¡Descarga Estimación de Parámetros Estadísticos en Distribuciones Normales y más Ejercicios en PDF de Estadística solo en Docsity!
Estad´ıstica. Grado en Ciencias Ambientales
Problemas de Inferencia.
Problema 1 Las granjas de patos, alineadas en las orillas de Great South Bay, han contaminado seriamente el agua. Uno de dichos contaminantes es nitr´ogeno en forma de ´acido ´urico. Presenta- mos a continuaci´on una muestra aleatoria de 9 observaciones de la variable cantidad de libras de nitr´ogeno producidas por granja y por d´ıa: 4.9 5.8 5.9 6.5 5.5 5.0 5.6 6.0 5. Por estudios previos se supone que dicha variable tiene distribuci´on de probabilidad normal. a) Dar una estimaci´on puntual de la cantidad media de libras de nitr´ogeno producido por granja y d´ıa. b) Estimar la varianza de dicha variable. c) Construir un intervalo de confianza al 99 % para la media μ. t 0. 05 (8) = 1.86, t 0. 025 (8) = 2.31, t 0. 01 (8) = 2.9, t 0. 005 (8) = 3.36, t 0. 001 (8) = 4.
Problema 2 Se sabe que el di´ametro de las pi˜nas de una determinada especie de con´ıferas es una cantidad aleatoria que supondremos con distribuci´on normal. Para determinar si en cierto bosque los cambios clim´aticos est´an modificando gen´eticamente a dichas especies se decide tomar una muestra de 20 pi˜nas, denomin´andose X 1 ,... , X 20 a sus di´ametros. Se obtiene una media muestral de 8.1 cm y una varianza muestral de 3cm^2. Hallar estimaciones puntuales de la media y la varianza poblacionales.
Problema 3 La concentraci´on de una sustancia t´oxica en las aguas de un lago es una variable aleatoria con distribuci´on normal con media desconocida y desviaci´on t´ıpica 3 ppm. Se toman 15 muestras de agua en distintos puntos del lago, midi´endose la concentraci´on de la sustancia referida en cada muestra. Se obtiene una media muestral de 12.33 ppm y una desviaci´on t´ıpica muestral de 2.75 ppm. a) Hallar una estimaci´on puntual de la media poblacional. b) Hallar un intervalo de confianza para la concentraci´on media de dicha sustancia al nivel de confianza del 99 %.
Problema 4 Un gran n´umero de animales que viven en una regi´on determinada han estado expuestos durante los ´ultimos diez a˜nos a la radiactividad procedente de un vertedero donde se almacenan desechos at´omicos. Se realiza una investigaci´on para descubrir si hay alguna asociaci´on entre la exposici´on y el desarrollo de una cierta enfermedad de la sangre. Para llevar a cabo el experimento se cazan 300 ratones de la regi´on lim´ıtrofe con el vertedero y se toman otros 320 no expuestos a la radiaci´on. Los datos obtenidos se encuentran en la siguiente tabla:
Enfermo Sano Expuesto a la radiaci´on 52 248 No expuesto a la radiaci´on 48 272
De acuerdo con los datos, a) da una estimaci´on puntual y un intervalo de confianza al 99 % para la proporci´on de ratones sanos entre los que est´an expuestos a la radiaci´on. b) Da una estimaci´on y un intervalo de confianza al 99 % para la proporci´on de ratones que est´an sanos entre los que no est´an expuestos a la radiaci´on.
Problema 5 El calibre de un ´arbol es su di´ametro medido seis pulgadas por encima del suelo. Se ha obtenido, de manera aleatoria, una muestra de 16 ´arboles de entre 12 y 14 pies de altura, cul- tivados en un vivero particular, y se ha determinado el calibre de cada uno de ellos. Se obtuvieron los siguientes resultados: 2.3 1.9 1.7 2.1 1.5 1.8 1.8 1. 2.1 1.5 2.0 1.6 1.3 1.6 1.5 1. La variable calibre de cada ´arbol cultivado en el vivero se supone, por estudios previos, distribuida seg´un una distribuci´on normal. a) Da una estimaci´on puntual del calibre medio de los ´arboles del vivero, y una estimaci´on de su varianza. b) Construye un intervalo de confianza al 95 % para la media de la variable bajo estudio. c) Se considera que el per´ımetro medio para que una producci´on pueda ser catalogada como resistentes es de 2 pulgadas. ¿Puede considerarse, seg´un nuestra informaci´on, que el vivero produce ´arboles resistentes? Razona la respuesta.
t 0. 05 (15) = 1.75, t 0. 025 (15) = 2.13, t 0. 01 (15) = 2.6, t 0. 005 (15) = 2.95, t 0. 001 (15) = 3.
Problema 6 En una prueba sobre leucemia en ratones AKR, se toma una muestra testigo de 56 ratones (sin ning´un tratamiento), de los cuales 45 desarrollaron la enfermedad. a) Dar una estimaci´on puntual de la proporci´on de ratones AKR que desarrollan la leucemia. b) Calcular los intervalos de confianza al 95 % y 99 % para la estimaci´on anterior. Interpreta los resultados.
Problema 7 En 1987 se reforestaron m´as de 3 millones de acres con dos mil millones de plantas de vivero. Una grave sequ´ıa durante la siguiente estaci´on mat´o a muchas de estas plantas de vivero. Se seleccion´o aleatoriamente una muestra de 1000 de ´estas plantas, resultando estar muertas 300 de ellas. Obtener un intervalo para la proporci´on de plantas de vivero muertas al 90 % de confianza. ¿Y al 95 %?
Problema 8 Para estudiar una determinada variable bioqu´ımica en la sangre de una determinada especie animal, se escogi´o un muestra aleatoria de 20 animales de tal especie, en los que se midi´o la variable, con los resultados siguientes:
162 222 245 195 204 240 157 164 183 192 179 191 192 171 146 147 131 248 176 207
Se supone, por estudios previos, que la variable sigue un modelo de distribuci´on Normal. Estima la media de la variable con una confianza del 99 %.
t 0. 05 (19) = 1.73, t 0. 025 (19) = 2.09, t 0. 01 (19) = 2.54, t 0. 005 (19) = 2.86, t 0. 001 (19) = 3.
Problema 9 Un anuncio publicitario de una empresa farmace´utica promete un efecto antial´ergico en uno de sus productos. Doscientos voluntarios de una asociaci´on de consumidores lo prueban y solo 170 consiguen el efecto prometido. Con una confianza del 95 % proporciona una estimaci´on de la proporci´on de personas que se beneficiar´an de los efectos del producto en el conjunto de sus consumidores.
Problema 10 Un dermat´ologo investiga cierto tipo de afecci´on de piel induci´endolo en una mues- tra aleatoria de 25 ratas y trat´andolas luego con un nuevo f´armaco. Se cuenta el n´umero de horas hasta que desaparece dicha afecci´on, con los resultados siguientes: x¯ = 132 horas y s = 40 horas.
Problema 16 En una repoblaci´on forestal se mide la altura en metros a doce ´arboles selecciona- dos aleatoriamente. Las medidas son: 20.4, 25.4, 25.6, 25.6, 26.6, 28.6, 28.7, 29.0, 29.8, 30.5, 30.9,
a) Estimar la altura media de la poblaci´on de arboles de la repoblaci´on, con una confianza del 95 %.
b) En esta especie se considera que la repoblaci´on ha alcanzado su madurez cuando la altura es al menos de 30 metros. ¿Se puede afirmar con una probabilidad de error inferior al 1 % que la poblaci´on a´un no est´a madura?
c) ¿Entre qu´e valores podemos situar al p − valor de la pregunta anterior?
d) ¿Qu´e condici´on debe cumplir la variable para que podamos contestar las dos preguntas anteriores con los m´etodos utilizados en clase?
t 0 , 05 (11) = 1, 80 , t 0 , 025 (11) = 2, 20 , t 0 , 01 (11) = 2, 72 , t 0 , 005 (11) = 3, 11 , t 0 , 001 (11) = 4, 02 , t 0 , 0005 (11) = 4, 44
Problema 17 La utilizaci´on de sal para quitar el hielo de las carreteras introduce sustancias qu´ımicas nocivas para el medio ambiente. En una regi´on se tomaron datos sobre la cantidad de sal (en toneladas) utilizadas cada semana invernal en las carreteras de los diferentes distritos en que se subdivide dicha regi´on. Para ello se seleccionaron 9 distritos al azar obteni´endose los siguientes datos:
3900 3875 3820 3860 3840 3852 3800 3825 3790
a) Teniendo en cuenta que dicha variable est´a normalmente distribuida ¿podemos afirmar que su desviaci´on t´ıpica es superior a las 30 toneladas? b) Si el gobierno recomienda que la cantidad de sal en cada distrito no supere las 3750 toneladas por semana, ¿podemos decir que, por t´ermino medio, no se respet´o esta recomendaci´on? Justifica la respuesta. χ^20 , 05 (8) = 15, 51 , t 0 , 05 (8) = 1, 86 , t 0 , 025 (8) = 2, 31 , t 0 , 01 (8) = 2, 9 , t 0 , 005 (8) = 3, 36 , t 0 , 001 (8) = 4, 5
Problema 18 La grave sequ´ıa de 1987 en una zona de Estados Unidos afect´o a la tasa de creci- miento de los ´arboles de dicha zona. En concreto, se supone que el anillo de crecimiento de 1987 es defectuoso en m´as del 55 % de los ´arboles de la zona afectada. En una muestra de 250 ´arboles se han observado 150 con esta caracter´ıstica. ¿Apoyan los datos la sospecha? Razona la respuesta, planteando un contraste de hip´otesis adecuado y resolvi´endolo a un nivel de significaci´on de 0.025. Obtener el p-valor.
Problema 19 Recientemente la Junta de Extremadura instal´o contenedores para papel, vidrio y pilas en diversos puntos de Badajoz. Se desea saber si la utilizaci´on de dichos contenedores est´a extendida entre la poblaci´on. Para ello se toma una muestra de 300 hogares de los cuales s´olo 75 reconocen el uso habitual de los nuevos contenedores. A partir de estos datos, ¿podemos afirmar que menos del 30 % de la poblaci´on utiliza dichos contenedores? Utilizar un nivel de significaci´on del 2.5 %. Hallar el p-valor correspondiente.
Problema 20 Un importador adquirir´a una partida si menos de 3 de cada mil envases presenta alguna anomal´ıa en su calidad. Desea tener una probabilidad de 0.1 de equivocarse si rechaza la partida cuando realmente verifica la condici´on requerida. Despu´es de probar una muestra de 3 000 envases observa que 12 presentan alguna anomal´ıa. ¿Qu´e decisi´on debe adoptar?
Problema 21 Con el objetivo de comparar las longitudes de las patas derecha e izquierda de las cig¨ue˜nas de una poblaci´on se seleccionaron al azar 10 cig¨ue˜nas de la misma, observ´andose las siguientes diferencias en mm de la longitud de la pata derecha con respecto a la pata izquierda: 5.5, -3.2, 3.9, -1.5, 0.8, 4.7, 2.8, -1.9, 4.4, 2.5. ¿Puede sostenerse que la longitud de la pata derecha es mayor que la de la pata izquierda? As´umase que la longitud de las patas es una distribuci´on normal.
t 0 , 025 (9) = 2, 26 , t 0 , 05 (9) = 1, 83 , t 0 , 025 (10) = 2, 23 , t 0 , 05 (10) = 1, 81
Problema 22 Est´a generalmente aceptado que existen diferencias ligadas al sexo relacionadas con la respuesta al estr´es producido por el calor. Se someti´o a un grupo de 8 hombres y 8 mujeres a un programa de ejercicios en´ergicos que implicaba el empleo de una “cinta sin fin”. El medio era caluroso, y se dispon´ıa de una cantidad m´ınima de agua para los individuos, que iban realizando la prueba de uno en uno en un orden aleatorio previamente establecido. La variable de inter´es fue el porcentaje de peso corporal perdido, que supondremos con distribuci´on normal. Se obtuvieron los datos siguientes:
Hombres 3.1 3.9 3.7 4.0 4.1 4.2 4.0 3. Mujeres 3.0 3.8 2.5 4.1 3.7 3.6 3.3 4.
¿Se puede decir, al nivel de significaci´on del 5 % que existen diferencias entre la p´erdida media de peso de los hombres y la de las mujeres? ¿Podemos decir, al nivel de significaci´on del 5 % que la dispersi´on de la variable de estudio es m´as alta entre las mujeres? ¿C´omo interpretar´ıas este dato?
t 0 , 05 (14) = 1, 76 , t 0 , 025 (14) = 2, 14 , F 0 , 05 (7, 7) = 3, 79 , F 0 , 025 (7, 7) = 4, 99
Problema 23 Como parte de un estudio sobre la contaminaci´on por hidrocarburos totales de petr´oleo (TPH) en las autopistas de Estados Unidos, se toman 20 muestras en una carretera, 10 en la cuneta este y otras 10 en la cuneta oeste a la misma altura, en 10 puntos kilom´etricos elegidos al azar. Se obtienen los siguientes datos (en mg/kg): oeste: ¯x = 78,62, sx = 8,78; este: ¯y = 77, 08 sy = 9,46, diferencia entre oeste y este: d¯ = 1, 54 sd = 16,37 ¿Podemos decir que hay diferencias en el nivel de contaminaci´on por hidrocarburos en las dos zonas comparadas? As´umase que la concentraci´on ambiental de hidrocarburos es una variable normal.
t 0 , 05 (9) = 1, 83 , t 0 , 025 (9) = 2, 26
Problema 24 Se realiz´o un estudio para evaluar el efecto del tabaquismo de las madres gestantes sobre sus fetos. El estudio se realiz´o sobre una muestra aleatoria de 3461 no fumadoras y 2238 fumadoras. La variable de inter´es es el peso en gramos del ni˜no al nacer. Supongamos que esta variable est´a normalmente distribuida. Se dispone de la siguiente informaci´on:
No fumadoras Fumadoras X 1 = 3480,1 g. S 1 = 8,68 g. X 2 = 3256,5 g. S 2 = 11,02 g.
A la vista de los datos ¿existen diferencias entre el peso de los hijos de mujeres fumadoras y no fumadoras? Utiliza un nivel de significaci´on del 1 %. Calcula el p-valor para dicho contraste. F 0 , 05 (2237, 3460) = 1, 06 , F 0 , 025 (2237, 3460) = 1, 08
