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ESTADÍSTICA II. CURSO 2014/
T E M A 2 : E S T I M A C I Ó N D E P A R Á M E T R O S :
E S T I M A C I Ó N P U N T U A L. P R O P I E D A D E S Y
M É T O D O S D E O B T E N C I Ó N D E E S T I M A D O R E S
EJERCICIO 1
Una variable se distribuye uniformemente en [^0 ,^ θ]. Mediante una m.a.s. se estima^ θ^ de forma
que = Kax
θ (^). Determinar el valor de K para que el estimador θ *sea insesgado.
EJERCICIO 2
Sea (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) una m.a.s. de tamaño cuatro procedente de una población representada por una variable aleatoria que sigue una distribución de probabilidad de Poisson con parámetro desconocido λ. a) Para estimar dicho parámetro se proponen dos estimadores:
( ) ( )
( )
1 1 2 3 4
2 1 4
ˆ^1
ˆ^1
x x x x
x x
λ
λ
Comparar los errores cuadráticos medios de ambos estimadores.
b) Demostrar si la media muestral es un estimador suficiente para el parámetroλ de la distribución de Poisson
EJERCICIO 3
En una población N^ (^ μ,^1 )se estima^ μ^ a través de una m.a.s. de tamaño 2, empleándose dos
estimadores
μ (^1) y
μ (^2) tales que:
1 2
1
μ = x + x
1 2
2
μ = x + x
¿Son eficientes estos estimadores?
Estimamos el parámetro poblacional^ α^ , de una población N^ (α,^ σ)a través de la primera componente muestral, muestreo aleatorio simple, establecer si dicho estimador es:
- Consistente.
- Eficiente.
EJERCICIO 5
Averiguar si es eficiente el estimador
π = ax para estimar el parámetro^ π^ de una población
B (4, π ). (^ ax es la media muestral).
EJERCICIO 6
Verificar que las familias de distribuciones que se indican al final, son exponenciales, determinando en cada caso la forma del estadístico suficiente:
- Binomial (n,p)
- Binomial (1,p)
- Poisson (λ)
- Normal (μ, σ)
EJERCICIO 7
Sea una población^ ξ^ que se distribuye N (^ μ σ,^ ). Obtener el estimador verosímil de
μ y^ σ^.
EJERCICIO 8
Una población^ ξ^ que se distribuye B (15,^ π^ ). Se obtiene una muestra aleatoria simple de
tamaño 5. Estimar^ π^ :
- Por el método de máxima verosimilitud.
- Por el método de los momentos.
Con objeto de planificar su producción, una empresa supone que el artículo que ofrece puede ser adquirido por el 40 % o por el 50% de los habitantes de una gran ciudad. Consultado diez de estos, solo tres de ellos se muestran dispuestos a la adquisición del producto. ¿Qué proporción, de las dos contempladas, será tomada en consideración si la elección entre ambas la efectúa la empresa, con base en el criterio de la máxima verosimilitud?
EJERCICIO 14
Determinar, por el método de los momentos, el estimador del parámetro poblacional^ θ^ , y
comprobar si el estimador obtenido es o no un estimador insesgado, para los casos en que la distribución poblacional sea:
1) La distribución binomial B ( h ,^ θ)
2) La distribución de Poisson, de parámetro^ θ
- La distribución uniforme
( )
si 0
0 para el resto de valores
x
f x
θ θ (^) θ
≤^ ≤
4) la distribución normal, N (μ,^ σ)
(Supuesto extraídas muestras de tamaño n, muestreo aleatorio simple).
EJERCICIO 15
Sea^ λ^ el parámetro de la distribución de Poisson asociada a la población que se desea
estimar a partir de una muestra aleatoria simple
X ≡ (^) { X (^) 1 , X (^) 2 , X 3 }
. Comparar lo errores cuadráticos medios de dos estimadores:
X X X
X X X
λ
λ
EJERCICIO 16
Para estimar la proporción de clientes de un banco que están insatisfechos con cierto producto financiero, se ha extraído una muestra aleatoria simple de clientes. A partir de la información obtenida se ha calculado la proporción de clientes de la muestra que están insatisfechos. Demuestre si la proporción muestral es o no una estimación consistente de la verdadera proporción de clientes insatisfechos.
Sea (x 1 ,…..,x (^) n) una muestra aleatoria simple de tamaño n de una variable aleatoria ξ que sigue
una distribución de probabilidad uniforme en el intervalo (θ-2 , θ+1).
Se sabe que : [ ]^
E ξ =θ − y [ ]
Var ξ =
Se pide: a) Discutir si la media muestral a (^) x es un estimador insesgado de θ. Calcular la varianza de la media muestral a (^) x b) Basándose en el apartado anterior proponga un estimador de θ que sea inses gado.
EJERCICIO 18
De una población representada por la variable aleatoria^ ξ^ con función de densidad:
2
3
; para 0
x
f x θ x θ
= ≤ ≤ y con ( ) ( )
y
E ξ = θ V ξ = θ , se va a
extraer una muestra (m.a.s.) X de tamaño “n”.
1º: Obtenga el estimador
θ , por el método de los Momentos , del parámetro θ.
2º: Deduzca su valor medio ( )
E θ y su varianza ( )
V θ .
3º: ¿Es
θ un estimador insesgado? ¿Por qué?
4º: ¿Es
θ un estimador consistente? ¿Por qué?
De una población representada por una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad se supone Normal se selecciona una muestra, aleatoria simple, cuyas realizaciones resultan ser: 2,74 2,80 2,75 2,76 2,74 2,78 2,
Elaborar el intervalo de confianza del 98 % para la varianza poblacional.
EJERCICIO 7
Se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño 10 de una población N(μ, σ), obteniéndose una media muestral de 7,66 y una cuasivarianza muestral de 1,34. Se pide: a) Construya, calcule e interprete el intervalo de confianza para la media de la población al nivel de confianza del 99%, suponiendo que la varianza de la población es desconocida. b) Construya, calcule e interprete el intervalo de confianza para la varianza de la población al nivel de confianza del 95%.
EJERCICIO 8
Dada una población representada por la variante ζ cuya distribución de probabilidad se
supone N( θ ,4), elaborar el intervalo de confianza para la estimación del parámetro θ al nivel de significación del 5 %, con base en una muestra aleatoria simple de tamaño 100. Una vez obtenido dicho intervalo, cuál deberá ser el nuevo tamaño muestral si se pretende:
a) aumentar la confianza de la estimación hasta el 99 %, manteniendo constante la precisión. b) Aumentar al doble la precisión de la estimación obtenida, manteniendo constante la confianza de la estimación en el 95 %.
EJERCICIO 9
Una empresa desea determinar la proporción de clientes dispuestos a demandar el producto que ofrece. Para ello consulta al azar a 100 de ellos, siendo los resultados obtenidos los siguientes: el 20 % estaría dispuesto a demandar el producto y el 80 % restante no. Establecer:
a) la estimación de la proporción poblacional.
b) Si se toma como desviación típica poblacional la que resulta de hacer uso de la estimación anterior, determinar el intervalo de confianza del 95 % para la proporción poblacional.
EJERCICIO 10
De dos poblaciones normales se extraen sendas muestras aleatorias simples de tamaños
n 1 = 21 y n 2 = 31 respectivamente, y resultando ser las varianzas muestrales respectivas 16
y 36. Construir el intervalo de confianza del 90% para
2 1 2 2
σ σ
y
2 2 2 1
σ σ
Una empresa se dedica a la producción de una determinada pieza del sistema eléctrico del automóvil. En el turno de la mañana el tiempo que se tarda al construir esta pieza tiene una media de 50 minutos. El gerente sospecha que el tiempo empleado en el turno de la tarde, X, presenta una media diferente de 50 minutos. Para verificarlo toma una muestra de tamaño 10 con el siguiente resultado:
10
1
∑^ = i =
xi
a) Encontrad un intervalo de confianza al 90% para la media, suponiendo que el tiempo sigue una distribución normal con desviación estándar de 2 minutos. ¿Creéis que el gerente tiene razón con su sospecha? b) Encontrad el intervalo de confianza al 90% para la media si suponemos X sigue una distribución normal pero ahora no conocemos la desviación estándar, de los datos de la muestra sabemos que:
10
1
∑ i =
xi
EJERCICIO 12
Si la población esta representada por una variable aleatoria que se distribuye como una N(^ μ^ ;
- y se quiere estimar^ μ^ mediante su estimador máximo verosímil. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra si se quiere obtener un error inferior 0,25 si el nivel de significación es del 5%?
¿Cuál seria el tamaño muestral si se quiere obtener la misma precisión con un nivel de significación del 1%?
EJERCICIO 13
Los estudiantes de Bachillerato de una cierta comunidad autonomía duermen un número de horas diarias que se distribuye según una ley normal de media μ y una desviación tıpica de tres horas.
- A partir de una muestra de tamaño 30 se ha obtenido una media muestral igual a siete horas. Hallar un intervalo de confianza al 96% para la media de horas de sueño de dicha población.
- ¿Que tamaño de muestra serıa necesario si el error de estimación deseamos que sea menor de 30 minutos con un nivel de confianza del 96%?
- ¿Que nivel de confianza obtendremos para el intervalo si consideramos muestras de tamaño 20 e imponemos un error de 1 , 3 horas?
