Cálculo vectorial
1.- Demostrar que:
(~a ×~
b)·[(~
b×~c)×(~c ×~a)] = [~a ·(~
b×c)]2
2.- Sea
Φ = x2yz +y3−z2
. Encontrar la derivada direccional a lo largo del
vector
2~ux−2~uy+~uz
en el punto (2,1,3).
3.- Sea el campo vectorial
~
A=−y~ux+x~uy+k~uz
donde
k
es una constante.
Encontrar las líneas de campo. Escribir el campo vectorial en coordenadas
cilíndricas y demostrar que es un campo solenoidal.
4.- Hallar los vectores unitarios normales a las supercies
x2−y2−z2= 11
y
xy +yz −xz = 18
en el punto (6,4,3). A partir de aquí encontrar el ángulo
que forman ambas supercies en ese punto.
5.- Sea
~
A=f(r)~r
. Encontrar la divergencia.
6.- Sea
~v =~ω ×~r
siendo
~ω
un vector constante. Demostrar que
~
∇ × ~v = 2 ~ω
7.- Demostrar que
~
∇ × (~
∇ × ~
A) = ~
∇(~
∇ · ~
A)−~
∇2~
A
8.- Demostrar que
~
∇2(r−1) = 0
.
9.- Si
~
A= (2x+y−2z)~ux+ (2x−4y+z2)~uy+ (x−2y−z2)~uz
, calcular
IC
~
A·d~r
donde
C
es un círculo de radio 5 y centro en el punto (0,0,3), contenido en
el plano
z= 3
y recorrido en el sentido contrario a las agujas del reloj.
10.- Si
Φ = x2y2z2
, calcular
ZSΦd~
S
donde
S
es la supercie lateral del cilindro
x2+y2= 9
entre los planos
z= 0
y
z= 2
en el primer cuadrante (
x≥0
,
y≥0
).
