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ESTUDIANTE 5
Ejercicios de límites
Temática: estudiante 5
- Evaluar el siguiente limite
lim
x → 0
x + 2
x
2
❑
Evaluando el limite en x = 0
lim
x → 0
x + 2
x
2
❑
- Calcular el siguiente limite indeterminado de la forma
lim
x → 2
x
2
x − 2
Racionalizando
(
(√ x
2
x − 2
)
(
(√ x
2
√ x
2
)
x
2
( x − 2 )(
x
2
Factorizando numerador
( x − 2 )( x + 2 )
( x − 2 )(
x
2
Cancelando términos semejantes
( x + 2 )
x
2
Reemplazando x = 2
2
lim
x → 2
√ x
2
x − 2
- Calcular el siguiente limite al infinito
lim
x→ ∞
( x + 1 )
2
x
2
2
2
Pasos:
Dividir entre el denominador con mayor potencia:
( x + 1 )
2
x
2
x
2
lim
x→ ∞
( x + 1 )
2
x
2
x
2
lim
x→ ∞
( x + 1 )
2
x
2
lim
x → ∞
x
2
lim
x→ ∞
( x + 1 )
2
x
2
Es igual a 1 y la explicación es la siguiente:
lim
x→ ∞
( x
x
2
x
2
x
2
Luego
lim
x→ ∞
x
2
lim
x→ ∞
lim
x→ ∞
x
2
lim
x → 0
lim
x → 0
(
sin ( 3 x )
x
)
Aplicando la regla de L’Hopital
lim
x → 0
(
cos ( 3 x ).
)
lim
x → 0
( 3 cos ( 3 x ))
Sustituyendo x = 0
3 cos( 3.0 )
Finalmente
lim
x → 0
( 1 )−lim
x→ 0
(
sin( 3 x )
x
)
- Graficar función a trozos encontrando el punto (a) que hace que la función sea continua.
(GeoGebra). Demostrar matemáticamente y realizar análisis.
a.
lim
x→ 2
−¿
f ( x )= lim
x → 2
+¿
f ( x )¿
¿¿
x < 2 x > 2
lim
x → 2
( 2 x
2
+ 2 x + 4 a ) =lim
x → 2
( x
2
8 + 4 + 4 a = 8
12 + 4 a = 8
4 a =− 4
a =− 1
N
( 5 )
N
( 5 )
N
( 5 )
Para
t = 10 años
N
( 10 )
N
( 10 )
N
( 10 )
N
( 10 )
b). ¿A qué valor tenderá la población cuando “t” tienda a infinito?
Si reemplazamos la “t” en el orden de los miles (1000-2000-3000-4000, etc),
notaremos como se empieza a estabilizar en cierta cifra, también se puede comprobar
mediante la gráfica en GeoGebra.
Para
t =1.000 años
N
( 1000 )
t =3.000 años
N
( 3000 )
t =5.000 años
N
( 5000 )
t =10.000 años
N
( 10000 )
t =20.000 años
N
( 20000 )
Antes de calcular el valor para que se cumpla la continuidad en el punto.
Luego de realizar los cálculos necesarios.
Para la siguiente continuidad repetimos el procedimiento anterior, esta vez
centrándonos en el nuevo limite.
lim
x →
⃗ 3
f
( x )
=lim
x → 3
f
( x )
x < 3 x > 3
lim
x → 3
x
2
=lim
x→ 3
2 x + b
2
9 = 6 + b
b = 3
Antes de calcular el valor para que se cumpla la continuidad en el punto.
Luego de realizar los cálculos necesarios.
