¡Descarga Ejercicios de Álgebra: Polinomios y Factorización y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Ejercicios de polinomios
1 Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su grado y
coeficiente.
13x^3 25x−^3 33x + 1 √ݔ2 ଷସ ݔ ଶି^ ଷ௫ మ 2 ݔ√
2 Efectúa las siguientes operaciones con monomios:
1 2x 3 − 5x^3 = 2 3x^4 − 2x^4 + 7x 4 = 3 (2x 3 ) · (5x^3 ) = 4 (2x 3 y^2 ) · (5x 3 y z 2 ) = 5 (12x 3 ) · (4x) = 6 (18x 3 y^2 z^5 ) · (6x^3 y z^2 ) = 7 (2x 3 y^2 )^3 = 8 (2 x 3 y^2 z^5 ) 5 = 9 3x^3 − 5x^3 − 2x 3 = 10 (12 x 3 y^5 z4)^ : (3x 2 y^2 z 3 ) =
11
3 Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su grado
y término independiente. 1 x^4 − 3x^5 + 2x 2 + 5
2 2 + 7X^2 + 2 3 1 − x 4 4 5 x^3 + x^5 + x 2 6 x − 2 x−^3 + 8 7
4 Escribe:
1 Un polinomio ordenado sin término independiente. 2 Un polinomio no ordenado y completo. 3 Un polinomio completo sin término independiente. 4 Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.
5 Dados los polinomios:
P(x) = 4x 2 − 1 Q(x) = x 3 − 3x 2 + 6x − 2 R(x) = 6x 2 + x + 1 S(x) = 1/2x^2 + 4 T(x) = 3/2x^2 + U(x) = x 2 + 2 Calcular: 1 P(x) + Q (x) 2 P(x) − U (x) 3 P(x) + R (x) 4 2P(x) − R (x) 5 S(x) + R (x) + U(x) 6 S(x) − R (x) + U(x)
6 Multiplicar:
1 (x^4 −2x^2 +2 ) · (x^2 −2x +3) = 2 (3x 2 − 5x) · (2x 3 + 4x 2 − x +2) =
7 Calcula:
2 (x + 2) 3 3 (3x - 2)^3
6 x^2 − 6x +9 = 7 x^2 − 20x +100 = 8 x^2 + 10x +25 = 9 x^2 + 14x +49 = 10 x 3 − 4x^2 + 4x = 11 3x^7 − 27x = 12 x^2 − 11x + 30 13 3x^2 + 10x + 14 2x 2 − x − 1
14 Descomponer en factores y hallar las raíces de:
1 P(x) = 2x 3 − 7x^2 + 8x − 3 2 x^3 − x^2 − 4 3 x^3 + 3x 2 −4 x − 12
15 Encontrar el valor de k para que al dividir 2x 2 − kx +2 por (x − 2) dé de resto 4.
16 Determinar el valor de m para que 3x 2 + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces.
17 Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x^2 − 4 y se anule para x = 3 y x= 5.
18 Calcular el valor de a para que el polinomio x 3 − ax + 8 tenga la raíz x= −2, y calcular las otras raíces.
19 Simplificar:
20 Operar:
3x^3 − 5x 3 − 2x 3 = −4x 3 (12 x 3 y^5 z^4 ) : (3x^2 y^2 z 3 ) = 4xy^3 z
ios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su do y término independiente.
ependiente: 5.
literal del primer monomio está dentro de una raíz.
, término independiente: 1.
4 o, porque el xponente del primer monomio no es un número natural.
ino independiente: 0.
exponente del 2º monomio no es un número natural.
7
olinomio ordenado sin término independiente.
2 mio no ordenado y completo.
pleto sin término independiente.
3 Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinom
gra 1x^4 − 3x 5 + 2x 2 + 5 Grado: 5, término ind
22 + 7X^2 + 2 No, porque la parte 31 − x^4 Grado: 4
N e 5x^3 + x 5 + x^2 Grado: 5, térm x − 2x−^3 + 8 No, porque el
Grado: 5, término independiente: -7/2.
4 Escribe:
1 Un p 3x^4 − 2x Un polino x − x^2 + 5 − 2x 3 3 Un polinomio com
Imposible 4 io de grado 4, completo y con coeficientes impares.
5 Dad
) + Q (x) = 4x^2 − 2) = x 3 − 3x^2 + 4x 2 + 6x − 2 − 1 = x 3 + x 2 + 6x − 3
10x 2 + x 3
6 + U(x) = (1/2 x 2 + 4 ) − (3/2 x 2 +5 ) + (x^2 + 2) = 1/2 x^2 + 4 − 3/2 x 2 − 5 + x 2 + 2 = 1
· (x^2 −2x +3) = x 6 −2x^5 + 3x 4 − 2x 4 + 4x^3 − 6x^2 + 2x^2 − 4x +6= x + 6 =
Un polinom x^4 − x^3 − x^2 + 3x + 5 os los polinomios: P(x) = 4x 2 − 1 Q(x) = x 3 − 3x 2 R(x) = 6x 2 + x + 1 S(x) = 1/2x^2 + 4 T(x) = 3/2x^2 + U(x) = x 2 + 2 Calcular: 1 P(x = ( − 1) + ( x^3 − 3x^2 + 6x 2 P(x) − U (x) = (4x 2 − 1) − (x 2 + 2) = 4x 2 − 1 − x 2 − 2 = 3x 2 − 3 3 P(x) + R (x) = (4x 2 − 1) + (6x^2 + x + 1) = 4x 2 + 6x 2 + x − 1 + 1 = 4 2P(x) − R (x) = 2(4x^2 − 1) - (6x^2 + x + 1) = 8x 2 − 2 − 6x^2 − x − 1 = 2x 2 − x − 5 S(x) + R (x) + U(x) = (1/2 x 2 + 4 ) + (3/2 x 2 +5 ) + (x^2 + 2) = 1/2 x^2 + 3/2 x 2 + x^2 = 3x^2 + 11 S(x) − R (x)
6 Multiplicar:
1 (x^4 −2x^2 +2 ) = x 6 −2x^5 − 2x^4 + 3x^4 + 4x 3 + 2x 2 − 6x^2 − 4x +6 x 6 −2x^5 + x 4 + 4x 3 − 4x^2 − 4 2 (3x 2 − 5x ) · (2x^3 + 4x^2 − x +2) = 6x 5 + 12x 4 − 3x 3 + 6x 2 − 10x 4 − 20x 3 + 5x 2 − 10x = 6x 5 + 12x 4 − 10x^4 − 3x^3 − 20x^3 + 6x 2 + 5x 2 − 10x = 6x^5 + 2x 4 − 23x^3 + 11x 2 − 10x
R(−2) = 2 · (−2) 4 − 2· (−2) 3 + 3· (−2)^2 + 5· (−2) +10 = 32 + 16 + 12 − 10 + 10 = 60
1 Indica cuáles de estas divisiones son exactas:
: (x + 1)
x^4 − 2x^3 + x^2 + x − 1) : (x − 1 ) +1 − 1 = 0
(^10) − 1024) : (x + 2) − 1024 =
prueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:
si P(x = 3) = 0.
factor (x + 1) si P(x = − 1) = 0.
− 1) tiene por factor (x − 1 ) si P(x = 1) = 0.
1 (x^3 − 5x −1) : (x − 3) P(3) = 3 3 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 No es exacta. 2 (x 6 − 1) P(−1)= (-1)^6 − 1 = 0 Exacta 3 ( P(1) = 1 4 − 2 · 1 3 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 + Exacta 4 (x P(−2) = (−2)^10 − 1024 = 1024 Exacta
12 Com
1 (x^3 − 5x −1) tiene por factor (x − 3) (x 3 − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo P(3) = 3 3 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0 (x − 3) no es un factor. 2 (x 6 − 1) tiene por (x^6 − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo P(−1) = (−1)^6 − 1 = 0 (x + 1) es un factor. 3 (x 4 − 2x^3 + x^2 + x (x^4 − 2x^3 + x^2 + x − 1) es divisible por (x − 1 ) si y sólo P(1) = 1 4 − 2 · 1 3 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 +1 +1 − 1 = 0
(x − 1) es un factor. 4 (x^10 − 1024) tiene por factor (x + 2) si P(x = − 2) = 0.
x^2 − 11x + 30 = (x −6) · (x −5)
(x^10 − 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo P(−2) = (−2)^10 − 1024 = 1024 − 1024 = (x + 2) es un factor.
13 Factorizar:
2 xy − 2x − 3y +6 = x · (y − 2)− 3 · (y − 2) = (x − 3) · (y − 3 25x 2 − 1= (5x +1) ·(5x − 1) 4 36x^6 − 49 = (6x 3 + 7) · (6x 3 − 5 x 2 − 2x +1 = (x − 1) 2 6 x^2 − 6x +9 = (x − 3) 2 7 x^2 − 20x +100 = (x − 1 8 x^2 + 10x +25 = (x + 5)^2 9 x 2 + 14x +49 = (x + 7)^2 10 x 3 − 4x^2 + 4x = x · (x 2 − 4x +4) = x · (x 11 3x^7 − 27x = 3x · (x^6 − 9 ) =3x · (x^3 + 3) · (x^3 − 12 x 2 − 11x + 30 x^2 − 11x + 30 = 0
13 3x^2 + 10x + 3x 2 + 10x +3 = 0
P(2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0
(x − 2) · (x 2 + x + 2 ) x 2 + x + 2 = 0
(x − 2) · (x 2 + x + 2 ) Raíz: x = 2. 3x 3 + 3x 2 −4 x − 12 {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 } P(1) = 1 3 + 3 · 1 2 − 4 · 1 − 12 ≠ 0 P(−1) = (−1)^3 + 3 · (−1) 2 − 4 · (−1) − 12 ≠ 0 P(2) = 2 3 + 3 · 2 2 − 4 · 2 − 12 = 8 + 12 − 8 − 12 = 0
(x − 2) · (x 2 + 5x +6) x 2 + 5x +6 = 0
(x − 2) ·(x + 2) ·(x +3) Las raíces son : x = 2, x = − 2, x = − 3.
15 Encontrar el valor de k para que al dividir 2x 2 − kx +2 por (x − 2) dé de resto 4.
P(2) = 2 · 2^2 − k · 2 +2 = 4
10 - 2k = 4 − 2k = − 6 k = 3
16 Determinar el valor de m para que 3x^2 + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces.
P(1) = 3 · 1^2 + m · 1 + 4 = 0 3 + m + 4 = 0 m = − 7
17 Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x^2 − 4 y se anule para x = 3 y x= 5.
(x − 3) · (x − 5) · (x^2 − 4) = (x^2 −8 x + 15) · (x^2 − 4) = = x 4 − 4x 2 − 8x 3 +32x + 15x^2 − 60 = = x 4 − 8x 3 + 11x 2 +32x − 60
18 Calcular el valor de a para que el polinomio x 3 − ax +8 tenga la raíz x= − 2, y calcular las otras raíces.
P(−2) = (−2)^3 − a · (−2) +8 = 0 − 8 + 2a +8 = 0 a= 0
(x + 2) · (x 2 − 2x + 4) x^2 − 2x + 4 = 0
No tiene más raíces reales.
19 Simplificar:
