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PÁGINA 133
R A C T I C A
1 Comprueba si x = 2, y = –1 es solución de los siguientes sistemas de ecua-
ciones:
a) b)
a) 8 8 No es solución.
b) 8 8 Sí es solución de este sistema.
2 Completa los siguientes sistemas de ecuaciones para que ambos tengan la so-
lución x = 3, y = –1/2:
a) b)
a) 8 8
b) 8 8
3 a) Busca dos soluciones de la ecuación 3 x – y = 1.
b) Representa gráficamente la recta 3 x – y = 1. c) Un punto cualquiera de la recta ¿es solución de la ecuación? a) 3 x – y = 1 Si x = 1: 3 · 1 – y = 1 8 y = 2 Si x = 0: 3 · 0 – y = 1 8 y = – b)
c) Todos los puntos de la recta son soluciones de la ecuación.
X
Y
1 (1, 2) 1 2 3 4
2
(0, –1)
—^ x + y = 1 2 x – y = —^7 2
° §§ ¢ §§ £
—^3 – —^1 = 1
3 + —^1 = —^7
° §§ ¢ §§ £
—^ x + y = … 2 x – y = …
° § ¢§ £
3 x + 2 y = 8 x – 4 y = 5
° ¢ £
3 · 3 + 2^1
(–^ — 2 ) = 9 – 1 = 8
3 – 4^1 (–^ — 2 ) = 3 + 2 = 5
°§ § ¢§ § £
3 x + 2 y = … x – 4 y = …
° ¢ £
—^ x + y = … 2 x – y = …
° §¢ § £
3 x + 2 y = … x – 4 y = …
° ¢ £
° ¢ £
3 x – 4 y = 10 4 x + 3 y = 5
° ¢ £
° ¢ £
2 x – y = – 4 5 x + y = –
° ¢ £
3 x – 4 y = 10 4 x + 3 y = 5
° ¢ £
2 x – y = – 4 5 x + y = –
° ¢ £
P
Pág. 1
4 a) Representa gráficamente en los mismos ejes las dos rectas siguientes:
2 x + y = 3 x – y = 3 b) Di cuál es la solución de este sistema:
a) 2 x + y = 3 x – y = 3
b)
La solución del sistema es x = 2, y = –1, que corresponde al punto de corte de ambas rectas.
5 Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) b) c) d)
a)
3 x – y = 1 x + 2 y = 5
Solución : x = 1, y = 2
b)
3 x – y = 0 3 x + y = –
Solución : x = –1, y = –
c)
x + 3 y = –5 2 x – y = 4
Solución : x = 1, y = –
X
Y
1
1
–2 P (1, –2)
x 0 1 y –4 –
x 1 – y –2 –
x + 3 y = – 2 x – y = 4
° ¢ £
X
Y
1
1
P (–1, –3)
x 0 – y –6 0
x 0 1 y 0 3
3 x – y = 0 3 x + y = –
° ¢ £
X
Y
2
3
1
P (1, 2)
x 1 – y 2 3
x 0 1 y –1 2
3 x – y = 1 x + 2 y = 5
° ¢ £
2 x – 3 y = – 4 x + 8 y = –
° ¢ £
x + 3 y = – 2 x – y = 4
° ¢ £
3 x – y = 0 3 x + y = –
° ¢ £
3 x – y = 1 x + 2 y = 5
° ¢ £
° ¢ £
2 x + y = 3 x – y = 3
X
Y
2 (2, –1)
2 x + y = 3 x (^0 1) x – y = 3 y –3 –
x 0 1 y 3 1
2 x + y = 3 x – y = 3
° ¢ £
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7 Resuelve por igualación.
a)
b)
c)
d)
a) 8 6 + y = 4 8 y = –
Solución : x = 4, y = –
b) 8 –4 – 3 y = 6 + 2 y 8 –4 – 6 = 5 y 8
8 y = –2 8 x = –4 – 3(–2) = 2 Solución : x = 2, y = –
c) 8 6 x = 8 12 x = 7 x + 5 8 5 x = 5 8
8 x = 1 8 y = 6 · 1 = 6 Solución : x = 1, y = 6
d) 8 = –1 – 2 x 8 3 x + 4 = –4 – 8 x 8
8 11 x = –8 8 x = 8
8 y = –1 – 2 =
Solución : x = , y = 5 11
) 11
( 11
3 x + 4 4
° § ¢§ £
y = —^3 x^ + 4 4 y = –1 – 2 x
° ¢ £
3 x – 4 y = – 4 2 x + y = –
7 x + 5 2
° § ¢§ £
y = 6 x y = —^7 x^ + 5 2
° ¢ £
y = 6 x 7 x = 2 y – 5
° ¢ £
x = –4 – 3 y x = 6 + 2 y
° ¢ £
x + 3 y = – 4 x – 2 y = 6
° ¢ £
x = 4 x = 6 + y
° ¢ £
x = 4 x – y = 6
3 x – 4 y = – 4 2 x + y = –
° ¢ £
y = 6 x 7 x = 2 y – 5
° ¢ £
x + 3 y = – 4 x – 2 y = 6
° ¢ £
x = 4 x – y = 6
° ¢ £
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8 Resuelve por reducción.
a) b)
c) d)
e) f)
a)
2 x = 2 8 x = 1, y = – Solución : x = 1, y = –
b)
6 x = –6 8 x = –1, y = – Solución : x = –1, y = –
c)
10 x = –10 8 x = –1 8 2(–1) + y = –4 8 y = – Solución : x = –1, y = –
d) 8 7 x = 15 8 x = 8 + 2 y = 1 8
8 y = = –
Solución : x = , y = –
e) 8 5 x = 4 8 x = 8 – 3 y = 1 8
8 y = = –
Solución : x = , y = –
f ) 8 x = 3 – = 8 + y = 8
8 y = – =
Solución : x = , y = 1 2
° ¢ £
3 x + 2 y = 3 –2 x – 2 y = –14/
° ¢ £
3 x + 2 y = 3 x + y = 7/
° ¢ £
2 x – 6 y = 2 3 x + 6 y = 2
° ¢ £
x – 3 y = 1 3 x + 6 y = 2
° ¢ £
x + 2 y = 1 6 x – 2 y = 14
° ¢ £
x + 2 y = 1 3 x – y = 7
° ¢ £
4 x – 3 y = 2 6 x + 3 y = –
° ¢ £
4 x – 3 y = 2 2 x + y = – 4
° ¢ £
3 x – y = 0 3 x + y = –
° ¢ £
x + y = 0 x – y = 2
3 x + 2 y = 3 x + y = 7/
° ¢ £
x – 3 y = 1 3 x + 6 y = 2
° ¢ £
x + 2 y = 1 3 x – y = 7
° ¢ £
4 x – 3 y = 2 2 x + y = – 4
° ¢ £
3 x – y = 0 3 x + y = –
° ¢ £
x + y = 0 x – y = 2
° ¢ £
Pág. 5
10 Resuelve los sistemas siguientes:
a)
b)
c)
d)
a) Por sustitución: y = –2 x 8 5 x – 3 = 9(–2 x ) – 3 8
8 5 x – 3 = –18 x – 3 8 23 x = 0 8 x = 0 8 y = –2 · 0 = 0 Solución : x = 0, y = 0
b) Por reducción: 8
8 –4 y = 16 8 y = –4 8 2 x – 3(–4) = 24 8 2 x = 12 8 x = 6 Solución : x = 6, y = –
c)
Por reducción: 11 x = 11 8 x = 1 8 6 · 1 – y = 3 8 y = 3 Solución : x = 1, y = 3
d) Por reducción:
8 14 x = 28 8 x = 2 8 2 – y = 5 8 y = = –
Solución : x = 2, y = –
° ¢ £
12 x + 3 y = 18 2 x – 3 y = 10
° ¢ £
4 x + y = 6 2 x – 3 y = 10
° ¢ £
4 x + y – 2 = 4 2 x – 3 y = 10
°§ § ¢§ § £
y – 2 x + — = 1 4 3 x – — y = 5 2
° ¢ £
6 x – y = 3 5 x + y = 8
° ¢ £
6 x – 4 = y – 1 3 x + 3 y + 2 x – 2 y = 8 8 5 x + y = 8
° ¢ £
2(3 x – 2) = y – 1 3( x + y ) + 2( x – y ) = 8
° ¢ £
2 x – 3 y = 24 –2 x – y = –
° ¢ £
2 x – 3 y = 24 2 x + y = 8
° § §¢ § §£
—^ x^ – — y = 4 3 2 —^ x^ + — y = 2 2 4
° ¢ £
2 x + y = 0 5 x – 3 = 9 y – 3
y – 2 x + — = 1 4 3 x – — y = 5 2
°§ § ¢§ § £
2 (3 x – 2) = y – 1 3 ( x + y ) + 2( x – y ) = 8
° ¢ £
—^ x^ – — y = 4 3 2 —^ x^ + — y = 2 2 4
° § §¢ § §£
2 x + y = 0 5 x – 3 = 9 y – 3
° ¢ £
Pág. 7
11 Observa las ecuaciones que forman los siguientes sistemas y di cuál de ellos
tiene una única solución, cuál no tiene solución y cuál tiene infinitas soluciones. Compruébalo representando las rectas que los forman:
a) b) c) d)
a) No tiene solución
2 x – y = 1 4 x – 2 y = 8 8 2 x – y = 4
b) Tiene infinitas soluciones
x – 2 y = 5 2 x – 4 y = 10 8 x – 2 y = 5
Es la misma recta
c) Tiene una solución, x = 1, y = –3.
5 x + 2 y = –1 4 x – y = 7
d) No tiene solución
x – 2 y = 5 2 x – 4 y = –
12 Completa los siguientes sistemas de modo que el primero tenga la solución
x = 3, y = –2; el segundo sea incompatible y el tercero y el cuarto sean indeter- minados:
a) b) c) d)
a) 8 8 Solución : 3 x^ + 2 y^ = 5 2 x – y = 8
° ¢ £
… = 8 + y = 8 – 2 = 6
° ¢ £
3 x + 2 y = … … – y = 8
° ¢ £
- x + 2 y = 7 … – 4 y = …
° ¢ £
3 x – 2 y = 4 6 x – 4 y = …
° ¢ £
x + y = 5 2 x + 2 y = …
° ¢ £
3 x + 2 y = … … – y = 8
° ¢ £
X
Y
1 2
1
x 1 3 – y 5/4 9/
x 1 – y –2 –
° ¢ £
x – 2 y = 5 2 x – 4 y = –
X
Y
1 2
1
–3 P (1, –3)
x 1 2 y –3 1
x 1 – y –3 –
° ¢ £
5 x + 2 y = – 4 x – y = 7
X
Y
1 3
1
x (^1 3) – y –2 –
° ¢ £
x – 2 y = 5 2 x – 4 y = 10
X
Y
1 2
1
x 0 2 y –4 0
x 0 2 y –1 3
° ¢ £
2 x – y = 1 4 x – 2 y = 8
x – 2 y = 5 2 x – 4 y = –
° ¢ £
5 x + 2 y = – 4 x – y = 7
° ¢ £
x – 2 y = 5 2 x – 4 y = 10
° ¢ £
2 x – y = 1 4 x – 2 y = 8
° ¢ £
Pág. 8
14 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando dos veces el mé-
todo de reducción para despejar cada una de las incógnitas:
a) b)
a) 8 8 126 y = –12 8 y =
8 126 x = 138 8 x =
Solución : x = , y =
b) 8 8 –80 y = 396 8 y = –
8 –80 x = 92 8 x = –
Solución : x = – , y = –
15 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. Para ello, simplifica previa-
mente las ecuaciones que los forman:
a) b)
c) d)
a) 8 8 8
8 8 2 y = 4 8 y = 2 8
8 x + 2 = –1 8 x = = –
Solución : x = – 9 , y = 2 2
2 x + 3 y = – –2 x – y = 7
° ¢ £
2 x + 3 y = – 2 x + y = –
° ¢ £
2 x + 3 y = – 2( x + 1) + y – 1 = –
° ¢ £
—^2 x + y = – 3 x — + 1 (^) + y — – 1 = – 3 6
° § §¢ § §£
x – 1 y + 1 — + — = 1 2 4 —^2 x^ – 1^ – —^2 y^ + 1 = 1 2 6
° § §¢ § §£
2 – x 3 + y — + — = 2 3 6 8 – 3 — x (^) – 2 +— y = 2 6 9
° § §¢ § §£
—^ x^ + 1 + y = 1 3 —^ x^ – 3 + 2 y = 1 4
° §§ ¢ §§ £
—^2 x + y = – 3 x + 1 y – 1 — + — = – 3 6
° §§ ¢ §§ £
63 x – 91 y = 378 –143 x + 91 y = –
° ¢ £
99 x – 143 y = 594 –99 x + 63 y = –
° ¢ £
9 x – 13 y = 54 11 x – 7 y = 22
° ¢ £
182 x – 112 y = 210 –56 x + 112 y = –
° ¢ £
91 x – 56 y = 105 –91 x + 182 y = –
° ¢ £
13 x – 8 y = 15 7 x – 14 y = 9
° ¢ £
9 x – 13 y = 54 11 x – 7 y = 22
° ¢ £
13 x – 8 y = 15 7 x – 14 y = 9
° ¢ £
Pág. 10
b) 8 8 8
8 8 –5 y = –5 8 y = 1 8
8 + 1 = 1 8 x = –
Solución : x = –1, y = 1
c) 8 8
8 8 –13 x = 26 8 x = –2 8
8 = 8 y = 1
Solución : x = –2, y = 1
d) 8 8
8 8 10 x = 20 8 x = 2 8
8 + = 1 8 = 8 y = 1
Solución : x = 2, y = 1
y + 1 4
y + 1 4
4 x + 2 y = 10 6 x – 2 y = 10
° ¢ £
2 x + y = 5 6 x – 2 y = 10
° ¢ £
2 x – 2 + y + 1 = 4 6 x – 3 – 2 y – 1 = 6
° ¢ £
2( x – 1) + y + 1 = 4 3(2 x – 1) – (2 y + 1) = 6
° ¢ £
x – 1 y + 1 — + — = 1 2 4 2 x – 1 2 y + 1 — – — = 1 2 6
° §§ ¢ §§ £
3 + y 6
3 + y 6
3 + y 6
–4 x + 2 y = 10 –9 x – 2 y = 16
° ¢ £
–2 x + y = 5 –9 x – 2 y = 16
° ¢ £
4 – 2 x + 3 + y = 12 24 – 9 x – 4 – 2 y = 36
° ¢ £
2(2 – x ) + 3 + y = 12 3(8 – 3 x ) – 2(2 + y ) = 36
° ¢ £
2 – — x (^) + 3 +— y = 2 3 6 8 – 3 — x (^) – 2 +— y = 2 6 9
° § §¢ § §£
x + 1 3
x + 3 y = 2
° ¢ £
x + 3 y = 2 x + 8 y = 7
° ¢ £
x + 1 + 3 y = 3 x – 3 + 8 y = 4
° ¢ £
—^ x^ + 1 + y = 1 3 —^ x^ – 3 + 2 y = 1 4
° § §¢ § §£
Pág. 11
18 Por dos bolígrafos y tres cuadernos he pagado 7,80 e ; por cinco bolígrafos
y cuatro cuadernos, pagué 13,2 e. ¿Cuál es el precio de un bolígrafo? ¿Y de un cuaderno? x es el precio de un bolígrafo e y es el precio de un cuaderno.
8 39 – 15 y + 8 y = 26,4 8 –7 y = –12,6 8 y = 1,8 e 8 8 x = = 1,2 e
Un bolígrafo cuesta 1,2 e, y un cuaderno, 1,8 e.
19 Un librero ha vendido 45 libros, unos a 32 e y otros a 28 e. Obtuvo por la
venta 1 368 e. ¿Cuántos libros vendió de cada clase? x son los libros de 32 e e y son los de 28 e.
8
8 32 x + 1 260 – 28 x = 1 368 8 4 x = 108 8 8 x = 27 8 y = 45 – 27 = 18 Vendió 27 libros de 32 e y 18 libros de 28 e.
20 En un corral hay conejos y gallinas que hacen un total de 29 cabezas y 92
patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase? x es el número de gallinas, e y , el de conejos.
8
8 2 x + 116 – 4 x = 92 8 –2 x = –24 8 8 x = 12 8 y = 29 – 12 = 17 Hay 12 gallinas y 17 conejos.
21 Un examen tipo test consta de 50 preguntas y hay que contestar a todas.
Por cada acierto se obtiene un punto y por cada fallo se restan 0,5 puntos. Si mi nota ha sido 24,5, ¿cuántos aciertos y cuántos fallos he tenido? x es el número de aciertos, e y , el de fallos.
8 8 –1,5 y = –25,5 8 y = 17 8 x = 33
He tenido 33 aciertos y 17 fallos.
- x – y = – x – 0,5 y = 24,
° ¢ £
x + y = 50 x – 0,5 y = 24,
° ¢ £
y = 29 – x 2 x + 4(29 – x ) = 92 8
° ¢ £
x + y = 29 2 x + 4 y = 92
° ¢ £
y = 45 – x 32 x + 28(45 – x ) = 1 368 8
° ¢ £
x + y = 45 32 x + 28 y = 1 368
° ¢ £
x = 7,80 – 3— y 2 5 7,80 – 3 y (— 2 ) + 4 y^ = 13,2^8
° §§ ¢ §§ £
2 x + 3 y = 7, 5 x + 4 y = 13,
° ¢ £
Pág. 13
22 Una cooperativa ha envasado 2 000 l de aceite en botellas de 1,5 l y 2 l. Si
ha utilizado 1 100 botellas, ¿cuántas se han necesitado de cada clase? x son las botellas de 1,5 l , e y , las de 2 l.
8 8
8 –0,5 x = –200 8 x = 400 8 y = 1 100 – 400 = 700 Se han utilizado 400 botellas de 1,5 l y 700 de 2 l.
23 Halla dos números naturales tales que su suma sea 154, y su cociente,.
Llamamos x e y a los números.
8 8 3 x = 8(154 – x ) 8 3 x = 1 232 – 8 x 8
8 11 x = 1 232 8 x = 112 8 y = 154 – 112 = 42 Los números son 112 y 42.
24 Halla dos números naturales que suman 140 y tales que al dividir el mayor
entre el menor obtenemos 2 de cociente y 14 de resto.
+ Recuerda: Dividendo = divisor^ Ò^ cociente + resto.
Los números son x e y.
8 8 3 y = 126 8 y = 42
98 y 42 son los números buscados.
25 La suma de las edades de una madre y su hijo es 56 años. Hace 10 años, la
edad de la madre era el quíntuple de la edad que tenía el hijo. ¿Cuál es la edad ac- tual de cada uno?
8 x – 10 = 280 – 5 x – 50 8 6 x = 240 8 8 x = 40 8 y = 56 – 40 = 16 La madre tiene 40 años, y el hijo, 16 años.
y = 56 – x x – 10 = 5(56 – x ) – 50
° ¢ £
x + y = 56 x – 10 = 5 y – 50
° ¢ £
x + y = 56 x – 10 = 5( y – 10)
° ¢ £
2 y + 14 + y = 140 x = 2 · 42 + 14 = 98
° ¢ £
x + y = 140 x = 2 y + 14
° ¢ £
y = 154 – x 3 x = 8 y
° ¢ £
x + y = 154 x — (^) = — 8 y 3
°§ ¢ §£
–2 x – 2 y = –2 200 1,5 x + 2 y = 2 000
° ¢ £
x + y = 1 100 1,5 x + 2 y = 2 000
° ¢ £
Pág. 14
H O Y H A C E 10 A Ñ O S M A D R E x x – 10 H I J O y y – 10 56 x – 10 = 5( y – 10)
PÁGINA 135
P r o b l e m a r e s u e l t o
He pagado 55,72 e por una camiseta y un pantalón que costaban 70 e entre los dos. En la camiseta me han hecho un 18% de descuento, y en el pantalón, un 22%. ¿Cuál era el precio original de cada artículo? La camiseta vale x; con la rebaja del 18% pago 0,82 x. El pantalón vale y; con la rebaja del 22% pago 0,78 y. Por tanto:
8
8 0,82 x + 54,6 – 0,78 x = 55,72 8 8 0,04 x = 1,12 8 x = 28 8 8 y = 70 – 28 = 42 La camiseta vale 28 e, y el pantalón, 42 e.
Comprobación:
31 Por unos zapatos y una chaqueta he pagado 126 e. Si el precio de los zapa-
tos aumentara en un 14%, entonces sería igual al 75% del precio de la chaqueta. ¿Cuánto he pagado por cada uno? Precio de los zapatos: x ; precio de la chaqueta: y ;
8
8 1,14 x = 94,5 – 0,75 x 8 1,89 x = 94,5 8 8 x = 50 e 8 y = 76 e He pagado 50 e por los zapatos y 76 e por la chaqueta.
32 Los alumnos de un centro escolar son 420 entre ESO y Bachillerato. El
42% de ESO y el 52% de Bachillerato son chicas, lo que supone un total de 196 mujeres. Calcula cuántos estudiantes hay en ESO y cuántos en Bachillerato. x es el número de alumnos de ESO e y los de Bachillerato.
8
8 0,42 x – 0,52 x = 196 – 218,4 8 8 0,1 x = 22,4 8 x = 224 8 8 y = 420 – 224 = 196 Son 224 alumnos en la ESO y 196 en Bachillerato.
y = 420 – x 0,42 x + 0,52(420 – x ) = 196 8
° ¢ £
x + y = 420 0,42 x + 0,52 y = 196
° ¢ £
y = 126 – x 1,14 x = 0,75(126 – x ) 8
° ¢ £
x + y = 126 1,14 x = 0,75 y
° ¢ £
° ¢ £
y = 70 – x 0,82 x + 0,78(70 – x ) = 55,72 8
° ¢ £
x + y = 70 0,82 x + 0,78 y = 55,
° ¢ £
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33 Un comerciante compró 35 juegos de un tipo y 25 de otro pagando por
ellos 1 220 e. Con la venta de los primeros ganó un 25% y con los segundos per- dió el 5%, de forma que obtuvo 170 e de ganancia sobre el precio de compra. Calcula el precio de compra de cada tipo de juego. Precios de compra de cada tipo de juego: x e y.
8 8
8 y = 8 43,75 x + = 1 390 8
8 43,75 x + 1 159 – 33,25 x = 1 390 8
8 10,5 x = 231 8 x = 22 8 y = = 18
Los precios de compra fueron 22 e y 18 e, respectivamente.
P r o b l e m a r e s u e l t o
Un autobús sale de A a 90 km/h. Cuando ha recorrido 25 km, sale de A un coche a 110 km/h que quiere alcanzar al autobús. ¿Cuánto tiempo tarda en hacerlo y qué distancia recorre hasta conseguirlo?
Sabemos que espacio = velocidad · tiempo.
8 25 + 90 t = 110 t 8 20 t = 25 8 t = 1,25 8 x = 112,
Tarda 1,25 h y recorre 137,5 km.
35 Un tren regional sale de una estación a 85 km/h. Media hora más tarde sale
otro más rápido en la misma dirección a 110 km/h. Calcula el tiempo que tardará en alcanzarlo y la distancia recorrida hasta lograrlo. t : tiempo que tarda en alcanzarlo. x : distancia que recorre el tren regional hasta el alcance.
85 km/h x
x + 42,
42,
° ¢ £
x = 90 t 25 + x = 110 t
110 km/h A (^) 25 + x B
COCHE:
AUTOBÚS: 90 km/h A (^) 25 km x B
)
244 – 7 x ( 5
244 – 7 x 5
7 x + 5 y = 244 43,75 x + 23,75 y = 1 390
° ¢ £
35 x + 25 y = 1 220 1,25 · 35 x + 0,95 · 25 y = 1 390
° ¢ £
Pág. 17
E S PA C I O V E L O C I D A D T I E M P O A U T O B Ú S x 90 t C O C H E 25 + x 110 t
8 3,5 x + 100 – 2 x = 154 8 8 1,5 x = 54 8 x = 36 8 y = 14 36 l de aceite de oliva y 14 l de girasol.
40 Si en un depósito que contiene agua a 50 °C añadimos agua a 15 °C, obte-
nemos 150 l a 36 °C. ¿Cuántos litros había en el depósito y cuántos hemos aña- dido? x son los litros de agua que había en el depósito. y son los litros que hemos añadido.
8
8 50 x + 2 250 – 15 x = 5 400 8 8 35 x = 3 150 8 x = 90 8 y = 150 – 90 = 60 Había 90 l de agua a 50° y hemos añadido 60 l de agua a 15°.
P r o b l e m a r e s u e l t o
Las dos cifras de un número suman 7. Si invertimos el orden de estas, obtenemos otro número que es igual al doble del anterior más 2 unidades. ¿Cuál es el núme- ro inicial? Cifra de las decenas: x Cifra de las unidades: y Número inicial: 10 x + y Número invertido: 10 y + x 1.a^ condición: x + y = 7 2.a^ condición: 10 y + x = 2 (10 x + y ) + 2
8 8
8 70 – 10 x + x = 20 x + 14 – 2 x + 2 8 8 27 x = 54 8 x = 2 8 y = 5 El número buscado es 25.
y = 7 – x 10(7 – x ) + x = 20 x + 2(7 – x ) + 2 8
° ¢ £
x + y = 7 10 y + x = 20 x + 2 y + 2
° ¢ £
x + y = 7 10 y + x = 2(10 x + y ) + 2
° ¢ £
y = 150 – x 50 x + 15(150 – x ) = 5 400 8
° ¢ £
x + y = 150 50 x + 15 y = 150 · 36
° ¢ £
y = 50 – x 3,5 x + 2(50 – x ) = 154 8
° ¢ £
x + y = 50 3,5 x + 2 y = 50 · 3,
° ¢ £
Pág. 19 C A N T I D A D P R E C I O O L I VA x^ 3, G I R A S O L y 2 M E Z C L A 50 3,
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42 Un número de tres cifras es capicúa y sus cifras suman 10. Si a dicho nú-
mero le sumamos 10 veces la cifra de las decenas, el resultado es 261. ¿Cuál es el número? x es la cifra de las unidades. y es la cifra de las decenas. x es la cifra de las centenas.
8
8 101 x + 200 – 40 x = 261 8 8 61 x = 61 8 x = 1 8 y = 10 – 2 = 8 El número es 181.
43 Si a un número de dos cifras le restamos el que resulta de invertir el orden
de estas, obtenemos el doble de la cifra de las decenas del número inicial. Halla dicho número sabiendo que sus cifras suman 16. x es la cifra de las decenas. y es la cifra de las unidades.
8
8 10 x + 16 – x – 160 + 10 x – x = 2 x 8 8 16 x = 144 8 x = 9 8 y = 7 El número es 97.
E F L E X I O N A S O B R E L A T E O R Í A
44 Escribe un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya única solu-
ción sea x = 2, y = –1.
8 8 x = 2, y = –1 es solución.
45 Comprueba si x = 3, y = 1 es solución de alguno de estos sistemas de
ecuaciones:
a) b)
a) 8 x = 3, y = 1 es la solución de ese sistema.
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x + y = 4 x – 2 y = 1 2 x – 6 y = 0
° §¢ § £
x – y = 2 2 x – 3 y = 3 x + y = 5
°§ ¢ §£
x + y = 4 x – 2 y = 1 2 x – 6 y = 0
°§ ¢ §£
° ¢ £
3 x + 2 y = 4 x – y = 3
° ¢ £
R
y = 16 – x 10 x + 16 – x – 10(16 – x ) – x = 2 x 8
° ¢ £
x + y = 16 (10 x + y ) – (10 y + x ) = 2 x
° ¢ £
y = 10 – 2 x 101 x + 20(10 – 2 x ) = 261 8
° ¢ £
2 x + y = 10 100 x + 10 y + x + 10 y = 261
° ¢ £
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