Matemáticas Aplicadas II. Probabilidad. Ev3. Ej1. Abril 16
1º) Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos de un experimento aleatorio tales que:
𝑝(𝐴)= 0,4 ; 𝑝(𝐵|𝐴)= 0,25 ; 𝑝(𝐵
)= 0,75
a) ¿Son 𝑨 y 𝑩 independientes? Razona la contestación.
b) Calcula 𝒑(𝑨 ∩ 𝑩) y 𝒑(𝑨 ∪ 𝑩)
c) Calcula 𝒑(𝑩 ∕ 𝑨
)
Resolución
a) Como 𝑝(𝐵)= 1 − 𝑝(𝐵
)= 1 − 0,75 = 0,25 = 𝑝(𝐵|𝐴), los sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes.
b) 𝑝(𝐵|𝐴)= 0,25 ⟹ 𝑝(𝐴∩𝐵)
𝑝(𝐴)= 0,25 ⟹ 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵)= 0,25 · 0,4 = 0,1
𝑝(𝐴 ∪ 𝐵)= 𝑝(𝐴)+ 𝑝(𝐵)− 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵)= 0,4 + 0,25 − 0,1 = 0,55
c) 𝑝(𝐵 𝐴
⁄ ) =𝑝(𝐵∩𝐴)
𝑝(𝐴)=𝑝(𝐵)−𝑝(𝐴∩𝐵)
1−𝑝(𝐴) =0,25−0,1
0,6 =0,15
0,6 = 0,25 que es la probabilidad del suceso 𝐵; esto
se debe a que como 𝐴 y 𝐵 son independientes, también lo son 𝐴 y 𝐵.
2º) En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar
inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los
viajeros al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no hable ninguno de los dos idiomas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que no habla inglés?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?
Resolución
Hablan Francés
No hablan Francés
Totales
Hablan Inglés
12
36
48
No hablan Inglés
24
48
72
Totales
36
84
120
Consideramos los sucesos siguientes:
𝐹 = ”𝐻𝑎𝑏𝑙𝑎𝑟 𝑓𝑟𝑎𝑛𝑐é𝑠” ; 𝐼 = ”𝐻𝑎𝑏𝑙𝑎𝑟 𝑖𝑛𝑔𝑙é𝑠”
𝑎) 𝑝(𝐹
∩ 𝐼)= 1 − 𝑝(𝐹 ∪ 𝐼)= 1 − 0,6 = 0,4 donde
𝑝(𝐹 ∪ 𝐼)= 𝑝(𝐹)+ 𝑝(𝐼)− 𝑝(𝐹 ∩ 𝐼)=36
120 +48
120 −12
120 =72
120 =3
5= 0,6
O bien, directamente de la tabla 𝑝(𝐹
∩ 𝐼)=48
120 = 0,4
b) 𝑝(𝐹|𝐼)=𝑝(𝐹∩𝐼)
𝑝(𝐼)=𝑝(𝐹)−𝑝(𝐹∩𝐼)
1−𝑝(𝐼) =
36
120−12
120
1− 48
120
=24
72 =1
3 o directamente de la tabla.
c) 𝑝(“𝑆𝑜𝑙𝑜 ℎ𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑛𝑐é𝑠”)= 𝑝(𝐹)− 𝑝(𝐹 ∩ 𝐼)=36
120 −12
120 =24
120 =1
5= 0,2
3º) Tenemos dos bolsas, A y B. En la bolsa A hay 3 bolas con el número 1 y 7 con el número 2.
En la bolsa B hay 6 bolas con el número 1 y 2 con el número 2. Sacamos una bola de A y la
pasamos a B. Después extraemos dos bolas de B, de una en una y sin reemplazamiento. ¿cuál
es la probabilidad de que
a) las bolas extraídas de B tengan el número 1?
b) las tres bolas tengan el número 1?
c) al menos una bola extraída de B tenga el número 2?
Resolución
Consideramos los sucesos 𝐴𝑖= " 𝐿𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎í𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐴 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖" y
𝐵𝑖= " 𝐿𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎í𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐵 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖" 𝑐𝑜𝑛 𝑖 = 1, 2
