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4º E.S.O.
EJERCICIOS DE CINEMÁTICA: M.R.U,
M.R.U.A, M.C.U
La finalidad de este trabajo implica tres pasos:
a) Leer el enunciado e intentar resolver el problema sin mirar la solución. b) Si el resultado no es correcto, lo volvéis a intentar. Si de nuevo no nos coincide la solución. c) Mirar el planteamiento del profesor, si lo entendéis fabuloso y si no es así preguntar a vuestro profesor.
Ejemplo resuelto Nº 1 Un móvil describe una trayectoria semicircular, de radio 5 m, en un tiempo de 10 s. Determinar su rapidez y velocidad.
Longitudcircunferencia = 2. π. r
∆ eAB ∆ eAB = mitad de la longitud de la circunferencia.
A B ∆ eAB = 2. π. r / 2 = 2. 3,14. 5 / 2 = = 15,7 m.
| ∆ r | = 2. r = 2. 5 = 10 m.
Rapidez = ∆ eAB / ∆ t = 15,7 m / 10 s = 1,57 m/s
Velocidad = | ∆ r | / ∆ t = 10 m / 10 s = 1 m/s
Ejercicio resuelto Nº 2 Un coche parte desde el punto kilométrico 33 de la N-IV. Una hora más tarde llega al kilómetro 110.
4º E.S.O.
Allí gira y se da la vuelta, encontrándose en el kilómetro 66 dos horas después de haber partido. a) Calcula el desplazamiento y el espacio recorrido y represéntalo en un dibujo. b) Calcula la velocidad y la rapidez media del coche en esas dos horas. ¿Coinciden? ¿Por qué? c) Calcula la velocidad media en cada uno de los viajes, el de ida y el de vuelta.
a) Lo primero que haremos será establecer el Sistema de referencia y los puntos notables de la recta: (-)
X = 0 Km
Los puntos notables en una gráfica indican una variación de la situación en ese momento.
r 66 Km t = 1 h ; (110 – 66) Km
X = 0 33 Km (C) t = 1 h. 110 Km (A) (B) (D) ( 110 – 33) Km
a) | r | =AC – AB = 66 – 33 = 33 Km.
∆ e =(AD – AB) + (AD-AC)=(110-33)+(110 – 66) =77 + 44 = 151 Km
b) Vm = | r | / t = 33 Km/2h = 16,5 Km/h
Rapidezm = ∆ e / t = 151 Km / 2 h = 75,5 Km / h
No coinciden puesto que el espacio recorrido no es igual al módulo del vector desplazamiento.
c) Viaje de ida: | ∆ r | ; t = 1 h
4º E.S.O.
1 er^ quebrado 2º quebrado
Trabajaremos primero con la longitud. Como el Km está en el 1er en el numerador deberemos ponerlo en el 2º quebrado en el denominador para que el km quede eliminado matemáticamente. El “m” lo pondremos en el numerador:
Km m 90 -------. -------------------- h Km
1 er^ quebrado 2º quebrado
Recordemos que 1 Km = 1000 m y lo llevamos al planteamiento anterior:
Km 1000 m 90 -------. -------------------- h 1 Km
1 er^ quebrado 2º quebrado
Observamos que el Km ya ha desaparecido de la expresión y aparece el metro que es lo que queremos.
Pasamos a transformar el tiempo y para ello introducimos un 3er quebrado:
Km 1000 m 90 -------. --------------------. ------------- h 1 Km
1 er^ quebrado 2º quebrado 3 er^ quebrado
Como la hora está en el denominador del 1 er^ quebrado deberemos ponerla en el numerador del 3 er^ quebrado y el segundo lo pondremos en el denominador:
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Km 1000 m h 90 -------. --------------------. ------------- h 1 Km s
1 er^ quebrado 2º quebrado 3 er^ quebrado
Recordemos que 1 h = 3600 s y llevamos esta equivalencia y la llevamos al planteamiento anterior:
Km 1000 m 1 h 90 -------. --------------------. ------------- h 1 Km 3600 s
1 er^ quebrado 2º quebrado 3 er^ quebrado
Las horas se marchan y aparecen los segundos, el resultado quedaría de la forma:
- 1000 m m -----------------.-------- = 25 .----- = 25 m/s = 25 m. s-^1 3600 s s
b) 30 m/s Km/h
m 1 Km 3600 s Km
- --------. -----------. ------------ = 108 .------- = 108 Km/h = s 1000 m 1 h h
= 108 Km. h-^1
c) 120 Km/h m/s
Km 1000 m 1 h m 120 -------. -------------. ------------ = 33,33 ------ = 33,33 m/s = h 1 Km 3600 s s
= 33,33 m. s-^1
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Problema resulto Nº 6 Un ciclista parte de cierto lugar y, después de avanzar con una velocidad constante de 45 km/h durante media hora, descansa 10 minutos y vuelve al punto de partida. El regreso lo realiza con velocidad también constante, pero emplea 45 minutos. Representa las gráficas velocidad/tiempo y espacio/tiempo desde que sale hasta que regresa.
Primer tramo: V = 45 km/h; t = 0’5 h ; e 1 = v. t = 45. 0’5 = 22’5 km
Segundo tramo: V = 0 (descansa)
t = 10 minutos · 1h/60 minutos = 0’17 h
e 2 = 0 (está descansando)
Tercer tramo: V = ¿?
t = 45 minutos · 1h/60 minutos = 0’75 h.
Como regresa al punto de partida, debe recorrer los 22’5 km iniciales, por tanto, su velocidad de regreso es:
V = e/t = 22’5km/0’75 h = 30 km/h
Las gráficas serán por tanto:
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Problema resuelto Nº 7 Sobre una recta se desplazan dos móviles con velocidad constante. El primer se desplaza hacia el segundo con velocidad de 4 m/s; el segundo sale hacia el primero 6 s más tarde y con la misma velocidad. Si la distancia que los separa inicialmente es de 80 m, ¿en qué instante se cruzarán?
Se trata de dos M.R.U., por tanto: e = v. t
4m/s 4 m/s eA = VA·tA eA = 4·tA (1) A B eB = VB·tB sB = 4·tB (2) 80 m
como B sale 6 segundos después que A tB = tA – 6.
Además, el espacio total que les separa es de 80 m, luego:
eA + eB = 80 (3)
Llevando a (3) las ecuaciones (1) y (2), nos queda:
4·tA + 4·tB = 80 4·tA + 4·(tA - 6) = 80 4 ·tA + 4·tA - 24 = 80
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Problema propuesto ¿Cuánto tarda un coche que circula a 60 km/h en recorrer 15 km?
Problema resuelto Nº 9 Dibuja la gráfica del movimiento de un coche que va a 15 m/s durante 10 minutos. Se refiere a la gráfica e – t.
Debemos conocer las posiciones que ocupa el móvil en función del tiempo. Para ello utilizaremos la ecuación:
e = V. t
Pasaremos primero los minutos a segundos: 60 s 10 min. -------- = 600 s 1 min Obtengamos la tabla de valores: Velocidad (m/s)
Tiempo (s)
Posición (m)
e (m)
9000
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t (s)
Problema resuelto Nº 10 Haz la gráfica espacio-tiempo y de un móvil que se desplaza con una velocidad constante de 3 m/s.
Tenemos que establecer una tabla de valores en donde se refleje el espacio recorrido para un tiempo determinado. Se trata de un M.R.U. La ecuación para conocer el espacio es:
e = e 0 + V. t
Supondremos que el origen de los tempos coincide con el origen de los espacios; es decir; t 0 = 0 ; e 0 = 0. La ecuación anterior nos quedaría de la forma: e = V. t
La tabla quedaría de la forma:
Tiempo (s)
Espacio (m)
La gráfica e – t:
e(m) 12
0 t(s) 1 2 3 4 5
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0 = 8000 + (-15). tB ; 15 tB = 8000 ; tB = 8000 m / (15 m/s)
tB = 533,33 s
Vamos a confeccionar la gráfica e – t, que servirá para los dos móviles:
e(m)
0 200 400 600 t(s) tB = 533,33 s Punto de cruce que yo le daría un valor entre 4500 m – 5000 m.
La gráfica no es muy exacta y no podemos precisar el punto de cruce.
Vamos a resolverlo numéricamente y veremos si la aproximación realizada es correcta.
Volvemos al croquis inicial:
Establezcamos el Sistema de Referencia:
A V = 20 m/s V = -15 m/s B
X = 0 ( Bilbao) P. Cruce 8000 m ( Ayalde)
Móvil A: e0A = 0 ; VA = 20 m/s ; eA = punto de cruce
Vamos a calcula el tiempo que tarda A en llegar al punto de cruce:
eA = e0A + VA. tA ; eA = 0 + 20. tA ; tA = eA / 20 (1)
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El tiempo que tarda B en llegar al punto de cruce (eA), será:
eB = e0B + VB. tB
eB coincidirá con la posición eA (eA = eB) , luego:
eA = e0B + VB. tB ; eA = 8000 + (-15). tB ; 15 tB = 8000 - eA
tB = (8000 – eA) / 15 (2)
Los tiempos tA y tB son iguales (tA = tB) por lo que igualando (1) y (2)
eA / 20 = (8000 – eA) / 15 ; 15. eA = 20. (8000 – eA)
15 eA = 160000 – 20 eA ; 15 eA + 20 eA = 160000
35 eA = 160000 ; eA = 160000 / 35 = 4571,43 m
Problema propuesto Dos coches, A y B, parten al encuentro desde dos ciudades separadas por una distancia de 100 km. Si el primero viaja a una velocidad de 70 km/h y el segundo a 50 km/h, calcula en qué lugar e instante se encuentran (ojo: La mejor forma de proceder es escribir las ecuaciones de movimiento de ambos móviles y determinar la condición que se cumple en el encuentro).
Problema resuelto Nº 12 Supón ahora que los coches mencionados en el ejercicio anterior, parten uno tras el otro (el más rápido persiguiendo al más lento). Calcula el lugar y el instante en que el coche A alcanza a B.
Primero pasaremos las unidades al S.I:
VA = 70 Km / h. 1000 m/ 1 Km. 1 h / 3600 s = 19,44 m/s = 19,44 m.s-
VB = 50 Km / h. 1000 m / 1 Km. 1 h / 3600 s = 13,88 m/s = 13,88 m.s-
100 Km. 1000 m / Km = 100000 m
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El tiempo empleado ,según dijimos era el mismo para los dos móviles. Comprobémoslo:
tA = 699280,57 m / (19,44 m/s) = 35971,22 s.
tB = 599280,57 – 100000 / 13,88 = 35971,22 s.
Problema propuesto Un galgo persigue a una liebre que le aventaja en 100 m. Si la velocidad de la liebre es de 15 m/s y la del galgo de 72 km/h ¿cuánto tardará en alcanzarla? ¿cuanta distancia necesitó el galgo para ello?
Problema resuelto Nº 13 Un cuerpo, partiendo del reposo, se mueve con una aceleración constante de 8m/s^2. ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer 100 m? ¿cuál será su velocidad en ese instante?
Al existir aceleración constante estamos hablando de un M.R.U.A. Sus ecuaciones son:
Vf = V 0 + a. t ; e = V 0 ·t + ½. a. t^2
Los datos son: v 0 = 0; a = 8 m/s^2 ; e = 100 m; t?; v?
Sustituimos los datos en las ecuaciones del movimiento:
V = 0 + 8·t v = 8t ; v = 8·5 = 40 m/s
100 = 0. t + ½. 8. t^2 ; 100 = 4. t^2 ; t = (100/4)1/2^ ; t = (25)1/
t = 5 s
Problema resuelto Nº 14 Interpreta la siguiente gráfica v/t. ¿Cuál es el desplazamiento total recorrido por el móvil?
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Se trata de una gráfica en tres tramos.
Tramo I: M.R.U.A. de aceleración positiva ya que aumenta la velocidad. Su aceleración es:
a = (vf – v 0 )/t = (50 – 0)/10 = 5 m/s^2
y por tanto, s = 0·10 + ½. 5. 102 = 250 m
Tramo II: M.R.U. ya que se mantiene constante la velocidad durante 20 s. El espacio recorrido es:
e = V. t = 50 m/s · 20 s = 1000 m
Tramo III: M.R.U.A. de aceleración negativa al disminuir la velocidad. Su valor:
a = (vf – v 0 )/t = (0 – 50)/10 = - 5 m/s^2
y por tanto:
e = 50·10 + ½. (-5). 102 = 250 m
Sumando los espacios obtenidos en los tres tramos, obtenemos el espacio total: s = 250 + 1000 + 250 = 1500 m
Problema resuelto Nº 15 Se deja rodar una pelota, por una pista horizontal. La trayectoria que describe es rectilínea. En la siguiente tabla se muestra la posición que ocupa el balón en determinados instantes:
tiempo (s) 0 3 6 9 Posición (m) 5 20 35 50
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d) La distancia recorrida por el móvil transcurridos los 12 primeros segundos incluye el espacio inicial que no había sido contabilizado cuando pusimos el cronómetro en marcha. En este caso el espacio recorrido coincidirá con la posición del móvil:
e = e 0 + V. t ; e = 5 + 5. 12 = 65 m
Problema resuelto Nº 16 a) Una moto va a 12 m/s y acelera, alcanzando una velocidad de 20 m/s en 3 s. Calcula su aceleración b) Un coche circula a 100 Km/h. Ve una señal de limitación de velocidad, frena y se pone a 80 Km/h en 5s. ¿Cuál es su aceleración? c) Un coche de fórmula 1 acelera de 0 Km/h a 100 Km/h en 2,4 s. Calcula su aceleración. d) En una revista de motos se puede leer :” Yamaha YZF R
- Aceleración 0 a 100 km/h en 4 s”. Con estos datos calcula la aceleración de este vehículo.
a) Sabemos que: a = ∆ V / t = (Vf – V 0 ) / t
a = (20 – 12) (m/s) / 3 s = 2,7 m. s-^2
b) Pasaremos los datos al S.I.:
V 1 = 100 Km/h. 1000 m / 1 Km. 1 h / 3600 s = 27,8 m. s-
V 2 = 80 Km / h. 1000 m / 1 Km. 1 h / 3600 s = 22,2 m. s-
t = 5 s
a = (Vf – Vo) / t = (22,2 – 27,8) (m.s-^1 ) / 5 s = - 1,12 m. s-^2
c) V 0 = 0
Vf = 100 Km / h. 1000 m / 1 Km. 1 h / 3600 s = 27,8 m. s-
t = 2,4 s a = (27,8 – 0) (m.s-^1 ) / 2,4 s = 11,6 m. s-^2
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d) V 0 = 0
Vf = 100 Km/h = 27,8 m. s-
t = 4 s a = (27,8 – 0) (m.s-^1 ) / 4 s = 6,95 m. s-^2
Problema resuelto Nº 17 Una moto que va a 75 Km/h frena y de detiene en 13 s. ¿Cuál es la aceleración de la frenada?
Datos al S.I.:
Vo = 75 Km/h. 1000 m /1 h. 1 h / 3600 s = 20,8 m. s- Vf = 0 ; t = 13 s.
a = (Vf – Vo) / t = (0 – 20,8) (m.s-^1 ) / 13 s = - 1,6 m. s-^2
Problema resuelto Nº 18 Calcula el espacio que recorrerá un objeto en 20 segundos si su aceleración es de 0,2 m/s^2.
El enunciado es muy escaso en datos por lo que tendremos que suponer que: e 0 = 0 ; V 0 = 0
Sabemos que:
e = eo + Vo. t + ½. a. t 2
Con las suposiciones, la ecuación anterior queda de la forma:
e = ½. a. t^2
por lo que:
e = ½. 0,2 (m.s-^2 ). ( 20 s)^2 = ½. 0,2 m.s-^2 400 s^2 = 40 m
