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Probabilidades I
Probabilidades
Tarea
Alexandra Catalina Quishpe Valenzuela
Universidad Central del Ecuador
Facultad de Ciencias Económicas
Carrera de Estadística
Ing. Luis Antonio Gaybor Tobar
30 de julio de 2021
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Probabilidades I
Probabilidades
Tarea
Alexandra Catalina Quishpe Valenzuela
Universidad Central del Ecuador
Facultad de Ciencias Económicas
Carrera de Estadística
Ing. Luis Antonio Gaybor Tobar
30 de julio de 2021
Ejercicios de Probabilidad – Walpole (página 7 6 - 79 )
2.95. En cierta región del país se sabe por experiencia que la probabilidad de seleccionar un
adulto mayor de 40 años de edad con cáncer es 0.05. Si la probabilidad de que un doctor
diagnostique de forma correcta que una persona con cáncer tiene la enfermedad es 0.78, y la
probabilidad de que diagnostique de forma incorrecta que una persona sin cáncer tiene la
enfermedad es 0.06, ¿cuál es la probabilidad de que a un adulto mayor de 40 años se le
diagnostique cáncer?
P(A1) =0.05 = con Cáncer
P(A2) =0.95 = sin Cáncer
P(B/A1) =0.78 = diagnóstico correcto
P(B/A2) =0.06 = diagnóstico incorrecto
El procedimiento:
P(B)=P(A1). P(B/A1) + P(A2). P(B/A2) = (0.050.78) + (0.950.6) = 0.0 96
2.96 La policía planea hacer respetar los límites de velocidad usando un sistema de radar en 4
diferentes puntos a las orillas de la ciudad. Las trampas de radar en cada uno de los sitios L1 ,
L2 , L3 y L4 operarán 40%, 30 %, 20% y 30% del tiempo. Si una persona que excede el límite
de velocidad cuando va a su trabajo tiene probabilidades de 0.2, 0.1, 0.5 y 0.2, respectivamente,
de pasar por esos lugares, ¿cuál es la probabilidad de que reciba una multa por conducir con
exceso de velocidad?
Trampas
P(M|L1) = 40% = 0.
P(M|L2) = 30% = 0.
P(M|L3) = 20% = 0.
P(M|L4) = 30% = 0.
Probabilidad por Conductor
P(L1) = 0.
P(L2) = 0.
P(L3) = 0.
P(L4) = 0.
Procedimiento:
P(M) = P(L1) *P(M|L1) + P(L2) *P(M|L2) + P(L3) *P(M|L3) + P(L4) *P(M|L4)
P(M) = (0.2) *(0.4) + (0.1) *(0.3) + (0.5) *(0.2) + (0.2) *(0.3)
P(M) = 0.
2.97 Remítase al ejercicio 2.95. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona a la que se le
diagnostica cáncer realmente tenga la enfermedad?
P(D) = 0.
P(C) = 0.
P(D|C) = 0.
Procedimiento:
El procedimiento para el cálculo de la probabilidad de que John la haya inspeccionado:
P(I1|F) = [P(I1) *P(F|I1)]/P(F)
P (I1|F) = (0.2) *(0.005) / 0.
P (I1|F) = 0.
2.100. Una empresa telefónica regional opera tres estaciones de retransmisión idénticas en
diferentes sitios. A continuación, se muestra el número de desperfectos en cada estación
reportados durante un año y las causas de éstos.
Suponga que se reporta una falla y que se descubre que fue ocasionada por otros errores
humanos. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la estación C?
Errores humanos en Estación C = 5
Total, Fallas por errores humanos = 1 7
P(FEH/C) = 5/1 7 =0,2 941 = 29 , 4 1%
La probabilidad es de 29,41%
2.101. Una cadena de tiendas de pintura produce y vende pintura de látex y semiesmaltada. De
acuerdo con las ventas a largo plazo, la probabilidad de que un cliente compre pintura de látex
es 0.75. De los que compran pintura de látex, 60 % también compra rodillos. Sin embargo, sólo
30 % de los que compran pintura semiesmaltada compra rodillos. Un comprador que se
selecciona al azar adquiere un rodillo y una lata de pintura. ¿Cuál es la probabilidad de que sea
pintura de látex?
L = “látex”;
R = “Rodillo”.
Por lo tanto se sabe que P(L) = 0.75; P(R/L) = 0.6 la probabilidad de que se venda pintura semi
esmaltada P(SE) = 0.25 y la probabilidad que compren semi esmaltada sabiendo que se compró
rodillo es P(SE/R) = 0.3, por lo tanto se pide la P(L/R) = P(R/L). P(L)/ P(R) = 0.75*0.6/0. 525 =
2.102. Denote como A, B y C a los eventos de que un gran premio se encuentra detrás de las
puertas A, B y C, respectivamente. Suponga que elige al azar una puerta, por ejemplo la A. El
presentador del juego abre una puerta, por ejemplo, la B, y muestra que no hay un premio
detrás de ella. Ahora, el presentador le da la opción de conservar la puerta que eligió (A) o de
cambiarla por la puerta que queda (C). Utilice la probabilidad para explicar si debe o no hacer
el cambio.
Trataremos de verlo de esta forma:
Si no cambiamos las posibilidades de ganar son de 1/3, ya que escogemos una vez sin tener
información y luego no cambiamos, de modo que el hecho de que el presentador abra una puerta no
cambia nuestras probabilidades, aunque parezca lo contrario.
Sin embargo, si cambiamos:
- Escogemos puerta con cabra - > Presentador muestra la otra cabra - > cambiamos y
GANAMOS
- Escogemos puerta con coche - > Presentador muestra la otra cabra - > cambiamos y
PERDEMOS
y dado que hay 2 cabras y 1 coche las posibilidades de ganar son de 2/
2.103 Un suero de la verdad tiene la propiedad de que 90% de los sospechosos culpables se
juzgan de forma adecuada, mientras que, por supuesto, 10% de los sospechosos culpables
erróneamente se consideran inocentes. Por otro lado, a los sospechosos inocentes se les juzga de
manera errónea 1% de las veces. Si se aplica el suero a un sospechoso, que se selecciona de un
grupo de sospechosos en el cual sólo 5% ha cometido un delito, y éste indica que es culpable,
¿cuál es la probabilidad de que sea inocente?
- Declarado culpable, sabiendo que es culpable: P(dC/eC) =0.
- Declarado Inocente, sabiendo que es culpable: P(dI/eC) =0.
- Declarado culpable, sabiendo que es Inocente: P(dC/eI) =0.
- Declarado Inocente, sabiendo que es Inocente: P(dI/eI) = 1 - P(dC/eI) = 1 - 0.01=0.
Es culpable: P (eC) =0.
Es Inocente: P (eI)=1-P(eC)=0.
2.104. Un alergólogo afirma que 50% de los pacientes que examina son alérgicos a algún tipo de
hierba. ¿Cuál es la probabilidad de que…
a) Exactamente 3 de sus 4 pacientes siguientes sean alérgicos a hierbas?
Sus cuatro próximos pacientes serán p1,p2,p3 y p
P (p1∩p2∩p3∩p'4) + P (p1∩p2∩p'3∩p4) + P (p1∩p'2∩p3∩p4) + P (p'1∩p2∩p3∩p4) =
P(p1)P(p2)P(p3)P(p'4) + P(p1)P(p2)P(p'3)P(p4) + P(p1)P(p'2)P(p3)P(p4) + P(p'1)P(p2)P(p3)P(p4)
=(4) (1/2)^4 =1/4 = 0.
b) Ninguno de sus 4 pacientes siguientes sea alérgico a hierbas?
P (p'1∩p'2∩p'3∩p'4) = P(p'1) P(p'2) P(p'3) P(p'4) = (1/2) ^4 = 1/16 = 0.
2.105. Mediante la comparación de las regiones apropiadas en un diagrama de Venn, verifique
que
a) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B ') = A;
(A ∩ B) ∪ (A ∩ B ') ≠ A
A B
A
Y
B
A
b) el señor Jones y la señora Clark cometan un error, y el señor Roberts y la señora Williams no
cometan errores
P (J ∩ C ∩ R′ ∩ W′) = (0.1) (0.1) (0.9) (0.9) = 0.0081.
2.109. Una empresa industrial grande usa tres moteles locales para ofrecer hospedaje nocturno
a sus clientes. Se sabe por experiencia que a 20% de los clientes se le asigna habitaciones en el
Ramada Inn, a 50% en el Sheraton y a 30% en el Lakeview Motor Lodge. Si hay una falla en la
plomería en 5% de las habitaciones del Ramada Inn, en 4% de las habitaciones del Sheraton y
en 8% de las habitaciones del Lakeview Motor Lodge, ¿cuál es la probabilidad de que…
Hoteles: Clientes (Ai): Fallas plomería: P(B/Ai)
Ramada Inn 20% 5% 0,
Sheraton 50% 4% 0,
Lakeview Motor Lodge 30% 8% 0,
0,54 = P(E)
a) a un cliente se le asigne una habitación en la que falle la plomería?
P(E)=P(R)P(E/R) +P(S)P(E/S) +P(L)P(E/L)
P(E)= (0.20) (0.05) +(0.50) (0.04) +(0.30) (0.08)
P(E)= (0.01) +(0.02) +(0.024)
P(E)=0.054=5,4%
b) a una persona que ocupa una habitación en la que falla la plomería se le haya hospedado en el
Lakeview Motor Lodge?
P(L/E) =P(L)P(E/L) /P(E)
P(L/E) = (0.30) (0.08) / (0.054)
P(L/E) = (0.024) / (0.054)
P(L/E) =0.444= 44,44%
2.110. La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operación de corazón es
0.8. ¿Cuál es la probabilidad de que…
a) exactamente 2 de los siguientes 3 pacientes a los que se somete a esta operación sobrevivan?
P (R1 ∩ R2 ∩ R ′ 3) + P (R1 ∩ R ′ 2 ∩ R3) P (R ′ 1 ∩ R2 ∩ R3) = P(R1) P(R2) P (R ′ 3) + P(R1) P (R
′ 2) P(R3) + P (R ′ 1) P(R2) P(R3) = (3) (0.8) (0.8) (0.2) = 0 ,38 4
b) los siguientes 3 pacientes que tengan esta operación sobrevivan?
P (R1 ∩ R2 ∩ R3) = P(R1) P(R2) P (𝑅
3
3
2.111. Se sabe que 2/3 de los reclusos en cierta prisión federal son menores de 25 años de edad.
También se sabe que 3/5 de los reos son hombres y que 5/8 son mujeres de 25 años de edad o
mayores. ¿Cuál es la probabilidad de que un prisionero seleccionado al azar de esta prisión sea
mujer y tenga al menos 25 años de edad?
P (M∩ C) = P(M) + P(C) − P(M∪C) = 2/5 + 1/3 − 5/8 = 0.1083 = 10.83%
2.112. Si se tienen 4 manzanas rojas, 5 verdes y 6 amarillas, ¿cuántas selecciones de 9 manzanas
se pueden hacer si se deben seleccionar 3 de cada color?
C= (4! / 3 !) (5! /3! * 2 !) *(6! /3! * 3 !) =800 posibles combinaciones
2.113 De una caja que contiene 6 bolas negras y 4 verdes se extraen 3 bolas sucesivamente y cada
bola se reemplaza en la caja antes de extraer la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que…
N= Bola negra
V=Bola verde
a) las 3 sean del mismo color?
P((A∩A∩A) u(B∩B∩B)) = P(A)P(A)P(A)+P(B)P(B)P(B)=
= 280/1000= 0.28 es decir 28%
b) cada color esté representado?
P((A∩A∩B) u(A∩B∩B) u(A∩B∩A) u(B∩A∩B) u(B∩B∩A) u(B∩A∩A)) =
= P(A)P(A)P(B) + P(A)P(B)P(B) + P(A)P(B)P(A) + P(B)P(A)P(B) + P(B)P(B)P(A) +
P(B)P(A)P(A)
= 720/1000=0.72 es decir 72%
2.114. Un cargamento de 12 televisores contiene tres defectuosos. ¿De cuántas formas puede un
hotel comprar 5 de estos aparatos y recibir al menos 2 defectuosos?
Para resolver este planteamiento hacemos uso del criterio estadístico de la combinación , definido
por la siguiente fórmula:
C= ( 3! / 2 !) ( 9! /3! * 6 !) +( 3! /3! (3-3) !)(9!/2!*7!) = 288
Puede comprar de 288 formas distintas
2.115. Cierto organismo federal emplea a tres empresas consultoras (A, B y C) con probabilidades
de 0.40, 0.35 y 0.25, respectivamente. Se sabe por experiencia que las probabilidades de que las
empresas rebasen los costos son 0.05, 0.03 y 0.15, respectivamente. Suponga que el organismo
experimenta un exceso en los costos.
A: Empresa A
B: Empresa B
C: Empresa B
2.118. Se sabe que existe una probabilidad de 0.07 de que las mujeres de más de 60 años
desarrollen cierta forma de cáncer. Se dispone de una prueba de sangre que, aunque no es
infalible, permite detectar la enfermedad. De hecho, se sabe que 10 % de las veces la prueba da
un falso negativo (es decir, la prueba da un resultado negativo de manera incorrecta) y 5 % de
las veces la prueba da un falso positivo (es decir, la prueba da un resultado positivo de manera
incorrecta). Si una mujer de más de 60 años se somete a la prueba y recibe un resultado favorable
(es decir, negativo), ¿qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad?
Considere los eventos:
C: una mujer mayor de 60 años tiene cáncer,
P: la prueba da un resultado positivo.
Entonces,
P(C) = 0.07, P (P ′ | C) = 0.
P (P | C ′) = 0.05.
P (C | P ′) = P (P ′ | C) P(C) /P (P′ | C) P(C)+P (P′ | C′) P(C′) =
2.119. Un fabricante de cierto tipo de componente electrónico abastece a los proveedores en lotes
de 20. Suponga que 60% de todos los lotes no contiene componentes defectuosos, que 30%
contiene un componente defectuoso y que 10% contiene dos componentes defectuosos. Si se elige
un lote del que se extraen aleatoriamente dos componentes, los cuales se prueban y ninguno
resulta defectuoso,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya cero componentes defectuosos en el lote?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya un componente defectuoso en el lote?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya dos componentes defectuosos en el lote?
Considere los eventos:
A: se seleccionan dos componentes no defectuosos,
N: un lote no contiene componentes defectuosos, P(N) = 0.6, P (A | N) = 1
O: un lote contiene un componente defectuoso, P(O) = 0.3, P (A | O) = (19 /2) (20 /2) = 9/
T: un lote contiene dos componentes defectuosos, P(T) = 0.1, P (A | T) = (18/ 2) (20/ 2) = 153/190.
a.- P (N | A) = P (A | N) P(N) / P (A | N) P(N)+P (A | O) P(O)+P (A | T) P (T)
b.- P (O | A) = (9/10) (0.3) / 0.
C.- P (T | A) = 1 − 0.6312 − 0.
2.120. Existe una extraña enfermedad que sólo afecta a uno de cada 500 individuos. Se dispone
de una prueba para detectarla, pero, por supuesto, ésta no es infalible. Un resultado correcto
positivo (un paciente que realmente tiene la enfermedad) ocurre 95% de las veces; en tanto que
un resultado falso positivo (un paciente que no tiene la enfermedad) ocurre 1% de las veces. Si
un individuo elegido al azar se somete a prueba y se obtienen un resultado positivo, ¿cuál es la
probabilidad de que realmente tenga la enfermedad?
Probabilidad de una persona con la enfermedad
Probabilidad de una persona sin la enfermedad
Probabilidad de una persona con la enfermedad y que tenga la prueba de positiva
Probabilidad de una persona sin enfermedad y que tenga la prueba de positiva
Probabilidad de la prueba de positiva y que realmente tenga la enfermedad
Respuesta : La probabilidad de que realmente tenga la enfermedad es del 15.99%
2.12 1. Una empresa constructora emplea a dos ingenieros de ventas. El ingeniero 1 hace el
trabajo de estimar costos en 70% de las cotizaciones solicitadas a la empresa. El ingeniero 2
hace lo mismo en 30% de las cotizaciones. Se sabe que la tasa de error para el ingeniero 1 es tal
que la probabilidad de encontrar un error en su trabajo es 0.02; mientras que la probabilidad
de encontrar un error en el trabajo del ingeniero 2 es 0.04. Suponga que al revisar una solicitud
de cotización se encuentra un error grave en la estimación de los costos. ¿Qué ingeniero
supondría usted que hizo los cálculos? Explique su respuesta y muestre todo el desarrollo.
Probabilidad de que los 3 artículos estén defectuosos y que el cuarto no lo este
3
4
3
b) Probabilidad de que los 3 artículos estén defectuosos y que el cuarto no lo este es de 2.56%
2.123. En una planta industrial se está realizando un estudio para determinar la rapidez con la
que los trabajadores lesionados regresan a sus labores después del percance. Los registros
demuestran que 10% de los trabajadores lesionados son llevados al hospital para su tratamiento
y que 15% regresan a su trabajo al día siguiente. Además, los estudios demuestran que 2% son
llevados al hospital y regresan al trabajo al día siguiente. Si un trabajador se lesiona, ¿cuál es la
probabilidad de que sea llevado al hospital, de que regrese al trabajo al día siguiente, o de
ambas cosas?
Probabilidad de que los trabajadores lesionados sean llevados al hospital
Probabilidad de que los trabajadores regresen al día siguiente
Probabilidad de que los trabajadores lesionados sean llevados al hospital y regresen al día siguiente
Probabilidad de que sea llevado al hospital, de que regrese al trabajo al día siguiente
Respuesta: La probabilidad de que sea llevado al hospital, de que regrese al trabajo al día siguiente, o
de ambas cosas es de 23%
2.124. Una empresa acostumbra a capacitar operadores que realizan ciertas actividades en la
línea de producción. Se sabe que los operadores que asisten al curso de capacitación son capaces
de cumplir sus cuotas de producción 90% de las veces. Los nuevos operarios que no toman el
curso de capacitación sólo cumplen con sus cuotas 65% de las veces. Cincuenta por ciento de los
nuevos operadores asisten al curso. Dado que un nuevo operador cumple con su cuota de
producción, ¿cuál es la probabilidad de que haya asistido al curso?
Probabilidad de que asistan al curso y cumplan con las cuotas
Probabilidad de que no asistan al curso y cumplan con las cuotas
Probabilidad de que asistan al curso
Probabilidad de cumplan con las cuotas y que haya asistido al curso
Respuesta: Probabilidad de cumplan con las cuotas y que haya asistido al curso es del 53.06%
2.125 ) Una encuesta aplicada a quienes usan un software estadístico específico indica que 10%
no quedó satisfecho. La mitad de quienes no quedaron satisfechos le compraron el sistema al
vendedor A. También se sabe que 20% de los encuestados se lo compraron al vendedor A. Dado
que el proveedor del paquete de software fue el vendedor A, ¿cuál es la probabilidad de que un
usuario específico haya quedado insatisfecho?
Probabilidad de que no esté satisfechos
Probabilidad de que no estén satisfechos y compren con el vendedor A
Probabilidad de que compren con el vendedor A
Probabilidad de cumplan con las cuotas y que haya asistido al curso
Respuesta: La probabilidad de que un usuario específico haya quedado insatisfecho es del 25%
2.126. Durante las crisis económicas se despide a obreros y a menudo se les reemplaza con
máquinas. Se revisa la historia de 100 trabajadores cuya pérdida del empleo se atribuye a los
avances tecnológicos. Para cada uno de ellos se determinó si obtuvieron un empleo alternativo
dentro de la misma empresa, si encontraron un empleo en la misma área de otra empresa, si
encontraron trabajo en una nueva área o si llevan desempleados más de un año. Además, se
registró la situación sindical de cada trabajador. La siguiente tabla resume los resultados.
𝐶
𝐶
Respuesta: 11.11%
2.12 8. Proyecto de equipo: Entregue a cada estudiante una bolsa de chocolates M&M y forme
equipos de 5 o 6 estudiantes. Calcule la distribución de frecuencia relativa del color de los M&M para
cada equipo.
a) ¿Cuál es su probabilidad estimada de elegir un chocolate amarillo al azar? ¿Y uno rojo?
P=
20
4
b) Ahora haga el mismo cálculo para todo el grupo. ¿Cambiaron las estimaciones?
1
100
20
2
120
24
Las estimaciones no han cambiado porque siguen siendo las mismas probabilidades
c) ¿Cree que en un lote procesado existe el mismo número de chocolates de cada color? Comente al
respecto.
Si, ya que es una mayor cantidad de chocolates y también ya que es un lote
procesado por lo tanto si existe el mismo numero de chocolate de cada color