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Ciencias computacionales
Propedeutico: Matem´aticas Discretas.
INAOE
Contents
1 Grafos. 2 1.1 Definiciones b´asicas........................................ 2 1.2 Caminos.............................................. 5 1.3 Conectividad........................................... 7 1.4 Grafos Eulerianos y Hamiltonianos............................... 8 1.5 Grafos bipartitos y cliqu´es.................................... 9 1.6 Grafos planares.......................................... 11 1.7 Arboles´.............................................. 11 1.8 Isomorfismo entre grafos..................................... 14
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Grafos:
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1 Grafos.
1.1 Definiciones b´asicas
Los grafos son estructuras discretas que constan de v´ertices y aristas que conectan entre si esos v´ertices. Por lo tanto un grafo G costa de dos partes:
Un conjunto V = V (G) cuyos elementos se denominan v´ertices, puntos o nodos de G.
Un conjunto E = E(G) de pares de v´ertices distintos denominados aristas de G.
Hay dos tipos b´asicos de grafos: grafos no dirigidos y gafos dirigidos.
Grafo dirigido
Sea V un conjunto finito no vaci´o, y sea la relaci´on binaria E ⊆ V xV. El par ordenado (V, E) es un grafo dirigido sobre V, o digrafo, donde V es el conjunto de v´ertices o nodos y E es su conjunto de aristas. Escribimos G = (V, E) para denotar tal digrafo.
En la Figura 1 se puede ver c´omo se representan los grafos dirigidos o d´ıgrafos, con v´ertices V = {A, B, C} y aristas E = {(B, A), (A, C), (C, A), (C, B)}.
Figure 1: Grafo dirigido
La direcci´on de una arista se indica al colocar una flecha dirigida sobre ella como se muestra en la figura. para cualquier arista, por ejemplo (B, A) decimos que el v´ertice B es origen o fuente, mientras que el v´ertice A es el termino o v´ertice terminal. En el caso de tener un flecha en los dos sentidos, se dice que el v´ertice A es origen de v´ertice C y al mismo tiempo el v´ertice C es origen de A.
i) Un subgrafo H(V ′, E′) de G(V, E) se denomina subgrafo inducido por sus v´ertices V ′^ si su conjunto de aristas E′^ contiene todas las aristas en G cuyos puntos extremos pertenecen a los v´ertices en H.
ii) Si v es un v´ertice en V, entonces G − v es el subgrafo de G obtenida al eliminar v de G y al eliminar todas las aristas en G que contienen a v.
iii) Si e es una arista en G, entonces G − e es el subgrafo de G obtenido al eliminar la arista e de G.
En la figura 5 se muestra en (a) un grafo, del cual tanto (b) como (c) son subgrafos de (a). Dado que el conjunto de v´ertices del grafo (b) es subconjunto de los v´ertices del grafo (a) {A, B, C, D} ⊂ {A, B, C, D, E} y lo mismo sucede para las aristas {e′ 1 } ⊂ {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 }, por lo tanto decimos que el grafo (b) es un subgrafo de (a) y lo mismo sucede para el subgrafo (c)
Figure 5: Subgrafos
Tipos de grafos
Adem´as de los dos grafos b´asicos, dirigidos y no dirigidos, hay otros tipos de grafos, tales como:
- Grafos de cadena: son un tipo de grafo h´ıbrido formado por aristas dirigidas y no dirigidas.
- Grafos simple: Es un tipo de grafo el cual no incluye ciclos ni aristas paralelas.
- Multigrafo: Son grafos con dos o m´as aristas que pueden conectar a un mismo v´ertice
- Grafos completo: Es un grafo con aristas entre cada par de v´ertices.
- Grafo bipartito: Son grafos que se pueden dividir en dos subconjuntos disjuntos de v´ertices, donde cada una de las aristas conecta un v´ertice del primer conjunto con uno del segundo.
- Grafo pesado: Es un grafo que tiene pesos asociados a v´ertices y/o aristas.
En la Figura 6 se muestran la representaci´on de los distintos tipos de grafos
Figure 6: tipos de grafos: a)grafo de cadena, b) grafo simple, c) multigrafo, d) grafo completo, e) grafo bipartito, f) grafo pesado
1.2 Caminos
Definici´on Sean x, y v´ertices (no necesariamente distintos) de un grafo no dirigido G = (V, E). Un camino x − y en G es una sucesi´on alternada finita (sin lazos) de v´ertices y aristas de G, que comienza en el v´ertice x y termina en el v´ertice y; que contiene las n aristas ei = xi− 1 , xi donde 1 ≤ i ≤ n.
x = x 0 , e 1 , x 1 , e 2 , x 2 , e 3 , · · · , en− 1 , xn− 1 , en, xn = y
La longitud n de un camino es el n´umero de aristas que hay en el camino (Si n = 0, no existen aristas, x = y, y el camino se denomina trivial).
En la Figura 7, se muestra un camino de F a C el cual es de longitud 6 y se puede representar por medio de sus v´ertices como la secuencia {F, B, D, E, A, B, C} o a traves de sus aristas {(F, B), (B, D), (D, E), (E, A) , (A, B), (B, C)}.
Figure 7: Camino de F a C
Cualquier camino x − y no trivial donde x = y es un camino cerrado. En caso contrario, el camino es abierto como el mostrado en la figura 7.
En la Figura 8 se muestra un camino cerrado pues sin importar que v´ertice tomemos el camino empieza en ´el y termina en ´el (x = y). Por ejemplo para el camino que comienza en el v´ertice A tendr´ıamos {A, E, D, B, F, A}, donde el v´ertice inicial es tambi´en el v´ertice final, por lo tanto el camino es cerrado.
Figure 11: Circuito
se presenta m´as de una vez tenemos un ciclo, es decir un ciclo es un camino simple cerrado. En la Figura 12 se tiene un ciclo pues la trayectoria corresponde a un camino simple donde el v´ertice inicia es tambi´en el final.
Figure 12: Ciclo
1.3 Conectividad
Un grafo G = (V, E) es conexo si para cualquier par de v´ertices u, y v existe un camino en G que los une, es decir un camino con extremos u y v. En la Figura 13 se muestra un grafo G con v´ertices V = {A, B, C, D, E, F, G, H} y aristas E = {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6 , e 7 }, del cual se pueden formar dos subgrafos W = ({A, B, C, D, E}, {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 }) y Z = ({F.G.H}, {e 6 , r 7 }). Se puede afirmar que el grafo G no es conexo pues no existe un camino del v´ertice A con el v´ertice F, dado que si existe un solo par de v´ertices sin camino el grafo no es conexo. Sin embargo los subgrafos W y Z si son conexos pues existe un camino entre cualquier par de v´ertices que lo forman.
Figure 13: Grafo conexo
Un grafo G est´a conectado si hay una trayectoria entre cada par de v´ertices distintos en G. Si un
grafo G no est´a conectado, cada parte s´ı est´e conectada se llama un componente conexa de G. Entre las diferentes trayectorias que podemos encontrar en un grafo se encuentran cominos, recorridos, circuitos y ciclos.
En la Tabla 1 se muestra un resumen de las trayectorias mencionadas anteriormente donde se muestra la definici´on de ´estas de una manera m´as simplificada.
Table 1: Resumen trayectorias V´ertice(s), repetido(s)
Arista(s), repetida(s) Abierto Cerredo Nombre Si Si Si Camino Si Si Si Camino cerrado Si No Si Recorrido Si No Si Circuito No No Si Camino simple No No Si Ciclo
1.4 Grafos Eulerianos y Hamiltonianos
Sea G un grafo o multigrafo no dirigido. Para cualquier v´ertice v de G, el grado de v, que se denota grad(v), es el n´umero de aristas en G que son incidentes con v. Cuando grad(v) = 0 se dice que v es un v´ertice aislado. en la Figura 14 se muestra un multigrafo no dirigido donde el grado del v´ertice B es grad(B) = 6, pues seis aristas inciden sobre ´el. Observe que cuando se presentan lazos en un v´ertice se consideran como dos incidencias
Figure 14: Grado de un v´ertice
La sucesi´on de grados de un grafo se obtiene ordenando en forma creciente los grados de todos los v´ertices. Puesto que cada arista se cuenta dos veces al contar los grados de los v´ertices de G, se tiene el siguiente resultado: En todo grafo G=(V, E) se cumple ∑
v∈V
grad(v) = 2|E| (1)
Seg´un la ecuaci´on 1, para el grafo de la Figura 14 se tiene que
grad(A) + grad(B) + grad(C) + grad(D) = 16
Lo cual se puede comprobar al sumar los grados de cada v´ertice del grafo. Un v´ertice es par o impar si su grado es un n´umero par o impar. Por lo que para el grafo de la Figura 14 los v´ertices A y B son pares, mientras que los v´ertices C y D son impares.
Caminos y circuitos Eulerianos
Figure 16: Camino y circuito Hamiltoniano
Definici´on Un grafo G = (V, E) es bipartito si V = V 1 ∪ V 2 , V 1 ∩ V 2 = ∅ y cada arista de G es de la forma {a, b} con a ∈ V 1 y b ∈ V 2. Si cada v´ertice de V 1 est´a unido con los v´ertices de V 2 , se tiene un grafo bipartito completo. En este caso, si V 1 = m, V 2 = n, el grafo se denota con Km,n.
En la Figura 17 se muestra en la parte (a) un grafo bipartito, pues satisface la definici´on para V 1 = {A, B} y V 2 = {C, D, E} donde estos subconjuntos est´an relacionados mediante aristas. En lo que respecta al grafo de la parte (b) se tiene un grafo bipartito completo K 3 , 3 , pues cada v´ertice del subconjunto V 1 = {A, B, C} se une mediante aristas a cada v´ertice del subconjunto V 2 = {D, E, F }
Figure 17: Grafos bipartitos
Cliqu´es
Un conjunto completo, Wc es un subconjunto de v´ertices de G que induce un subgrafo completo de G. En otras palabras es un subconjunto de v´ertices de G de modo que cada par de nodos en este subgrafo es adyacente.
Un cliqu´e, C, es un subgrafo del grafo G inducido por un conjunto completo que es m´aximo; Es decir, no hay ning´un otro conjunto completo en G que contenga a C.
En la Figura 18 se muestra un grafo con v´ertices V = {A, B, C, D, E, F, G} el cual consta de cinco cliqu´es C 1 = {A, B}, C 2 = {G.E}, C 3 = {E, D, F }, C 4 = {B, C, D, E} y C 5 = {A, G}, donde cada uno de estos subgrafos corresponde a un grafo completo. Observe que cada v´ertice en un grafo es parte de al menos un cliqu´e; As´ı, el conjunto de cliqu´es de un grafo siempre cubre todos los v´ertices del grafo G.
Figure 18: Cliques
1.6 Grafos planares
Definici´on Un grafo o multigrafo G es plano si podemos dibujar G en el plano de modo que sus aristas se intersequen s´olo en los v´ertices de G. Este dibujo de G se conoce como una inmersi´on de G en el plano.
En la Figura 19 se muestran grafos planos. El primeros Figura (a) es plano dado que sus aristas no se cruzan, excepto en los v´ertices. El grafo de la figura (b) parece un grafo no plano puesto que las aristas {A, C} y {B, D} se cruzan en un punto que no es un v´ertice, sin embargo, podemos trazar nuevamente este grafo como se muestra en la figura (c), donde ´este es equivalente al grafo (b) y en consecuencia el grafo (b) es plano.
Figure 19: Grafos planares
1.7 Arboles´
Si un grafo es un ´arbol, escribimos T en ves de G para enfatizar esta estructura. Algunas propiedades de los ´arboles en general son:
- Si a, b son v´ertices distintos en un ´arbol T = (V, E), entonces hay un ´unico camino simple que conecta estos v´ertices
- En cualquier ´arbol T = (V, E) se cumple que el n´umero de v´ertices es igual al n´umero de aristas mas uno |V | = |E| + 1
- Para cualquier ´arbol T = (V, E), si |V | ≥ 2, entonces T tiene al menos dos v´ertices terminales (hojas)
Figure 21: Arboles dirigidos´
Algunas terminolog´ıas relevantes en los ´arboles dirigidos son las siguientes:
- Ra´ız: v´ertice con grado de entrada 0
- Hoja: v´ertice con grado de salida 0
- Rama: caminos desde la ra´ız hasta las hojas
- Hijo/Padre: arco de A a B, A es padre de B y B es hijo de A
- Hermanos: tienen el mismo padre
- Descendientes/Ascendientes: trayectoria de A a B, A es ascendiente de B y B es descendiente de A
- Sub´arbol con A ra´ız: A y todos sus descendientes
- Sub´arbol de A: sub´arbol con hijo de A como ra´ız En el ´arbol de la Figura 22 se puede apreciar A que es la ra´ız, el subconjunto de v´ertices {E, F, J, K, H, I} son las hojas,el subconjunto de v´ertices {B, C, D, G} pertenecen a ramas, el v´ertice B es padre de E y F (hijos) al igual que C es padre de G, D es padre de H e I y G es padre de J y K;los subconjuntos de v´ertices {B, C, D} son hermanos al igual que {E, F }, {H, I} y {J, K}; C es ascendiente de los hermanos J,K y estos son sus descendientes. en el grafo tambi´en se tiene tres subarboles con ra´ız A,C y D y finalmente un subarbol de C con ra´ız G.
Figure 22: Arbol con ra´´ ız
1.8 Isomorfismo entre grafos
Se dice que los grafos G(V, E) y G∗(V ∗, E∗) son isomorfos si existe una correspondencia uno a uno f : V −→ V ∗^ (funci´on biyectiva) tal que {u, v} es una arista de G si y s´olo si {f (u), f (v)} es una arista de G∗. Normalmente no se establece ninguna diferencia entre grafos isomorfos (aun cuando sus diagramas puedan “parecer diferentes”).
En la Figura 23, se muestran dos grafos los cuales son isomorfos dado que la correspondencia de v´ertices de ambos grafos mantiene las adyacencias entre cada par de v´ertices de los grafos.
Figure 23: Grafos isomorfos
References
[1] R. Johnsonbaugh and M. G. Osuna, Matem´aticas discretas. Pearson Educaci´on, 2005.
[2] R. Grimaldi, Matem´aticas discreta y combinatoria: introducci´an y aplicaciones. Pearson Educaci´on,
[3] K. H. Rosen and J. M. P. Morales, Matem´atica Discreta y sus Aplicaciones. 2004.
[4] L. E. Sucar, Probabilistic Graphical Models. Springer, 2015.
[5] S. Lipschutz and M. L. Lipson, Matem´aticas discretas. McGraw Hill, 2007.
