UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN
DE AREQUIPA
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
Curso: Cálculo 4 – Grupo “C”
Apellidos y Nombres: Villalba Blancos,
Jeanpierre Edwing
CUI: 20211729
Docente: G. Paúl Cheneaúx Gómez
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Resolución de ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Ejercicios de Cálculo
Este documento contiene la resolución de diversos problemas de ecuaciones diferenciales con respecto a la separación de variables, la ecuación exacta, la ecuación homogénea y la ecuación de bernoulli. Se incluyen ejemplos con diferentes condiciones iniciales y se explica el proceso de resolución para cada tipo de ecuación.
Tipo: Ejercicios
2021/2022
1 / 26
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN
DE AREQUIPA
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
Curso: Cálculo 4 – Grupo “C”
Apellidos y Nombres: Villalba Blancos,
Jeanpierre Edwing
CUI: 20211729
Docente: G. Paúl Cheneaúx Gómez
AREQUIPA
Zill−Ecuaciones diferenciales con aplicacionesde modelado
ta
edición
Capítulo 2.
10 ¿ Resuelvala ecuacióndiferencial respectiva por separación de variables.
dy
dx
y + 1
x
RESOLUCIÓN
Separando variables
dy
y+ 1
dx
x
Aplicamos laintegral a ambos miembros
∫
dy
y + 1
∫
dx
x
ln ( y + 1 )=ln|x|+ln|c|
ln ( y + 1 )=ln|cx|
y + 1 =cx
∴ y=cx− 1
32 ¿ Resuelva la ecuación diferencial respectiva por separación de variables.
dy
dx
y
2 x
y
RESOLUCIÓN
Separando variables
dy
dx
2 x+ 1
y
2 y dy=( 2 x + 1 ) dx
Aplicamos laintegral a ambos miembros
∫
y dy=
∫
( 2 x + 1 ) dx
∴ y
2
=x
2
- x +c
35 ¿ Resuelvala ecuacióndiferencial respectiva por separación de variables.
dy
dx
=sen x ( cos 2 y−cos
2
y )
RESOLUCIÓN
Separando variables
dy
cos 2 y−cos
2
y
=sen x dx
Sabemos que cos 2 y−cos
2
y=−se n
2
y
(−se n
2
y )
− 1
dy=sen x dx
se n
2
y
dy=sen x dx
Aplicamos laintegral a ambos miembros
csc
2
y dy=
sen x dx
∴ ctg y =−cos x +c
1.01 c−c=− 1
0.01 c=
c=− 1
c=− 100
Por lo tanto ,reemplazando obtenemos
∴ y=
x− 101
x − 100
Capítulo 2.
8 ¿ Determine sila ecuación respectiva es exacta. Silo es , resuélvala.
(
1 + ln x +
y
x
)
dx=( 1 −ln x ) dy
RESOLUCIÓN
Verifiquemos si cumple el criterio para ser una diferencial exacta
(
1 + ln x +
y
x
)
dx+ ( ln x − 1 ) dy= 0
M ( x , y )=
∂ f
∂ x
= 1 + ln x +
y
x
∂ M
∂ y
x
N ( x , y )=
∂ f
∂ y
=ln x− 1 ⇒
∂ N
∂ x
x
∂ M
∂ y
x
∂ N
∂ x
Entonces existe una función f para la que
∂ f
∂ y
=ln x− 1
f ( x , y )=
∫
( ln x− 1 ) dy +g ( x )
f ( x , y )= y ln x− y + g ( x)
∂ f
∂ x
y
x
- g ' ( x )
Por lo tantoigualamos
30 ¿ Resuelvacada ecuación diferencial sujeta ala condición inicialindicada.
1 + y
2
+cos x − 2 xy
dy
dx
= y ( y +sen x ) ; y ( 0 )= 1
RESOLUCIÓN
Verifiquemos si cumple el criterio para ser una diferencial exacta
( y
2
+ y sen x ) dx +
1 + y
2
−cos x + 2 xy
dy= 0
M ( x , y )=
∂ f
∂ x
= y
2
- y sen x ⇒
∂ M
∂ y
= 2 y + sen x
N ( x , y )=
∂ f
∂ y
1 + y
2
−cos x+ 2 xy ⇒
∂ N
∂ x
= 2 y + sen x
∂ M
∂ y
= 2 y +sen x=
∂ N
∂ x
Entonces existe una función f para la que
∃ f ( x , y )=c
∂ f
∂ x
= y
2
- y sen x
f
x , y
y
2
- y sen x
dx + g
y
f
x , y
=x y
2
− y cos x +g
y
∂ f
∂ y
= 2 xy−cos x+ g ' ( y )
Por lo tantoigualamos
2 xy−cos x + g ' ( y )=
1 + y
2
−cos x+ 2 xy
g ' ( x )=
1 + y
2
g ( x )=−arctan y
c=x y
2
− y cos x−arctan y
Sabemos que y ( 0 )= 1
c= 0 − 1 −
π
c=− 1 −
π
Finalmente , obtenemos
∴ x y
2
− y cos x−arctan y=− 1 −
π
Capítulo 2.
2 ¿ Determine la solución general de la ecuación diferencial dada. Especifique un
intervalo en el cual esté definida la solución general.
dy
dx
- 2 y= 0
RESOLUCIÓN
La ecuaciónlíneal de primer orden
dy
dx
- 2 y= 0
dy
dx
- P ( x ) y =Q ( x )
Comparando obtenemos
P ( x )= 2
Q ( x )= 0
Obtenemos el factor integrante
μ ( x )=e
∫
2 dx
μ
x
=e
2 x
Finalmente obtenemos
y=
μ ( x ) ⋅ Q ( x ) dx +c
μ
x
y=
∫
e
2 x
⋅ 0 dx+ c
e
2 x
y=
0 + c
e
2 x
y=
c
e
2 x
Los coeficientes son funciones continua en todo x ∈ R , se concluye que
la solución general de laecuación diferencial y su intervalo solución es :
∴ y=
c
e
2 x
;−∞< x < ∞
μ
x
=x
2
e
x
Finalmente obtenemos
y=
μ ( x ) ⋅ Q ( x ) dx +c
μ
x
y=
∫
x
2
e
x
e
x
x
2
dx+c
x
2
e
x
y=
∫
e
2 x
dx+ c
x
2
e
x
y=
e
2 x
+c
x
2
e
x
y=
e
2 x
- 2 c
2 x
2
e
x
y=
e
x
2 x
2
c
x
2
e
− x
Los coeficientes son funciones continua en todo x ∈ R excepto en 0 , se concluye que
la solución general de laecuación diferencial y su intervalo solución es :
∴ y=
e
x
2 x
2
c
x
2
e
−x
; 0 < x <∞
23 ¿ Determine la solución general de laecuación diferencial dada. Especifique un
intervalo en el cual esté definida la solución general.
cos
2
x sen x dy+
y cos
3
x− 1
dx= 0
RESOLUCIÓN
La ecuaciónlíneal de primer orden
cos
2
x sen x dy+( y cos
3
x− 1 ) dx= 0
dy
dx
y cos
3
x− 1
cos
2
x sen x
dy
dx
cos
3
x
cos
2
x sen x
y−
cos
2
x sen x
dy
dx
cos
3
x
cos
2
x sen x
y=
cos
2
x sen x
dy
dx
- P ( x ) y =Q ( x )
Comparando obtenemos
P
x
cos
3
x
cos
2
x sen x
; dom P=R−
πk
∴ y=sec x +c csc x ; 0 <x <
π
33 ¿ Determine la solución general de laecuación diferencial dada. Especifique un
intervalo en el cual esté definida la solución general.
y dx+
x+ 2 x y
2
− 2 y
dy= 0
RESOLUCIÓN
La ecuaciónlíneal de primer orden
y dx+
x+ 2 x y
2
− 2 y
dy= 0
dx
dy
x + 2 x y
2
− 2 y
y
dx
dy
x
y
- 2 xy − 2 = 0
dx
dy
(
y
- 2 y
)
x= 2
dx
dy
- P ( y ) x=Q ( y )
Comparando obtenemos
P ( y )=
y
+ 2 y ;dom P=R−{ 0 }
Q ( y )= 2 ; dom Q=R
Obtenemos el factor integrante
μ
y
=e
∫
1
y
- 2 y
dy
μ ( y )=e
ln|y|+ y
2
μ ( y )= y e
y
2
Finalmente obtenemos
x=
∫
μ ( y ) ⋅ Q ( y ) dy+c
μ
y
x=
∫
y e
y
2
⋅ 2 dy+ c
y e
y
2
x=
∫
2 y e
y
2
dy+ c
y e
y
2
x=
e
y
2
- c
y e
y
2
x=
y
c
y
e
− y
2
Los coeficientes son funciones continua en todo y ∈ R excepto en 0 , se concluye
que la solución general de la ecuacióndiferencial y su intervalo solución es :
∴ x =
y
c
y
e
− y
2
; 0 < y <∞