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Karla Jannine Gaxiola Cabrera
Probabilidad y Estadística
Francisco Salvador Camacho Nares
Tijuana Baja California, 13 de Julio del 2021
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Introducción a la Probabilidad y Estadística: Ejercicios Resueltos, Ejercicios de Probabilidad
5.22 Calificaciones del SAT (examen de aptitud escolar) En 2006, el promedio combinado de calificaciones del SAT (lectura + verbal + escritura) para estudiantes que van hacia la universidad en Estados Unidos fue 1518 (de 2400). Suponga que aproximadamente 45% de todos los graduados de preparatoria toman este examen y que 100 son seleccionados al azar en todo Estados Unidos. 1 ¿Cuál de las siguientes variables aleatorias tiene una distribución binomial aproximada?
Tipo: Ejercicios
2020/2021
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Francisco Salvador Camacho Nares
Tijuana Baja California, 13 de Julio del 2021
5.22 Calificaciones del SAT (examen de aptitud escolar) En 2006, el promedio combinado de calificaciones del SAT (lectura + verbal + escritura) para estudiantes que van hacia la universidad en Estados Unidos fue 1518 (de 2400). Suponga que aproximadamente 45% de todos los graduados de preparatoria toman este examen y que 100 son seleccionados al azar en todo Estados Unidos. 1 ¿Cuál de las siguientes variables aleatorias tiene una distribución binomial aproximada? Si es posible, dé los valores para n y p. a.Él número de estudiantes que tomaron el SAT. b. Las calificaciones de los 100 estudiantes en el SAT. c. El número de estudiantes que calificaron arriba del promedio del SAT. d. El tiempo que tomó a cada estudiante para completar el SAT. R: n = 100, ya que corresponde al número de estudiantes seleccionados al azar. p = 45% (porcentaje de estudiantes que presentan el SAT, es decir porcentaje de éxito) Una distribución binomial es representada por eventos aleatorios e independientes, existe una probabilidad de éxito y fracaso, es decir, puede haber éxitos o fracasos en cada prueba, la probabilidad de éxito y fracaso es la misma en cada prueba. Analicemos cada una de las opciones: a) De acuerdo con el enunciado, 45% de todos los graduados de preparatoria que van hacia la universidad en Estados Unidos presentan el examen SAT. Es decir, la variable aleatoria número de estudiantes que presentaron el SAT tiene una distribución Binomial. Es decir, seleccionando un número de estudiantes al azar, se tendrá una probabilidad de éxito de 45% de saber cuántos de ellos presentaron el SAT. n = 100, ya que corresponde al número de estudiantes seleccionados al azar. p = 45% (porcentaje de estudiantes que presentan el SAT, es decir porcentaje de éxito) b) Las calificaciones de los 100 estudiantes en el SAT no tiene una distribución binomial porque el enunciado en ningún momento comenta que existe, por ejemplo, un cierto porcentaje de estudiantes con una calificación x.
5.23 Sistemas de seguridad El sistema de seguridad de una casa está diseñado para tener un 99% de confiabilidad. Suponga que nueve casas equipadas con este sistema experimentan un intento de robo. Encuentre las probabilidades de estos eventos: a. Al menos una de las alarmas se activó. b. Más de siete de las alarmas se activaron. c. Ocho o menos alarmas se activaron La probabilidad de que al menos una de las alarmas se activo es casi nula Explicación: Probabilidad binomial: P(x=k) Cn, kp∧k q∧(n-k) Cn, k = n!/k!(n-k) p: probabilidad de que la alarma se active p= 0, q= 0, n = 9 La probabilidad de que al menos una de las alarmas se activó C9,0 = 9!/0!9! = C9, 1 = 9!/1!8! = 9 P (x≤1) = 1(0,99)⁰(0,01)⁹ +9 (0,99) (0,01)⁸ P (x≤1) = 8,92*10⁻¹⁶ Más de siete de las alarmas se activaron P(x≤6) = P(x=0) +P(x=1)+P (x=2) +P(x=3) +P(x=4)+P(x=5)+P(x=6) P (x≥7) =1-P(x≤6). 5.27 Cuentas del médico Unos registros muestran que 30% de todos los pacientes ingresados en una clínica médica no pagan sus cuentas y que, en última instancia, esas cuentas son olvidadas. Suponga que n 4 nuevos pacientes representan una selección aleatoria de entre un gran conjunto de prospectos de pacientes atendidos por la clínica. Encuentre estas probabilidades: a. Las cuentas de todos los pacientes tendrán finalmente que olvidarse. b. Una tendrá que olvidarse. c. Ninguna tendrá que olvidarse. Las probabilidades de que los cuatro pacientes seleccionados aleatoriamente paguen sus cuentas son del 6.25%, por lo que la clínica tendría que cerrar.
Para llegar a tal conclusión se aplica la fórmula de la Distribución Binomial sobre una Variable Aleatoria Discreta: P(X =x) = · p∧x · (1 - p) ∧ n-x Donde n = 4, los pacientes seleccionados aleatoriamente. P es la probabilidad, en este caso sólo hay dos resultados posibles "sí paga" o "no paga" por lo que es del 50% = 0. P(X = 4) = · 0.5∧ 4 · (1 - 0.5) ∧ 4 - 4 P(X = 4) = 0.625 = 6.25%