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Instituto de Ciencias FISICAS
RESUMEN:
En la práctica que se relata en este informe, se calculó experimentalmente el módulo de
Young de un material de Ingeniería.
Para llevar a cabo esto usamos las definiciones:
De elasticidad: σ = E ∂
De momento de inercia de una barra.
I =
b h
3
Mediante un gran despeje de fórmulas y de mucha habilidad matemática, se logró un largo
proceso obteniendo como resultado la siguiente ecuación que sería el tronco principal de
nuestra práctica.
Y
max
L
3
48 E l
F
Para poder hacer la práctica, se utilizó un mecanismo que consistía en un dispositivo
conformado por una platina de metal sostenida por dos apoyos separados una determinada
distancia, también se utilizó una fuente de bajo voltaje y un tornillo Vernier, los cuales se
encargaban de las mediciones de deflexión de la viga.
Lo primero que se hizo fue calibrar el tornillo Vernier tomando un punto de referencia que
no ayudo a ver lecturas posteriores. Luego se utilizó un portamasas que se colocó sobre la
barra, al cual se le agregaban una cantidad determinadas de masas, dichos valores eran
dados por nosotros combinando las distintas masas a disposición.
Una vez colocadas las masas, se bajaba el tornillo Vernier hasta que este toque la barra, en
ese momento se encendía la bombilla. Utilizando el punto de referencia inicial se tomaron
las mediciones.
Realizamos un análisis teórico y mediante deducción de fórmulas, se llegó a establecer la
relación que existe entre la deformación que sufre el cuerpo y la fuerza que se le aplica;
esta relación fue comprobada a lo largo del experimento.
Realizamos las mediciones de fuerza aplicada F y deflexión máxima Ymáx. Encontraremos
la relación existente entre estas magnitudes mediante un gráfico Ymáx vs F; y luego
determinaremos el módulo de Young del material utilizado (platina de metal).
Como resultados obtuvimos de m ±δmm =
× 10
− 5
m / N ,
I ± δmI =
× 10
− 10
m
4
E =2.45 × 10
11
Pa
; Pa=N/m2 y teniendo un porcentaje de
error de la práctica de 20%.
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También se concluyó que el material es acero ya que su módulo de Young se aproxima
mucho. ( E =2.00 × 10
11
Pa
INTRODUCCIÓN
La relación entre el esfuerzo σ y la deformación unitaria δ queda establecida por la ley de
Hooke que toma la forma
σ = E ∂ ( 1 )
Donde E es el módulo de Young. Esta es una constante propia del material.
Una viga sometida a una carga concentrada en su centro, se deforma de manera que se
puede considerar que las fibras cercanas a la concavidad se contraen y aquellas que se
encuentran próximas al lado convexo se alargan.
La fibra cuya longitud no se altera es conocida como la fibra neutra.
De acuerdo a la ley de Hooke, la deformación unitaria δ de estas fibras es proporcional al
esfuerzo σ. La resultante F de las fuerzas aplicadas a las fibras sobre la fibra neutra debajo
de ella crea el momento flexionante M.
El radio de la curvatura R de la fibra neutra, se relaciona con el módulo de Young E de
acuerdo a la ecuación:
R
M
El
Donde M es el momento flector e I es el Momento de Inercia del área de la sección
transversal
I =
∫
y
2
δmA
Una viga apoyada como se indica, con una carga concentrada F en su centro tiene
reacciones en los apoyos; que de acuerdo a las condiciones de equilibrio son.
R =
F
El momento flexionante en una sección transversal de la viga se obtiene de la condición de
equilibrio de momentos, para la sección izquierda de la Viga.
M − x
F
De forma que el momento flexionante a una distancia x del extremo será:
M ( x ) =
F
x ( 3 )
La flexión de una viga se puede describir con la forma que toma la fibra neutra.
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I =
b h
3
Para una sección transversal rectangular de la varilla de ancho b y altura h.
MÓDULO DE YOUNG: También es conocido como modulo elástico longitudinal, es una
constante propia que tiene cada material, el cual nos da el comportamiento elástico de una material
cuando se le aplica una fuerza de tracción o comprensión (solo para materiales isótropos). Esta
constante solo sirve antes de que se exceda el limite elástico es decir cuando ya no se puede aplicar
la ley de Hooke. Se lo representa con la letra E o Y.
La ley de Hooke nos dice que esfuerzo σ aplicado sobre un cuerpo va a hacer igual al módulo de
Young de dicho cuerpo multiplicado por la deformación unitaria δ que sufre el mismo.
σ=Eδ
CALIBRADOR VERNIER: Es un instrumento de medición el cual nos proporciona una medida
con gran precisión dándonos lecturas de hasta 0.05 mm disminuyendo de esta manera error de la
lectura.
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
Una vez explicada la parte teórica, procedimos a realizar las experiencias en el Laboratorio.
Lo primero que se debe de hacer en este experimento es tomar ciertas mediciones las cuales
nos serán de utilidad al momento de realizar los cálculos.
Se utilizó una reglas de un metro de longitud para medir la distancia que existe entre los
dos soportes de la barra de metal a esta medición se la llama ( L ± δmL )
Con mucha exactitud y utilizando el calibrador Vernier se tomó la medición del de la altura
o espesor de barra y lo llamaremos
( h ± δmh )
. Hacemos lo mismo con el ancho de la barra
obteniendo así el
( b ± δmb ) .
Luego se procedió a tomar un punto de referencia en el tornillo micrométrico, esto se lo
realiza colocando la barra sin el portamasas y juntando el tornillo Vernier a la barra hasta
que se encienda la bombilla. Esto nos servirá al momento de realizar las siguientes
mediciones.
Los siguiente que se hizo es colocar la primera masa en el portamasas, esta masas equivale
a 0.5kg o 4.9N podremos notar que la barra se habrá deformado en su centro, producto de la
fuerza ejercida por la masa, unimos la punta del tornillo Vernier con la parte deformada de
la barra hasta que logremos encender la bombilla (procurando ser lo más exactos posibles)
y medimos esa longitud usando la escala del tornillo y el punto de referencia. De esta
manera obtenemos (
Y
max
± ∆ Y
max
)
m .
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Hicimos lo mismo con las distintas masas de 1Kg y 2Kg, realizamos las distintas
combinaciones hasta obtener 5 mediciones.
Utilizando los datos de
( h ± δmh ) y
( b ± δmb ) calculamos el momento de inercia
I =
bh
Y lo anotamos como
( I ± δmI ) .
Utilizando el momento flector y solucionando una ecuación diferencial llegamos a la
ecuación: Y =
F
12 EI
x
3
F L
3
16 EI
x
Resolviendo esa ecuación remplazando que
x =
L
.\
Tenemos la siguiente expresión:
Y
max
L
3
48 EI
F
Con los datos obtenidos graficamos
Y
max
vs F y la pendiente ( m ± δmm ) obtenida de ese
grafico será igual a m =
L
3
48 EI
Donde L será igual a la distancia entre los dos soporte, m la pendiente del grafica e I la
inercia de la barra.
De esta manera despejamos la ecuación y obtenemos ( E ± δmE )
RESULTADOS
a) COMPLETE LA TABLA DE DATOS MOSTRADA
F ( N ) Y
max
( m )
− 5
− 5
− 5
− 5
− 5
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δmm =
| b
− 1
| δma +
| a b
− 2
| δmb
δmm =| 16
− 1
|0.00002+|( 0.0014) ( 16 )
− 2
|0.
− 5
m
N
m =( 8.75 ± 0.22)∗ 10
− 5
m
N
d) DETERMINE EL VALOR DEL MOMENTO DE INERCIA DEL ÁREA DE LA
SECCIÓN TRANSVERSAL.
b =
− 2
m
h =(0.60 ± 0.05) 10
− 2
m
I =
b h
3
( 3.20∗ 10
− 3
) (0.60∗ 10
− 2
3
− 10
m
2
Kg
ERROR DE LA PENDIENTE
δmI =
{
|
∂ I
∂ b
|
δmb +
|
∂ I
∂ h
|
δmh
}
δmI =
{| h
3
| δmb +| 3 b h
2
| δmh }
δmI =
{|( 0.60∗ 10
− 2
)
3
|(0.05∗ 10
− 3
)+| 3 ( 3.20∗ 10
− 3
) ( 0.60∗ 10
− 2
)
2
|( 0.05∗ 10
− 3
)}
δmI =1.58∗ 10
− 13
− 12
− 12
m
2
Kg
I =
− 10
m
2
Kg
e) CON LOS VALORES CONOCIDOS DE L E I, ESTABLECER EL VALOR
DE E USANDO LA PENDIENTE.
m =
L
3
48 EI
DANIEL MARX PETROCHE SANCHEZ – LABORATORIO DE FISICA B Página 5
Instituto de Ciencias FISICAS
E =
L
3
48 mI
( 84 ∗ 10
− 2
m )
3
48 ( 8.75∗ 10
− 5
) ( 5.76∗ 10
− 10
)
11
N
m
2
ERROR DE LA PENDIENTE
E =
L
3
m
− 1
I
− 1
δmE =
∂ E
∂ L
δmL +
∂ E
∂ m
δmm ++
∂ E
∂ I
δmI
δmE =
{| 3 L
2
m
− 1
I
− 1
| δmL +|− L
3
m
− 2
I
− 1
| δmm + +|− L
3
m
− 1
I
− 2
| δmI }
δmE =
3 ( 84 ∗ 10
− 2
)
2
( 8.75∗ 10
− 5
) ( 5.76∗ 10
− 10
)
− 2
( 84 ∗ 10
− 2
)
3
( 8.75∗ 10
− 5
)
2
( 5.76∗ 10
− 10
)
− 5
( 84 ∗ 10
− 2
)
3
( 8.75∗ 10
− 5
) ( 5.76∗ 10
− 10
)
2
δmE =
{|1.76∗ 10
10
|+|2.32∗ 10
11
|+|1.29∗ 10
11
|}=7.89∗ 10
9
N
m
2
E =(2.45 ± 0.08)∗ 10
11
N
m
2
GRÁFICOS:
Ilustración 2.- Esta imagen nos ilustra
los momentos en que la ayudante de
cátedra aseguraba el mecanismo a la
mesa de prácticas.
Ilustración 1 .- La presente imagen nos
muestra el mecanismo que usamos
para realizar la práctica.
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d) Demuestre que la deflexión máxima ocurre cuando x = l/2.
La deflexión máxima ocurre cuando x = l/2 de modo que:
Ymax =
L
3
48 EI
F
En donde: I =
b h
3
Esto se debe a que el centro de masa de la barra está en la mitad de ella.
CONCLUSIÓN
En base al desarrollo de la práctica y al resultado de la misma. podemos concluir lo
siguiente:
Se calculó experimentalmente el módulo de Young de un material de ingeniería.
A la recta del gráfico obtenido se le calculó el valor de la pendiente, con el fin de
utilizarlo para determinar el módulo de Young; este valor fue
m ±δmm =( 8.75 ± 0.11) × 10
− 5
m / N
Además se estableció el momento de torsión del área de la sección transversal
I =
b h
3
y cuyo valor fue I ± δmI =
× 10
− 10
m
4
. Estos m e I fueron
utilizados para el cálculo del módulo de Young E, el cual después de aplicar la
ecuación E =
L
3
48 mI
, dio una valor de E =2.45 × 10
11
Pa
; Pa=N/m2.
Para realizar una correcta interpretación de este resultado debemos consultar una
tabla que contenga los valores del módulo de Young para diferentes materiales y
comparar; observar valores aproximados.
Se puede concluir, que el material del cual está hecha la platina sometida al ensayo
es acero, por tener un módulo de Young igual a 2.0*1011 Pa; es decir el valor
obtenido experimentalmente se aproxima al teórico con un error de 20%.
Este procedimiento es válido para poder determinar el módulo de Young de
cualquier material.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Guía de Laboratorio de Física B. ICF - ESPOL. Revisión II
http://es.wikipedia.org/wiki/modulodeelasticidad
http://www.ib.cnea.gov.ar/~pieckd/modulodeyoung
http://www2.uah.es/spas/docencia/fisica_ambiental/lab_fa_4.pdf
http://www.youtube.com/watch?v=2a3Fm1YQ9yc
