Ejercicios de Matemáticas II Hoja 4
1. Hallar los siguientes polinomios de Taylor:
(i) f(x, y) = x3cos xy + 3xy2de grado 3 centrado en (0,0).
(ii) f(x, y, z) = e−x2
−y2
−z2de grado 2 centrado en (0,0).
(iii) f(x, y) = log xy de grado 2 centrado en (1,1).
(iv) f(x, y) = sen xcos y+ cos xsen yde grado 4 centrado en (0,0).
2. Hallar el polinomio de Taylor de grado 100 de la función f(x, y, z) = xy +yz +zx.
3. Determinar los puntos críticos y su naturaleza de las siguientes funciones:
(i) f(x, y) = x2+ (y−1)2(ii) f(x, y) = x2y3(6 −x−y)
(iii) f(x, y) = x2y2(1 −x−y) (iv) f(x, y) = x3+y3+ 3axy
(v) f(x, y) = ex−y(x2−2y2) (vi) f(x, y)=(x2+y2)e−(x2+y2)
(vii) f(x, y) = sen x+ sen y+ cos(x+y) (viii) f(x, y) = x4+y4−2(x−y)2
(ix) f(x, y) = y3+ 3x2y−3x2−3y2+ 2
4. Dada la función f(x, y) = (3−x)(3−y)(x+y−3), representar gráficamente los pun-
tos en los que f(x, y) es, respectivamente, mayor que, menor que o igual a 0 y determinar
sus puntos críticos y su naturaleza.
5. Sea la función f(x, y)=3x4−4x2y+y2. Demostrar que sobre cualquier recta
y=λx la función tiene un mínimo en (0,0), representar gráficamente los puntos en los
que f(x, y) es, respectivamente, mayor que, menor que o igual a 0 y deducir que (0,0)
no es un mínimo relativo de f(x, y).
6. Sea la función f(x, y) = eax+y2+bsen(x2+y2). Determinar los valores de los
parámetros reales a,b∈Rpara que ftenga un extremo relativo en (0,0) y el polinomio
de Taylor de segundo grado de fcentrado en el origen tome el valor 6 en el punto (1,2).
Determinar la naturaleza de (0,0) como extremo de f.