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Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 5. Probabilidad y Estadística. Tema 2. Estadística descriptiva Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
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Bloque 5. Probabilidad y Estadística
Tema 2. Estadística descriptiva
Ejercicios resueltos
5.2 -1 Dada la siguiente tabla de ingresos mensuales, calcular la media, la
mediana y el intervalo modal.
Ingresos Frecuencia Menos de 400€ 5 [400, 700) 20 [700, 1.000) 35 [1.000, 1.500) 70 [1.500, 2.500) 50 Más de 2.000€ 15
Solución
La media no se puede calcular ya que el último intervalo está abierto hasta el infinito.
Para calcular la mediana nos fijamos en que hay 195 datos, por lo que el lugar intermedio es el 98, luego la mediana está en el intervalo [1.000, 1.500). Aplicamos la fórmula:
i 1 i 1 i i
N 195 N (^60) 37, Me = L 2 ·a 1.000 + 2 · 500 = 1.000 + · n 70 70 1.000 + 0,5357 · 500 = 1.000 + 267,85 = 1.267,
− −
− −
=
El intervalo modal es el [1.000, 1.500)
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5.2- 2 Se lanzan dos dados 200 veces y cada vez se recoge la suma de las
puntuaciones, obteniendo los siguientes resultados:
Suma 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Veces 6 10 15 22 31 33 30 24 16 9 4
Realiza el diagrama de barras, calcula la media y las frecuencias relativas.
Solución
El diagrama de barras es:
Para calcular la media y las frecuencias relativas completamos la tabla:
Xi n (^) i x (^) i · n (^) i N (^) i f (^) i Fi 2 6 12 6 0,03 0, 3 10 30 16 0,05 0, 4 15 60 31 0,075 0, 5 22 110 53 0,11 0, 6 31 186 84 0,155 0, 7 33 231 117 0,165 0, 8 30 240 147 0,15 0, 9 24 216 171 0,12 0, 10 16 160 187 0,08 0, 11 9 99 196 0,045 0, 12 4 48 200 0,02 1 TOTAL 200 1392 1
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n i i i=
x ·n
X= = 1,
N 200
La mediana será la media de los valores que ocupen los lugares 100 y 101, si observamos la tabla de frecuencias acumuladas, vemos que ambos valores valen 1, por lo que Me = 1
El valor que más se repite es 0, luego Mo = 0
Para calcular la desviación típica calculamos primero la varianza: n 2 i i (^2) i=1 2 2
2
x ·n
= x 1,185 2,945 1, 4042 1,
N 200
5.2- 4 Los resultados de un test de 49 preguntas realizado a 500 personas han
dado los siguientes resultados: Respuestas correctas [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) Número de personas 45 123 206 84 42 Dibujar el histograma y calcular la media y la desviación típica.
Solución
Para representar el histograma nos fijamos en que los intervalos tienen todos amplitud 10.
Para calcular la media y la desviación típica calculamos la tabla:
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Intervalo Xi Marca de clase
n (^) i x (^) i · n (^) i x (^) i 2 x (^) i 2 · n (^) i
[0,10) 5 45 225 25 1. [10,20) 15 123 1.845 225 27. [20,30) 25 206 5.150 625 128. [30,40) 35 84 2.940 1.225 102. [40,50) 45 42 1.890 2.025 85. TOTAL 500 12.050 345. n i i i=
x ·n
X= = 24,
N 500
n 2 i i (^2) i=1 2 2
2
x ·n
= x 24,1 691 580,81 110,
N 500
σ
σ σ
5.2 -5 El número de horas dedicado al estudio de una asignatura por 10
estudiantes y la calificación obtenida en dicha asignatura por cada uno de ellos viene dado en la siguiente tabla:
X: horas de estudio 25 10 20 30 17 22 24 6 18 20 Y: calificación 8 2 5 7 4 5 5 3 5 4
Dibuja la nube de puntos y decide a partir de ella si puede existir algún tipo de correlación entre las variables.
Solución
El diagrama de dispersión queda:
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n i i i= XY
x ·y
= x · y 230·5, N 8 1.021, 25 1.236, 25 215
= − = −
XY X Y
r = 0,
Como el coeficiente de correlación es próximo a -1 la correlación lineal es fuerte y como es negativo la correlación es inversa, es decir al aumentar una variable disminuye la otra.
5.2 -7 Las mediciones de peso y talla de una muestra de ocho estudiantes se
recogen en la siguiente tabla:
X: peso (Kg.) 75 60 72 80 65 68 73 55 Y: talla (cm.) 180 158 170 169 170 176 175 160
a) Calcula el coeficiente de correlación lineal y explica el tipo de correlación existente. b) Calcula la recta de regresión de y sobre x. c) ¿Qué altura cabe esperar para un estudiante que pese 70 Kg?
Solución
a) Para calcular el coeficiente de correlación lineal rellenamos la tabla:
Xi Y (^) i Xi · Y (^) i Xi 2 Y (^) i 2 75 180 13.500 5.625 32. 60 158 9.480 3.600 24. 72 170 12.240 5.184 28. 80 169 13.520 6.400 28. 65 170 11.050 4.225 28. 68 176 11.968 4.624 30. 73 175 12.775 5.329 30. 55 160 8.800 3.025 25. Totales 548 1.358 93.333 38.012 230.
X = 68,
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Y = 169, 75
2 2 X
X
= 68,5 4.751,5 4.692, 25 59, 25 8
59, 25 7, 697
− = − =
= =
2 2 Y
Y
σ
σ
XY
68,5·169,75 11.666, 625 11.627,875 38, 75 8
XY X Y
r = 0, 71
Como el coeficiente de correlación no es demasiado próximo a 1 existe correlación lineal moderada y como es positivo la correlación es directa, es decir al aumentar una variable aumenta la otra.
b) Para calcular la recta de regresión de y sobre x aplicamos la fórmula:
XY 2 ( ) ( )
x
38, 75 y = x 169, 75 68, 59, 25 169, 75 0, 654·( 68,5) 169, 75 0, 654 44,
0, 654 124,
y x y x
y x y x
y x
− − ⇒ − = −
− = − − = −
= +
c) Sustituimos x por 70 en la recta de regresión
y = 0, 654 70⋅ +124,
y = 45, 78 +124,
y = 170, 73
Cabe esperar un peso de 170,73 Kg.
