derivaci´on “simplificada” del teorema
de Bernoulli
February 17, 2016
Partimos de la ecuaci´on de momento en forma de “ley de Newton”:
du
dt =∂u
∂t + (u.∇)u=−1
ρ∇P− ∇φ . (1)
donde φes el potencial gravitacional.
Ahora proyectamos esta ecuaci´on sobre una direcci´on localmente paralela
a la velocidad u, y obtenemos:
∂u
∂t +u∂u
∂l +1
ρ
∂P
∂l +∂φ
∂l = 0 ,(2)
donde les una coordenada localmente paralela a la velocidad, y ues el
m´odulo de la velocidad.
Sacando ∂/∂l como “operador com´un” y poniendo u∂u/∂l = (1/2)∂u2/∂l,
obtenemos: ∂u
∂t +∂
∂l u2
2+φ+ZdP
ρ!= 0 .(3)
Ahora, de la ecuaci´on de la entrop´ıa (dS/dt = 0), para un gas ideal (con
S=P ρ−γ), la condici´on de S=const. a lo largo de una trayectoria (o sea,
a lo largo del eje l) obtenemos que P=Cργ(con Cconstante). Entonces
podemos hacer la integral:
ZdP
ρ=c2
s
γ−1,(4)
con cS=qγP /ρ.
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