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UNIDAD 14: Aplicaciones de las derivadas
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1. La función y = f (x) es creciente en , 1 3 , y decreciente en (1, 3). Tiene un máximo
relativo en el punto (1, 4) y un mínimo relativo en (0, 3).
La función y = g (x) es creciente en , 0 1 ,y decreciente en (0, 1). Tiene un mínimo relativo
en el punto (0, 3).
2. Dos números cualesquiera que sumen 16 son x y 16 – x.
Su producto, P (x) = (16 – x) · x = 16x – x 2 , es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola con un
máximo relativo en su vértice (8, 64).
Es decir, los números pedidos son 8 y 8.
Dos números cualesquiera cuyo producto es 16 son x y x
.
Su suma, x
S x x
( ) , es una función cuya gráfica tiene un mínimo relativo en el punto (4, 8).
Por tanto, los números pedidos son 4 y 4.
3. a) La función x
f x
( ) es siempre decreciente y no tiene extremos relativos.
b) La función g (x) = 12x – 3x 2 es creciente en ( , 2 ) y decreciente en ( 2 ,). Tiene un máximo
relativo en el punto (2, 12).
4. El número de enfermos
aumento entre el día que comenzó
la epidemia y el día 14.
El número máximo de enfermos se
alcanzó el día 14 y fue de 512.
Lo anterior puede verse en la
gráfica.
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1. Organizamos los datos en una tabla:
Recibe Marca
Lunes X M
Martes X – M 12
Miércoles X + 14 2 M
Jueves 4M^10
Viernes 4 X + 14 – 14
Sábado 20
Los discos que recibe menos los que marca son los 20 discos que le quedaron para el sábado:
X + X – M + X + 14 + 4 M + 4 – (M + 12 + 2M + 10 + X) = 20
3X + 3M + 18 – 3M – X – 22 = 20 2X = 24 X = 12
El lunes recibió 12 discos.
2. Sea v la velocidad del camión y w la velocidad del tractor.
La expresión queda: v + w = 2 (v – w), es decir, v = 3w.
La velocidad del camión es el triple que la velocidad del tractor.
3. Llamamos R 4 al reloj que mide 4 minutos y R 9 al que mide 9 minutos.
● Para medir 1 minuto : ponemos ambos relojes a cero. Cuando pasan 4 minutos, damos la vuelta a R 4 y al
pasar otros 4 minutos, lo que queda de R 9 es 1 minuto.
● Para medir 2 minutos : conseguimos 1 minuto por el procedimiento anterior. A la vez que logramos 1
minuto, el reloj R 4 lo ponemos y quedan en él 3 minutos. En este momento ponemos a funcionar R 9 y al
terminar, quedan en éste 6 minutos; ponemos a funcionar R 4 y al terminar éste último, quedan en el anterior
2 minutos.
● Para medir 3 minutos : está explicado en el procedimiento anterior.
● Para medir 4 minutos : con el reloj R 4.
● Para medir 5 minutos : ponemos R 4 y R 9 ; al terminar R 4 , quedan en R 9 5 minutos.
● Para medir 6 minutos : esta situación se explica en el procedimiento para medir 2 minutos.
● Para medir 7 minutos : conseguimos 2 minutos por el procedimiento dado anteriormente. Los 2 minutos los
tenemos en R 9. Ponemos a funcionar R 4 y al pasar 2 minutos en R 9 quedan otros 2 minutos en R 4. Ponemos a
funcionar R 9 y, al pasar los dos minutos en R 4 quedarán 7 minutos en R 9.
● Para medir 8 minutos : ponemos dos veces R 4.
● Para medir 9 minutos : ponemos a funcionar R 9.
b) ( ) 1
2 g x x
c) h(x) = x · sen (x)
2. Procedemos como se indica en el apartado representación gráfica de funciones y obtenemos las
gráficas que pueden verse a continuación:
a)
2
2
x si x
x six f x
b)
2
2
x si x
x si x
x six
g x
b) f (x) = a x b
- Con la herramienta Deslizador y haciendo clic sobre la Zona o Vista Gráfica colocamos dos
deslizadores, uno detrás de otro, y los llamamos a y b elige Intervalo entre – 15 y 15, Incremento 1.
- En el Campo de Entrada introduce una función genérica f(x) = a · x b tecleando la expresión
f(x) = a * sqrt (x-b).
c) f (x) = a · b
x
- Con la herramienta Deslizador y haciendo clic sobre la Zona o Vista Gráfica colocamos dos
deslizadores, uno detrás de otro, y los llamamos a y b escoge Intervalo entre – 15 y 15, Incremento 1
y en el del segundo escoge Intervalo entre 0 y 15, Incremento 1.
- En el Campo de Entrada introduce una función genérica f(x) = a · b x tecleando f(x) = a * b^ x
. Varía
los valores de los deslizadores y observa las variaciones de la gráfica.
4. Representamos las funciones y con la herramienta Intersección de dos objetos o con los comandos
correspondientes encontramos los puntos de corte con los ejes coordenados, los extremos relativos y
los puntos de inflexión de las funciones:
a) f (x) = x 3
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1. Las respuestas son:
a) La derivada es positiva en , 2 0 ,.
b) La derivada nunca es negativa.
c) La derivada es positiva en 1 ,.
d) La derivada es negativa en , 0 .
2. Al estudiar la monotonía de las funciones, obtenemos:
a) La función es creciente en , 2 y decreciente en 2 ,.
b) La función es creciente en , 1 3 ,y decreciente en (1, 3).
c) La función es decreciente en R – {0}.
d) La función es creciente en (- 1, 1) y decreciente en , 1 1 ,.
e) La función es decreciente en todo R.
f) La función es creciente en su dominio 3 ,.
3. La concentración aumenta para t (0; 12,5), es decir, entre el año 2000 y la mitad del año 2013. A partir
de entonces la contaminación disminuye.
Puede verse en la gráfica.
4. En la gráfica puede verse que el beneficio es nulo para una inversión de 3 ó 5 millones de euros.
La empresa tiene pérdidas siempre que invierta menos de 3 millones a más de 5 millones.
El beneficio (considerado positivo) aumenta con una inversión comprendida entre 3 y 4 millones de euros.
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9. Los números son 2 y 4. 10. La solución queda:
a) Función beneficio: B (t) = I (t) - G (t), es decir:
B (t) = (42 t – 3t 2 ) – (2t 2
- 8t + 105) B (t) = - 5t 2 + 50t - 105
b) La derivada es B ´ (t) = - 10t + 50, que se anula para t = 5.
La derivada segunda es B ´´ (t) = – 10 y como B ´´ (5) = - 10 < 0, el beneficio es máximo, 20 000 euros,
después de transcurridos 5 años.
11. Las dimensiones de la finca son 30 metros por 30 metros y su superficie será de 900 metros cuadrados. 12. El valor que hace mínimo el coste de contratación es x = 20 trabajadores eventuales. El coste asciende a
700 euros.
Puede verse en la gráfica.
13. Observando el dibujo adjunto tenemos:
6x + 10 y = 3660 y x 5
El área será
A x x x 5
Esta función alcanza un mínimo para x = 305 m.
Las dimensiones de las pistas serán 305 metros por 183 metros.
14. Las dimensiones serán 3
cm y 3
cm.
15. Llamamos r al radio de la base y h a la altura del cilindro. Según el enunciado, ocurre que:
2 2 2 2 2 h h r r
El volumen, V, del cilindro es:
3
2 2 h h
h V r h r h V h h
La derivada ·( 25600 3 )
4
2 V h h h
se anula para h = 92,38 cm..
Tenemos que V ´´ (92,38) < 0, por tanto, el volumen es máximo para h = 92,38 cm y r = 65,32 cm.
16. Llamaos x e y a las dimensiones del cartel. La función a minimizar es A (x, y) = x · y.
La relación entre las variables x e y es:
x
x x y y
Sustituyendo en la función anterior, obtenemos: 8
2
x
x x A x.
La primera derivada, 2
2
x
x x A x , se anula para x = 20,65.
Por tanto las dimensiones del cartel serán x = 20,65 cm e y = 12,91 cm.
18. Las representaciones gráficas son:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
21. Llamamos x e y a las dimensiones del rectángulo y 2
x al radio de la
semicircunferencia como puede verse en la imagen.
El perímetro de la ventana mide:
x x y
x x y
La superficie de la ventana, en función de la variable x, es:
2 2 x x x A x
x
x A x 4 8
2
El valor que hace máxima a la función anterior es 2 , 24 4
x.
Por tanto, las dimensiones de la ventana serán x = 2,24 m e y = 1,12 m.
22. La función, I (x), que muestra el ingreso anual es:
I (x) = (60 000 – 6x) · x; es decir, I (x) = 60 000x – 6x 2 .
Esta función alcanza su máximo para x = 5000. Por tanto debe vender la pieza a 5000 euros para obtener un
ingreso anual máximo.
23. Sea la función f (x) = ax 3
Imponiendo las condiciones del enunciado, obtenemos el sistema:
18 2 0
3 2 0
4
3
a b
a b c
a b c d
d
La solución del sistema es: a = 1, b = - 9, c = 15 y d = - 3. Por tanto la función buscada es:
f (x) = x 3
En la imagen podemos ver la representación gráfica de la función cumpliendo todas las propiedades del
enunciado.
24. En el dibujo podemos ver la gráfica de la función y = g (x), en trazo continua y en color rojo) y la gráfica
de su función derivada, en trazo discontinuo y en color azul.
Hay que tener en cuenta que los
puntos de máximo o mínimo de y =
f(x) su función derivada tiene cortes
en el eje OX y en los intervalos de
crecimiento de y = f(x) la función
derivada es positiva y en los
intervalos de decrecimiento de y =
f(x) la función derivada es negativa.
