EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LÍMITES
INDETERMINADOS
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Ejercicios Indeterminados sobre Límites - Prof. Fernanda, Guías, Proyectos, Investigaciones de Análisis Matemático
Documento que contiene ejercicios resueltos sobre límites indeterminados. Los ejercicios presentan expresiones matemáticas con radicales y límites, que requieren la aplicación de técnicas de racionalización para obtener resultados definitivos.
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
2021/2022
1 / 8
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EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LÍMITES
INDETERMINADOS
obtiene
; para levantar la indeterminación se debe descomponer en factores y luego volver a evaluar
para el valor dado.
lim
x x x
x
x x
3 2
2
lim
x x x
x x
x x
Inderminación.
2
0
lim lim
x
x x x
x x x
x x
x x x
2
2
0
lim
x
x x
x
2
2
lim
x
x
x
2
2
2
lim
x
x
x
Indeterminación.
2
2 2
lim lim
x x
x x x
x x
2
lim 2 2 2 4
x
x
3
1
lim
x
x
x
3
3
1
lim
x
x
x
Indeterminación
2
3
1 1
lim lim
x x
x x x
x
x x
2
2
1
lim 1 1 1 1 3
x
x x
2
2
2
lim
x
x x
x x
2
2
2 2
2
lim
x
x x
x x
Indet.
2
2
2 2
lim lim
x x
x x x x
x x x x
2
lim
x
x
x
LIMITES INDETERMINADOS
Los siguientes ejercicios sobre límites están indeterminados, es decir al aplicar el valor en la función se
3 3
0
lim
h
x h x
h
3 3
3 3 3 3
0
lim
h
x h x x x x x
h
Indeterminación.
3 2 2
3 3 2 2 3 3
0 0 0
lim lim lim
h h h
h x xh h
x h x x x h xh h x
h h h
2
2 2 2 2
0
lim 3 3 3 3 0 0 3
h
x xh h x x x
Los siguientes 8 ejercicios también son indeterminados, la presencia de radicales obliga a levantar la
Inderminación mediante la racionalización de los radicales aplicando el producto conjugado.
0
lim
x
x
x
0
lim
x
x
x
Indeterminado
0 0
lim lim
x x
x x x
x x x
2
0 0 0
lim lim lim
x x x
x x x
x
x x x x x x
0 0
lim lim
x x
x
x x x
2
7
lim
x
x
x
2 2
7
lim
x
x
x
Indeterminado
2 2
7 7
lim lim
x x
x x x
x x x
2
2
2 7 7
lim lim
x x
x x x
x x x x x
7 7
lim lim
x x
x x
x x x x x x
7 7
lim lim
x x
x x
x x x x x x
7
lim
x
x x
2
0
lim
x
x x
x
2
2
0
lim
x
x x
x
Indeterminado
2 2 2
0 0 2
lim lim
x x
x x x x x x
x x
x x
2
2 2 2
2
0 0 0 2 2 2
lim lim lim
x x x
x x x x x x
x x
x x x x x x x x x
2
0 2 0 2
lim lim
x x
x x x x
x x x x x x
0 2
lim
x
x
x x
0
lim
x
x x
x
0
lim
x
x x
x
Indeterminado.
0 0
lim lim
x x
x x x x x x
x x x x
2 2
0 0
lim lim
x x
x x x x x x
x x x x x x
2 2
0 0
lim lim
x x
x x
x x
x x x x x x
0 0
lim lim
x x
x x x
x x x x x x
0
lim
x
x x
4
lim
x
x
x
4
lim
x
x
x
Indeterminado
La presencia de radicales en el numerador y en el denominador obliga a la formación de dos
productos conjugados:
4 4
lim lim
x x
x x x x
x x x x
2
2
4 4
lim lim
x x
x x
x x x
x x x
x x
4 4 4
lim lim lim
x x x
x x x x x x
x x x x x x
4
lim
x
x
x
2 2
0 2 2
lim
x
x p p
x q q
2
2
2 2
0 2 2 2 2
lim
x
p p x p p p p
q q
x q q
q q
Indeterminado
2 2 2 2 2 2 2 2
0 2 2 0 2 2 2 2 2 2
lim lim
x x
x p p x p p x p p x q q
x q q x q q x p p x q q
2 2 2 2 2 2
0 2 2 2 2 2 2
lim
x
x p p x p p x q q
x q q x q q x p p
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
0 0 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
lim lim
x x
x p p x q q
x p p x q q
x q q x p p
x q q x p p
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 0 2 2 2 0 2
lim lim
x x
x x q q
q q
x q q q q q
p
x p p p p x
q
p p
p
x p p
Los 2 siguientes ejercicios están indeterminados en primera instancia, la presencia de radicales cúbicos
obliga a buscar un factor racionalizante que permita levantar dicha indeterminación; recuerde que:
3 3 2 2
3 3 2 2
a b a b a ab b
a b a b a ab b
3 8
lim
x
x
x
3 3
8
lim
x
x
x
Está indeterminado.
1 1 2 1
3 3 3 3
1 1
3 3
3 3
3 8 8 8
lim lim lim
x x x
x x x x
x
x x x
2 1
3 3
3 2 3 3 3
8 8
lim 2 4 lim 2 4 64 2 8 4 4 4 4 12
x x
x x x x
3
1
lim
x
x
x
3 3
1
lim
x
x
x
Está indeterminado.
1 2 1
3 3 3
2 1
3 3
3
1 1
lim lim
x x
x x x x x
x x x x x
Reordenando los factores se tiene:
1 2 1
3 3 3
2 1
2 1 3 3 3 3 1 1
lim lim
x x
x x x x x x
x x x x x x x
2 1
3 3
1
lim
x
x
x x