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ESTIMACION DE PARAMETROS
Página 387 (3)
1. Sean 𝑋
̅
̅
1
𝑦 𝑋
̅
̅
1
las medias de dos muestras independientes de tamaños 𝑛
1
𝑦 𝑛
2
respectivamente escogidas de una población 𝑋 de Poisson con parámetro 𝜆.
a) Probar que la estadística 𝜃
̂
=
𝑛
1
+𝑋
̅
1
+𝑛
2
𝑋
̅
2
𝑛
1
+𝑛
2
es un estimador insesgado del
parámetro 𝜆.
b) Hallar la varianza del estimador.
SOLUCION:
a)
𝐸 (
𝜃
̂
)
= 𝐸 [
𝑛
1
𝑥̅
1
2
𝑥̅
2
𝑛
1
2
]
=
1
𝑛
1
2
{ 𝑛
1
𝐸(𝑥̅
1
) + 𝑛
2
𝐸(𝑥̅
2
)
}
=
1
𝑛
1
2
{𝑛
1
𝜆 + 𝑛
2
𝜆}
=
1
𝑛
1
2
𝜆
{ 𝑛
1
2
}
= 𝜆
𝐸 (
𝜃
̂
)
= 𝜆
b)
𝑣𝑎𝑟 (
𝜃
̂
)
= 𝑣𝑎𝑟 [
𝑛
1
𝑥̅
1
2
𝑥̅
2
𝑛
1
2
]
𝑣𝑎𝑟(𝜃
̂
) =
1
(𝑛
1
2
)
2
{ 𝑣𝑎𝑟
( 𝑛
1
𝑥̅
1
)
( 𝑛
2
𝑥̅
2
)}
𝑣𝑎𝑟(𝜃
̂
) =
1
( 𝑛
1
2
)
2
{𝑛
1
2
𝑣𝑎𝑟(𝑥̅
1
) + 𝑛
2
2
𝑣𝑎𝑟(𝑛
2
𝑥̅
2
)}
𝑣𝑎𝑟(𝜃
̂
) =
1
(𝑛
1
2
)
2
{𝑛
1
2
𝜆
𝑛
1
2
2
𝜆
𝑛
2
}
𝑣𝑎𝑟(𝜃
̂
) =
1
( 𝑛
1
2
)
2
{𝑛
1
𝜆 + 𝑛
2
𝜆}
𝑣𝑎𝑟(𝜃
̂
) =
1
(𝑛
1
2
)
2
𝜆 {𝑛
1
2
}
𝑣𝑎𝑟(𝜃
̂
) =
𝜆
(𝑛
1
2
)
Página 388 (5)
2. Dos módulos diferentes e independientes dieron lugar a dos estimadores
insesgados 𝜃
̂
1
𝑦 𝜃
̂
2
del parámetro 𝜃. Las desviaciones estándares de estos
estimadores son 0.4 y 0.6 respectivamente. Los estimadores son cambiados de la
siguiente manera:
𝜃
̂
= 𝑟𝜃
̂
1
̂
2
0 < 𝑟 < 1
Hallar el valor de 𝑟 que haga minima la varianza del estimador 𝜃
̂
.
SOLUCION:
a) ¿ 𝑟? 𝜃
̂
= 𝑟𝜃
̂
1
( 1 − 𝑟
) 𝜃
̂
2
0 < 𝑟 < 1
𝑣𝑎𝑟(𝜃
̂
) = 𝑣𝑎𝑟(𝑟𝜃
̂
1
( 1 − 𝑟
) 𝜃
̂
2
)
= 𝑟
2
. 𝑣𝑎𝑟(𝜃
̂
1
) + ( 1 − 𝑟)
2
𝑣𝑎𝑟(𝜃
̂
2
)
= 𝑟
2
( 0. 4 )
2
2
. ( 0. 6 )
2
𝑘 = 𝑣𝑎𝑟(𝜃
̂
) = 0. 16 𝑟
2
2
𝑣𝑎𝑟 (𝜃
̂
) = 𝑘
𝑑𝑘
𝑑𝑟
= 0. 16
( 2
) 𝑟 − 0. 72
( 1 − 𝑟
) = 0
32 𝑟 − 0. 72 + 0. 72 𝑟 = 0
04 𝑟 = 0. 72
𝑟 = 0. 6923
𝜃
̂
1
= 0. 4
𝜃
̂
1
= 0. 6
Página 388 (6)
3. Sea 𝑥 1
, 𝑥
2
, … , 𝑥
𝑛
una muestra aleatoria de tamaño 𝑛 de una población de Bernoulli
𝐵( 1 , 𝑝). De las siguientes estadísticas:
Θ
̂
1
=
∑ 𝑥
𝑖
− 𝑥
𝑘
𝑛
𝑖= 1
𝑛 − 1
, Θ
̂
2
=
∑ 𝑥
𝑖
𝑛 2
𝑖= 1
𝑛
𝐸(𝜃
̂
2
) = {𝑝 + 𝑝+... +𝑝}.
1
𝑛
= 𝑛𝑝.
1
𝑛
𝐸(𝜃
̂
2
) = 𝑝 𝑖𝑛𝑠𝑒𝑠𝑔𝑎𝑑𝑜
Página 388 (7)
4. Sea 𝑋 1
, 𝑋
2
, … , 𝑋
50
una muestra aleatoria de tamaño 50 escogida de una población
con distribución geométrica de parámetro 𝑝, 0 < 𝑝 < 1 ,
𝑃
[ 𝑋 = 𝑥
] = 𝑝
( 1 − 𝑝
)
𝑥
, 𝑥 = 0 , 1 , 2 , …
a) Determinar el estimador de máxima verosimilitud para 𝑝.
b) Estimar 𝑝, si 𝑋
1
, 𝑋
2
, … , 𝑋
50
= 100.
SOLUCION:
a) Sabemos que: Distribución Geométrica.
𝐸
( 𝑥
)
1
𝑝
𝜎
2
=
𝑞
𝑝
2
; 𝑛 = 50
La distribución de probabilidad de cada variable aleatoria 𝑋
1
; es:
𝑃
[ 𝑋 = 𝑥
] = 𝑝
( 1 − 𝑝
)
𝑥
, 𝑥 = 0 , 1 , 2 , …
La función de verosimilitud de la muestra aleatoria es entonces:
𝐿 = 𝐿(𝑝, 𝑥) = ∏ 𝐿(𝑝, 𝑥)
𝑛
𝑖= 1
𝐿 = 𝑝
𝑛
( 1 − 𝑝
)
∑ 𝑥
Luego
ln 𝐿 = 𝑛 𝑙𝑛𝑝 +
( 1 − 𝑝
) ∑ 𝑥
b)
Página 388 (8)
5. Sea 𝑋
1
, 𝑋
2
, … , 𝑋
20
una muestra aleatoria de tamaño 20 escogida de una población
con distribución binomial de parámetro 𝑝, 0 < 𝑝 < 1 ,
𝑃[𝑋 = 𝑥] = 𝐶
𝑥
2
𝑝
𝑥
( 1 − 𝑝)
2 −𝑥
, 𝑥 = 0 , 1 , 2
Determinar el estimador de máxima verosimilitud para 𝑝, si en la muestra el valor 0
ocurre 4 veces, el valor 1 ocurre 9 veces y el valor 2 ocurre 7 veces.
SOLUCION:
¿ 𝑝?
𝑥 0 1 2
𝑓 4 9 7
𝐿(𝑥) = ∏ 𝐶
0
2
𝑝
0
( 1 − 𝑝)
2 − 0
∗ ∏ 𝐶
1
2
𝑝
1
( 1 − 𝑝)
2 − 1
∗ ∏ 𝐶
2
2
𝑝
2
( 1 − 𝑝)
2 − 2
7
𝑖= 1
9
𝑖= 1
4
𝑖= 1
=
( 1 − 𝑝
)
2 ( 4 )
∗ 2
9
𝑝
9
( 1 − 𝑝
)
1 ( 9 )
∗ 𝑝
2 ( 7 )
= ( 1 − 𝑝)
8
∗ 2
9
𝑝
9
( 1 − 𝑝)
1 ( 9 )
∗ 𝑝
2 ( 7 )
=
( 1 − 𝑝
)
17
. 𝑝
23
. 2
9
ln 𝐿 = 17 𝑛( 1 − 𝑝) + 9 ln 2 + 23 ln 𝑝
𝜕𝐿
𝜕𝑝
=
− 17
1 − 𝑝
23
𝑝
= 0
23
𝑝
=
17
1 − 𝑝
23
( 1 − 𝑝
) = 17 𝑝
𝑝 =
23
40
𝑝 = 0. 575
Página 389 (13)
7. Una maquina produce objetos cuyo peso en gramos tiene distribución normal
N (30, 𝜎
2
), con 𝜎 desconocida. Los objetos son defectuosos si es menor que
26 o mayor que 34 gramos. Para estimar 𝜎 se pesa un objeto cada vez hasta
que un defectuoso sea obtenido. Hallar el estimador de máxima verosimilitud
de 𝜎 si en un control el primer defectuoso se halló en la décima prueba.
SOLUCIÓN:
La distribución de probabilidades de la población normal, asociada a cada
variable aleatoria X, está dado por:
2
− 1
2
(
𝑥𝑖−𝜇
𝜎
)
2
La función de máxima verosimilitud es:
2
) = [𝑓(𝑥𝑖, 𝜇, 𝜎
2
)]
𝑛
= [
− 1
2
(
𝑥𝑖−𝜇
𝜎
)
2
]
𝑛
𝑛
− 1
2
∑(
𝑥𝑖−𝜇
𝜎
)
2
2
−𝑛/ 2
− 1
2
∑
(𝑥𝑖−𝜇)
2
𝜎
2
Luego;
𝐿 = ln(𝐿
2
ln
2
2
− 1
2
Derivando la función L con respecto a 𝜎
2
e igualando a cero da
𝜕 ln(𝐿(𝜇, 𝜎
2
2
2
2
− 2
2
2
2
4
2
X: Peso en gramos → 𝑁
2
Además se sabe que son defectuosos los pesos 𝑞̂ = 1 − 𝑝̂
4
𝜎
Página 424 (4)
8. Un fabricante afirma que el precio promedio de las latas de fruta en conserva que
saca al mercado es 7 onzas. Para Verificar esta afirmación se escogen al azar 20
latas de fruta y se encuentran que el precio promedio es 18.5 onzas suponga que la
población de los pesos es normal con una desviación estándar de 2 onzas.
a) Utilizando un intervalo de confianza del 98% para μ, ¿se puede aceptar la
afirmación del fabricante?
b) ¿Qué tamaño de muestra se debe escoger para estimar μ si se quiere un error
no mayor a 0.98 onzas con confianza del 95%.
Solución
Para
a)
2
El error estándar de la media 𝑥̅ es :
𝑥̅
Los límites de tolerancia de μ son:
1 −
𝛼
2
1 −
𝛼
2
Sabemos; 1 − 𝛼 = 98% entonces: 𝑍
1 −
𝛼
2
1 −
- 02
2
- 99
Remplazando:
19 ∈ [ 17. 458 ≤ 𝜇 ≤ 19. 542 ]
Siendo los límites de tolerancia de 𝜇 : 18. 5 +
Para b) 𝑒 ≤ 0. 98 𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠 1 − 𝛼 = 95% → 𝛼 =
- 975
0
Página 425 (5)
𝛼 = ¿ [ 7 .96% ; 9. 46 %]
- 98
1 −
𝛼
2
1 −
𝛼
2
1 −
𝛼
2
Página 425 (9)
11. Encontrar el tamaño de la muestra que se debe tomar para estimar la media
de las longitudes de los tornillos que se produce en una fábrica con un erros
no mayor a 0.0233 al nivel de la confianza del 98%, si además se indica que
la longitud de los tornillos tiene una distribución normal y su longitud se desvía
de la media en a lo más 0.08 cm. Con probabilidad 0.9544.
Solución
L:” longitud de los tornillos en cm.”
[
]
- 99
2
2
2
2
2
2
Página 426 (10)
12. Las cajas de un cereal producidos por una fábrica deben tener un contenido
promedio de 160 gramos. Un inspector de INDECOPI tomo una muestra
aleatoria de 10 cajas para calcular los pesos Xi en gramos. Si de la muestra
resulta la siguiente suma:
10
𝑖= 1
2
10
𝑖= 1
Mediante un intervalo de confianza del 98% para μ ¿es razonable que el
inspector multe al fabricante? Suponga por el peso de las cajas del cereal
tiene distribución normal.
Solución
μ = 160 gramos
n = 10
X: “pesos en gramos de la caja de cereales”
2
2
2
2
[𝑥̅ − 𝑒 ≤ 𝜇 ≤ 𝑥̅ + 𝑒] 𝑡
1 −
𝛼
2
,𝑛− 1
- 99 , 9
Remplazando [ 159 − 2. 06 ≤ 𝜇 ≤ 159 + 2. 06 ]
[ 156. 94 ≤ 𝜇 ≤ 161. 06 ]
160 ∈ [ 156. 94 ≤ 𝜇 ≤ 161. 06 ]
Por lo tanto no se multa al fabricante.
Solución:
a)
𝐴 = 0. 4 𝑒 = 0. 03 para B
[ 0. 37 ≤ 𝑝 ≤ 0. 43 ] [ 0. 31 ≤ 𝑝 ≤ 0. 39 ]
Se puede decir que hay un empate técnico
b) Datos
0
- 99
0
Página 428 (20)
15. Se desea realizar un estudio de mercado para determinar la proporción de
amas de casa que prefieren una nueva pasta dental.
a) Si la encuesta tiene un costo fijo de $500 más un costo variable de $5 por
cada entrevista, ¿cuánto debería costar la encuesta si se desea que el
error al estimar la proporción verdadera no sea mayor que 2%, con un
nivel de confianza del 97%?
b) Si para el tamaño de muestra hallado en a) se encuentra que 736
prefieren la nueva pasta dental, estimar la proporción verdadera con un
coeficiente de confianza de 99%?
Solución:
X: # de personas que quieren la pasta dental
: No se conoce 𝑒 = 0. 02 𝛼 = 0. 03 𝑍
- 985
a) 𝑦 = 5 ∗ 𝑛 + 500
Hallamos n:
1 −
𝛼
2
2
2
2
2
b) 𝑃
736
2944
- 995
1 −
𝛼
2
2
2
2
2
𝑒 = 0. 02054 [ 0. 25 ± 0. 02054 ]
Página 429 (23)
16. Un fabricante estima en 5% la proporción de piezas defectuosos de los 5,
producidos.
a) Para confirmar tal estimación primero se debe escoger una muestra
aleatoria, ¿cuántas piezas debe tener la muestra si se quiere tener una
confianza del 95% que el error de la estimación no será superior a 0.047?
b) Se escoge una muestra aleatoria del tamaño calculado en a) , si en ella
se encuentran 40 piezas defectuosos, mediante un intervalo de confianza
del 95%, ¿se puede inferir que la estimación del fabricante es coherente
con la estimación efectuada a partir de la muestra aleatoria?
Solución:
Datos
- 975
= 1. 96 p=0.05 N =
a) Considerando 𝑃
0
Despejando 𝑛 = 400
b) 𝑛 = 400 𝛼 = 0. 05 𝑍
- 975
40
400
0
[ 𝑃
+ 𝑒]
[ 0. 1 − 0. 0282 ≤ 𝑝 ≤ 0. 1 + 0. 0282 ]
[ 0. 0718 ≤ 𝑝 ≤ 0. 1282 ]
Se dice que p=0.05 no pertenece al IC
[ 10 ± 6. 41 ] u1≤u
b) u1-u2=13?
[ 3. 59 ≤ u1-u2≤ 16. 41 ]
Si es verdadero
Página 430 (28)
19. Un inversionista hace un estudio para elegir una de dos ciudades del interior
del país para abrir un centro comercial. Escoge 21 hogares de la ciudad 1
determinando: J, = $400, s, = $120 y escoge 16 hogares de la ciudad 2
calculando: x-, = $350, s2 = $60. Suponga poblaciones normales con
varianzas diferentes. Mediante un intervalo de confianza del 95%, ¿se puede
afirmar que son iguales los ingresos promedios de las dos ciudades?
Solución:
Datos:
0
- 975
2
2
Ciudad 1
Ciudad 2
(
𝑠̂ 1
2
𝑛 1
𝑠̂ 2
2
𝑛 2
)
2
(
𝑠
̂ 1
2
𝑛 1
)
2
𝑛 1 − 1
(
𝑠
̂ 2
2
𝑛 2
)
2
𝑛 2 − 2
(
120
2
21
60
2
16
)
2
(
120
2
21
)
2
20
(
60
2
16
)
2
15
0
- 975
0
2
2
2
2
[ (𝑥̅ 1 − 𝑥̅ 2 ) − 𝑒 ≤ 𝑢 1 − 𝑢 2 ≤ (𝑥̅ 1 − 𝑥̅ 2 ) + 𝑒]
[ 50 − 61. 536 ≤ 𝑢 1 − 𝑢 2 ≤ 50 + 61. 536 ]
[-11.536≤ 𝑢 1 − 𝑢 2 ≤ 111. 536 ]
Entonces si se puede afirmar que 𝑢 1 = 𝑢 2 por qué cero si pertenece al IC.
Página 430 (29)
20. Para comparar los gastos promedios mensuales de los alumnos de 2
universidades particulares se escogen dos muestras aleatorias de 10 y 9
alumnos respectivamente resultando los siguientes gastos en dólares:
Muestra 1: 400, 410, 420, 380, 390, 410, 400. 405, 405. 400.
Muestra 2: 390, 395, 380, 390. 400, 380, 370, 390. 380.
Mediante un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de los
promedios de los gastos mensuales, ¿se puede inferir que los gastos
promedios son iguales? Suponga que ambas poblaciones son normales,
independientes, con varianzas desconocidas supuestas iguales.
Solución:
Datos:
0
- 975
- 975
2
2
universidad 1
2
2
2
2
2
2
Universidad 1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
𝑠̂ 𝑐
2
𝑛 1
𝑠̂ 𝑐
2
𝑛 2
- 8624
10
- 8624
9
especializados de A, y 13 de B, obteniendo las dispersiones sA = 50, sB = 3
0 de salario mínimo, ¿cuál sería su conclusión si utiliza un intervalo del 95%
para el cociente de varianzas?. Suponga distribuciones normales.
Solución:
Datos:
Fabrica A Fabrica B
nA=10 nB=
2
,𝑟 2 ,𝑟 1
1 −
𝛼
2
,𝑟 1 ,𝑟 2
- 025 ; 12 ; 9
- 975 ; 9 ; 12
1 −
𝛼
2
,𝑟 1 ,𝑟 2
- 975 ; 9 ; 12
1 −
𝛼
2
,𝑟 2 ,𝑟 1
- 975 ; 12 ; 9
𝛼
2
,𝑟 2 ,𝑟 1
1
𝐹
1 −
𝛼
2
,𝑟 1 ,𝑟 2
1
- 44
[
𝑠
̂ 1
2
𝑠
̂ 2
2
𝛼
2
,𝑟 2 ,𝑟 1
𝜎
2
1
𝜎
2
2
𝑠
̂ 1
2
𝑠
̂ 2
2
𝛼
2
,𝑟 2 ,𝑟 1
]
[
50
2
30
2
𝜎
2
1
𝜎
2
2
50
2
30
2
∗ 3. 87 ]
[ 0. 8075 ≤
𝜎
2
1
𝜎
2
2
≤ 10. 75 se afirma que si.
