- y
2
e
x
2
- y
2
- g ' ( y ) =e
x
2
- y
2
g ' ( y )= 0
g ( y )= 0
Finalmente ,la función esta dada por
∴ e
x
2
- y
2
6 x
2
- y
=c
I =e
x
cos x +e
x
sen x−
∫
e
x
⋅ cos x dx
2 I =e
x
cos x+ e
x
sen x
I =
e
x
cos x+sen x
y=
e
x
cos x+ sen x
- c
e
x
∴ y=
( cos x+sen x )
+c e
− x