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Unidad 1. Fracciones y decimales
ESO
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
1 Números naturales
Página 13
- Un ganadero compra 45 terneras a 475 € /cabeza y, durante el viaje, dos de ellas se
accidentan, por lo que debe sacrificarlas. Seis meses después vende las restantes a 1 690 € /cabeza. Calculando que los gastos de mantenimiento y ceba han sido de 34 680 € , ¿qué ganancia ha obtenido por cada una de las terneras que compró?
En la compra de las terneras se gasta 45 · 475 = 21 375 €.
Por la venta obtiene 43 · 1 690 = 72 670 €.
Sus beneficios totales son: 72 670 – 21 375 – 34 680 = 16 615 €
Por cada ternera obtuvo una ganancia de 16 615 : 45 = 369,22 €.
- En el obrador de la bollería, sacan del horno 7 bandejas de magdalenas con 65 piezas en
cada una. Después las envasan en bolsas de 8 unidades y las venden a 2 € la bolsa.
¿Qué recaudación se obtiene en caja, teniendo en cuenta que durante el proceso de mani- pulación se malograron 13 piezas?
Del horno sacan 7 · 65 = 455 piezas, de las que quedan 455 – 13 = 442
Las envasan (442 : 8 = 55,25), obteniendo 55 bolsas.
Por la venta recaudan 55 · 2 = 110 €.
- En la confitería han fabricado una partida de bombones. Si los envasaran en cajas de 12,
de 18 o de 20, sobrarían 5. Pero lo hacen en cajas de 25 y así no sobra ninguno.
¿Cuántos bombones han fabricado, sabiendo que no pasan de 1 000?
12 = 2^2 · 3
18 = 2 · 3^2
20 = 2^2 · 5
mín.c.m. (12, 18, 20) = 2^2 · 3^2 · 5 = 180
Como al envasar los bombones en cajas de 12, 18 o 20 sobran 5, su número es múltiplo de 180 + 5 = 185.
185 · 5 = 925 y 185 · 6 = 1 110
Han fabricado 925 bombones.
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
- ¿De cuántas formas se pueden asignar 3 libros distintos a 6 estudiantes?
5 · 4 si el 1.º^ es para A. Lo mismo para los demás jugadores.
En total: 6 · 5 · 4 = 120 formas
B
C
D
E
F
A
1.º 2.º 3.º C D E F B D E F B C E F B C D F B C D E
- ¿De cuántas formas podemos ir de A a B? ¿Y de B a C?
¿Y de A a C pasando por B?
B C
A
B
A
B
A
B
A
- Hay 10 formas para ir de A a B.
C
B
- Hay 5 formas para ir de B a C.
- Hay 10 · 5 = 50 formas para ir de A a C pasando por B.
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
- ¿De cuántas formas se pueden sentar cinco amigos en las cinco butacas contiguas de la fila de un cine? Descríbelas.
Llamamos A, B, C, D y E a cada uno de los cinco amigos.
Si quien se sienta en la primera butaca es A, tenemos estas posibilidades:
D C
B D
E
B
D
A
E
B
C
C
D
E
B
E C
D
E E D C E E C C D D C D E E D B E E B B D D E C E E C B E E B B C C B C D D C B D D B B C C B
Es decir, 1 · 4 · 3 · 2 = 24 formas distintas de sentarse.
Otro tanto ocurriría si quien se sentase en la primera butaca fuese B, C, D o E.
En total hay 24 · 5 = 120 formas de sentarse.
- Repite el problema anterior con el condicionante de que dos de ellos son novios y se
sentarán juntos.
El que dos amigos se tengan que sentar juntos es equivalente a que haya 4 amigos. Por ejem- plo, AB, C, D y E.
D C
AB D
E
E E D C E E C C D D C
Si en las dos primeras butacas se sientan AB, hay 1 · 3 · 2 = 6 casos posibles.
En total habrá 6 · 4 = 24 formas de sentarse.
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
2 Números enteros
Página 14
- Calcula:
a) [(1 – 4) – (5 – 3) – (–6)] · [–3 + (–7)]
b) |3 – 3 · (–7) – |5 · (–8)||
a) [(1 – 4) – (5 – 3) – (– 6)] · [–3 + (–7)] = [(–3) – (2)+6] · [–3 – 7] =
= [–3 – 2 + 6] · [–10] = [1] · [–10] = –
b) |3 – 3 · (–7) – |5 · (–8)|| = |3 + 21 – |– 40|| = |24 – 40| = |–16| = 16
- Simplifica y calcula.
a) 5^3 · 5^2 · 2^5
b) [(–3)^11 : (–3^3 )^3 ] · 5^2
a) 53 · 5^2 · 2^5 = 53 + 2^ · 2^5 = 5^5 · 2^5 = 3 125 + 32 = 3 157
b) [(–3)^11 : (–3^3 )^3 ] · 5^2 = [(–3)^11 : (–3)^9 ] · 5^2 = [(–3)^2 ] · 5^2 = [(–3) · 5]^2 = (–15)^2 = 225
- Opera las siguientes expresiones:
a) [(1 – 7) – (8 – 3) – (–2)^5 ] · (15 – 11)^2
b) (7 – 3) · 12 + (5 – 1)^2 · [6 – (–3)^4 ]
c) (–3)^2 – (–3^3 ) + 5^2 · (–2)^2 – [2 – (– 4)^2 · (–7)]
d) 17 – (– 4) · (–3 + 6) – 2[4 – 5(2 – 3)^7 ]^2
e) |26 – (– 4) · (–3)^2 · (–3 + 2)^3 | – |–2 + 7| · (– 4)^2
a) [(1 – 7) – (8 – 3) – (–2)^5 ] · (15 – 11)^2 = [(– 6) – (5) – (–32)] · (– 4)^2 = [–11 + 32] · 16 =
= 21 · 16 = 336
b) (7 – 3) · 12 + (5 – 1)^2 · [6 – (–3)^4 ] = 4 · 12 + 4^2 · [6 – 81] = 48 + 16 · (–75) = 48 – 1 200 =
= –1 152
c) (–3)^2 – (–3^3 ) + 5^2 · (–2)^2 – [2 – (– 4)^2 · (–7)] = 9 – (–27) + 25 · 4 – [2 – 16 · (–7)] =
= 36 + 100 – [2 + 112] = 136 – 114 = 22
d) 17 – (– 4) · (–3 + 6) – 2[4 – 5(2 – 3)^7 ]^2 = 17 – (–12) – 2[4 – 5 · (–1)]^2 = 29 – 2 · 9^2 =
= –
e) |26 – (– 4) · (–3)^2 · (–3 + 2)^3 | – |–2 + 7| · (– 4)^2 = |26 – (– 4) · 9 · (–1)| – 5 · 16 =
= |26 – 36| – 80 = 10 – 80 = –
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3 Números racionales. Fracciones
Página 16
- Expresa como suma de un entero y una fracción.
a) 9
(^40) b) 5
(^86) c) 10
d) 12
e) 8
a) 9
= + 4 b) 5
= + 1 c) 10
= +^7
d) 12
= + 7 e) 8
– =– –^3
- Obtén la fracción irreducible.
a) 21
(^18) b) 35
(^14) c) 36
d) 56
(^14) e) 200
a) 21
= 6 b) 35
= 2 c) 36
=^7
d) 56
= 1 e) 200
=^3
- Copia la recta en tu cuaderno y representa, aproximadamente, las fracciones.
–2 –1 0 1 2 3
–2 –1 0 1 2 3
—^7 10
(^11) — 20
(^11) — 4
(^18) — 9
(^13) — 5
– =– –^2
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 17
- Calcula.
a) 2
+ + 1 b) 4
+ –^13
c) 1 3
- d +^1 n d) 3
- d^ +^5 n
e) 2
- > – d –^1 nH f ) 3
- > + d – n –^1 H
a) 2
+ + = + + =^7
b) 4
+ – = + – =^29
c) 1 – 3
c + m = – c + m= – = – = =^1
d) 3
- c + m = – c + m= – = – = =^13
e) 2
– c – mH = – >^ – c – mH^ = – < –^5 F^ =
– <^ – F= – = – =
f ) 3
- c – m – H = – > +c – m–^1 H =
– <^ – – F^ = – < – –^1 F^ =
– = – = – =–^1
- Reduce a una única fracción.
a) : : 11
d n^16 b) 3
d (^) · n ·^21
c) : 39
d ·^22 n d) : 10
d n ·^3
a) : : : 11
c m = = =^3
b) · · · · 3
c m = = =
c) : · : ·
c m = c m= = =^1
d) : · : · · ·
c m = c m = = =^1
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Página 19
- Un terreno se divide en tres partes. Dos de ellas son 2/5 y 1/3 del total. ¿Cuál es la más grande?
1.ª^ parte → 5
= 6 2.ª^ parte → 3
= 5 3.ª^ parte → 1 – 5
– =^4
La más grande es la primera, 5
- En el problema anterior, la menor de las partes mide 240 m^2. ¿Cuál es la superficie total
del terreno?
La menor de las partes es 15
(^4) de 240 m (^2) = · 15
(^240 4) = 64 m (^2).
La superficie total es (240 : 4) · 15 = 900 m^2.
- Los 2/5 de los chicos de una clase llevan gafas. En la lista de esa clase hay 36 personas,
de las que 7/12 son chicas. ¿Cuántos chicos llevan gafas?
(^5) = 15 son chicos.
(^2) = 6 chicos llevan gafas.
- Jorge se ha gastado 2/7 de la paga en música y 1/5 en libros. ¿Qué fracción de la paga se
ha gastado? ¿Qué fracción le queda?
Ha gastado 7
- = + = en música y libros.
La fracción que le queda es 1 – 35
- En una frutería se venden, por la mañana, 3/5 de la fruta que había y, por la tarde, la
mitad de lo que quedaba.
a) ¿Qué fracción queda por vender?
b) Si al empezar el día había 750 kg, ¿cuántos kilos se vendieron?
a) mañana: Se venden 5
(^3) del total. Quedan 1 – 5
= 2 del total.
tarde: Se vende 2
(^1) de lo que queda → · 2
= 1 del total.
Se han vendido 5
- = 4 del total. Queda sin vender 1 – 5
b) En total se vendieron 5
(^4) de 750 kg = · 5
(^4 750) = 600 kg de fruta.
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
- De un sueldo de 1 500 € , se gasta en comida la sexta parte, y en el pago de la hipoteca,
350 € más que en comida. ¿Qué fracción del sueldo queda para otros gastos?
En comida se gasta 6
(^1) de 1 500 = 250 €.
En el pago de la hipoteca se gasta 250 + 350 = 600 €.
En total, se gasta 250 + 600 = 850 €.
Para otros gastos quedan 1 500 – 850 = 650 €.
La fracción que corresponde a esa cantidad es 1500
- Al cerrar su puesto del mercadillo, el melonero piensa:
“Hoy he vendido bastantes melones. Solo me han quedado once, que son la décima parte de los vendidos”.
¿Cuántos melones tenía cuando abrió el puesto?
(^1) de x = 11 → x = 110. Ha vendido 110 melones.
Abrió el puesto con 110 + 11 = 121 melones.
- El presupuesto anual de una oficina es 297 000 €. Los gastos fijos suponen la quinta
parte y los 2/11 del resto se invierten en equipamiento. ¿Cuánto queda para otros gastos?
Fracción de gastos fijos más equipamiento → · 5
+ = + = +^ =
Otros gastos → 1 – 55
Fracción de otros gastos → 1 – 55
Otros gastos → 55
de 297 000 = 194 400 €
- Un club dispone de 1 200 entradas para un partido. Asigna 3/5 partes a su hinchada y
5/8 del resto a la visitante. ¿Cuántas entradas quedan para venta libre?
A su hinchada asigna 5
(^3) de 1 200 = 720 entradas.
Quedarán 1 200 – 720 = 480 entradas, y 8
(^5) de 480 = 300 entradas asigna a la visitante.
Para la venta libre quedarán 480 – 300 = 180 entradas.
- Un dentista dedica 1 h y 3/4 a su consulta. Si recibe a 15 pacientes, ¿qué fracción de
hora puede dedicar a cada uno? ¿Cuántos minutos son?
= 7 h dedica a la consulta.
= 7 h dedica a cada paciente.
(^7) · 60 = 7 → Dedica 7 minutos a cada paciente.
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
4 Potencias de exponente entero
Página 20
- Ordena de menor a mayor.
2 –3, 2–1, 2^0 , 2–2, 2–^4 , (–2)–3, (–2)–
(–2)–1^ < (–2)–3^ < 2–^4 < 2–3^ < 2–2^ < 2–1^ < 2^0
- Calcula el valor de estas potencias:
a) 5 –1^ b) 2 –3^ c) (– 6)^0
d) 2
- 2 d n (^) e) 3
- 1 d n (^) f ) 4
- 2
g) 10
- 1 d n h) 2
2 –^1
d (^) nH (^) i) 0,2–^4
a) 5 –1^ = 5
(^1) = 0,2 b) 2 –3 (^) = 8
(^1) = 0,125 c) (– 6) (^0) = 1
d) 2
2 2
c m = – = 2
(^2) = 4 e) 3
c m = = 1,5 f )
g) 10
c m = 10 h)
2 –^1 – 2 2
>c m H = c m = c m = = 0,
i) 0,2–^4 = 0 2, /
4 4
c m =c m = 5^4 = 625
- Expresa como una potencia de base 3.
1 2 3 2 5 7
- – d n d n d n –
c m c m c m · (3–2)^5 · 3^7 = 3^1 · 3–2^ · 3^3 · 3–10^ · 3^7 = 3–
- Expresa como potencias de base 2.
a) 4 –2^ b) 8
- 2 d n c) ( 2 )
3 3
1 1
**- –
a) 4 –2^ = (2^2 )–2^ = 2–^4
b) 8
2 3
c m =c m = (2–3)–2^ = 2^6
c) ( )
3 3
1 1
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- Reduce y expresa como una potencia.
a)
2
4
- b)^5 : 5
2 4
c) 2 3
2 1
4 2
- - d) 2
·^1
3
2 3
- 2 d n d – n
e) ( ) 5
3
2 e o^3 –^2 f ) 9
3
4
- -
g) 2
2
2 – 2 h) 15 8
2 1
2 5
- -
i) (^5) ( )
· · 3 ·^2
7 4
2
3 3
- 7 2 **- –
a)
2
4
(^4) · 7 (^2) = 7 (^6) b) 5 : 5
2 4 –^2
= = 5^2
c) ·
2 1
4 2 2 2
4 4
3
2 3
c m c – m = (
e) 5
3
2 e o · (5^3 )–2^ = 5–^6 · 5–^6 = 5–12^ f )^ 9 ( )
3
4 2 3
4 6
4
= = = 3–^4 · 3^6 = 3^2
g)
2
2 2 2
2 1
2 5 2 2 5
2 4 3 2 7
2 7 7
= = = c m
i ) · · ( )
7
4
2 3 3
7 2 7
7 8 8
4 (^9 7 2 14 10 )
c m e o = = =
3 · 2 · 5 ·^ ·
10 10 10
10 10
= c m =c m
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Fracciones
- Calcula mentalmente.
a) Los dos quintos de 400. b) El número cuyos dos quintos son 160.
c) Los tres séptimos de 140. d) El número cuyos cinco sextos son 25.
a) 5
(^2) de 400 = 2 · 80 = 160 b) 5
(^2) de = 160 → el número es 400
c) 7
de 140 = 3 · 20 = 60 d) 6
de = 25 → el número es 30
- Reduce a una sola fracción.
a) 5
d (^) – + n (^) – d –^2 + 1 n (^) b) 1 3
d (^) + n (^) – d (^) + n (^) + d –^1 n
c) 5
d + n – > – d – n + –^3 H
a) 5
c – + m – c – + m = c^ – + m^ – c – + m^ = –^27 = 1
b) 1 3
c + m – c + m + c – m= + – – + – = – =^1
c) 5
c + m – > – c – m + – H = c + m – > – c –^ m+ –^3 H =
- c – + – m= – + – + = – + – + =–^1
- Calcula.
a) 4
– · ·^5
c m^ b) 1 : 2
d + – n d +^1 n
c)
d (^) + n d)
d –^5 n
a) · ·
=^5
b) : : ·
c + – m c + m= = =
c)
d)
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Potencias de exponente entero
- Calcula.
a) 3
–^5
2 c m b) 7
–^3
- 1 d n (^) c) 6
–^1
- 2 c m d) 2
- 3 d n e) 3
3 d n f ) 4
–^1
- 3 d n
a) 3
2
2 = (^) b) 3
c) (– 6)^2 = 36
d) 23 = 8 e) 3
3
3 = f ) –(4)^3 = – 64
- Expresa como potencias de base 10.
a) Cien millones. b) Diez billones.
c) Una milésima. d) Cien mil millones.
e) Una millonésima. f ) Cien milésimas.
g) Diez mil billones. h) Mil centésimas.
a) 100 · 1 000 000 = 10^2 · 10^6 = 10^8 b) 10 · 10^12 = 10^13
c) 0,001 = 10–3^ d) 100 000 · 1 000 000 = 10^5 · 10^6 = 10^11
e) 0,000001 = 10–^6 f ) 100 · 0,001 = 10^2 · 10–3^ = 10–
g) 10 000 · 10^12 = 10^4 · 10^12 = 10^16 h) 1 000 · 0,01 = 10^3 · 10–2^ = 10
- Calcula.
a) –3 · (4 – 2)–2^ + 10 · (5)–1^ b) ( ) 5
- 1 – 2 d n + d n c) 5
– · ·^2
- 1 – 2 – 3 d n d n d n
d) : 2
– –^5
3 2 d n d n (^) e) 2
– · –^7
- 2 –^1 d n d n (^) + f ) 4
- 1 d n (^) + d n (^) d n
a) –3 · (4 – 2)–2^ + 10 · (5)–1^ = –3 · (2)–2^ + 10 · (5)–1^ = 2
2 +^ =^ +^ =^ =
b) · · ( ) · · ( ) 5
– – – –^2
1 2 2
c m + c m = + = = =
c) · · · · 5 ·
– – – –^9
(^1 2 ) 2
2 3
c m c m c m = = =
d) : : : : 2
– – – –^ –^ –^ –^1
3 2 3 2 3 2 6 6
c m c m = c m c m = c m c m = c m c m = –
e) · · 2
– – – –^7
c m c m + = c m c m + =
c m c m + = c m c m + = + 4 = –12 + 4 = –
f ) · · 4
– – – – – –^16
c m + c m c m = c m +c m c m =
+ c m c m = + c m c m = + = 0
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 22
- Con una barrica que contiene 510 litros de vino, ¿cuántas botellas de 3/4 de litro se
pueden llenar? ¿Cuántas de litro y medio?
= 510 4 = 680 → Se pueden llenar 680 botellas de 4
(^3) de litro.
1 litro y medio = 1 + 2
=^3
= 510 2 = 340 → Se pueden llenar 340 botellas de litro y medio.
Este último caso también se puede resolver observando que 1 botella de litro y medio equivale a 2 botellas de 3/4 de litro. Por tanto, el número de botellas de litro y medio que se pueden
llenar será la mitad del número de botellas de 3/4 de litro: 2
- Ana se gasta 2/3 del dinero en ropa y 1/4 del total en comida.
a) ¿Cuál es la fracción gastada?
b) ¿Qué fracción le queda por gastar?
c) Si salió de casa con 180 € , ¿qué cantidad no se ha gastado?
a) 3
+ = + =^11
b) 1 – 12
= – =^1
c) 12
(^1) de 180 € = 12
(^180) = 15 € es la cantidad que no se ha gastado.
- En cierta parcela se cultivan 4/5 partes de trigo y el resto, 100 m^2 , de maíz. ¿Cuál es
la superficie de la parcela?
Trigo 5
(^4) partes sobra 5
Maíz 5
(^1) parte que equivale a 100 m 2
_
`
a
b b
b b
Superficie de la parcela = 100 · 5 = 500 m^2
- Con una garrafa de 5/2 de litro se llenan 25 vasos. ¿Qué fracción de litro entra en
un vaso?
(^5) de litro : 25 vasos = : 2
= =^1
En 1 vaso entra 10
(^1) de litro.
- De una botella de 3/4 de litro se ha consumido la quinta parte. ¿Qué fracción de
litro queda?
Si se ha consumido la quinta parte, quedan sin consumir 5
(^4) de la botella:
(^4) de 4
de litro = · 5
= de litro quedan sin consumir.
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Técnicas de conteo
- En cada caso, ¿cuántos caminos distintos hay para llegar de A a B, sin retroceder
nunca?
a) (^) A b) c)
B
A
B
A
B
a) A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
Hay 5 formas de ir de A a B.
b) Para calcular las diferentes posibilidades, organizamos el problema de la siguiente manera:
- Calculamos los caminos que hay de A a B pasando por C:
A
C D
E F
B De A a C hay 1 camino y de C a B, 4 caminos → 1 · 4 = 4 formas.
C
B
C
B
C
B
C
B
- Calculamos los caminos que hay de A a B, pasando por D y sin pasar por C:
De A a D hay 2 caminos, y de D a B, otros 3 → 2 · 3 = 6 formas.
A
D
A
D
D
B
D
B
D
B
- Calculamos los caminos que hay de A a B pasando por E pero no por C ni D:
De A a E hay 3 caminos, y de E a B, otros 2 → 3 · 2 = 6 formas.
A
E
A
E E
A
B
E
B
E
- Calculamos los caminos que hay de A a B pasando por F y sin pasar por C, D y E:
De A a F hay 4 caminos, y de F a B, uno → 4 · 1 = 4 formas.
A
F F
A A
F
A
F
- Por tanto, el número total de caminos de A a B es: 4 + 6 + 6 + 4 = 20
