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MATEMÁTICA: ANÁLISIS Y ENFOQUES NIVEL MEDIO
SIMULACRO TIPO IB
PRUEBA 1
APELLIDOS GRADO Y SECCIÓN 5° “ ” NOMBRES ASIGNATURA MAE – NM DOCENTE SUPERVISOR FECHA^04 HORA DE INICIO HORA DE TÉRMINO
INSTRUCCIONES PARA LOS ESTUDIANTES
⮚ La duración de la prueba es de 90 minutos. ⮚ No está permitido el uso de calculadora. ⮚ Está permitido el uso del cuadernillo de fórmulas. ⮚ La información necesaria se encuentra en la prueba. No se permite el uso de ninguna información adicional (fotocopias, lecturas, apuntes, etc.). Su uso INVALIDA LA PRUEBA. ⮚ Utilice bolígrafo de color azul o negro, por ningún motivo se calificará respuestas hechas con lápiz. No usar corrector líquido. ⮚ La puntuación máxima para esta prueba es 80 puntos. ⮚ Las respuestas numéricas deberán ser exactas o aproximadas con tres cifras significativas. ⮚ Se debe visualizar el desarrollo de cada pregunta con letra legible. ⮚ NINGÚN ESTUDIANTE debe abandonar la sala del examen antes del tiempo asignado para la finalización de la prueba.
No se otorgará necesariamente la máxima puntuación a una respuesta correcta que no esté acompañada de un procedimiento. Las respuestas deben estar sustentadas en un procedimiento o en explicaciones. Aun cuando una respuesta sea errónea, podrán otorgarse algunos puntos si el método empleado es correcto, siempre que aparezca por escrito. Por lo tanto, se aconseja mostrar todo el procedimiento seguido.
SECCIÓN A
Conteste todas las preguntas en los espacios provistos. De ser necesario, se puede continuar desarrollando la respuesta en el espacio que queda debajo de las líneas.
1. [Puntuación máxima: 4 puntos] El año pasado, una fábrica de golosinas sudamericana vendió 4,8 × 10^8 caramelos esféricos. Cada caramelo tiene un diámetro de 2,5 cm. La fábrica está elaborando un anuncio donde muestra todos estos caramelos colocados en fila, formando una línea recta.
(a) Halle la longitud en cm, que tiene esta recta. Dé la respuesta en la forma 𝑎 × 10𝑘 , donde 1 ≤ 𝑎 ≤ 10, 𝑘𝜖𝛧 [2]
En el anuncio se afirma que la longitud de esta recta es igual a “n” veces la longitud del río Amazonas. El río Amazonas tiene aproximadamente 6000 km de longitud. (b) Escriba la longitud del rio Amazonas en cm, en la forma 𝑎 × 10𝑘 , donde 1 ≤ 𝑎 ≤ 10, 𝑘𝜖𝛧 [1] (c) Halle el valor de n [1]
Solución: (a) La longitud de la recta se obtiene multiplicando el diámetro de la esfera por la cantidad de caramelos vendidos: Longitud = 2,5 x 4,8 x 10^8 Longitud = 12 x 10^8 Longitud = 1,2 x 10 x 10^8 Longitud = 1,2 x 10^9 cm
(b) Transformamos los 6000 km a cm: 6000 km = 6000 x 100 000 = 600 000 000 = 6 x 10^8 cm
(c) Del enunciado: 1,2 x 10^9 cm = n.6000 km 1,2 x 10^9 = n x 6 x 10^8
n =
1,2 x 10^9 6 x 10^8 n = 0,2 x 10 𝐧 = 𝟐
2. [Puntuación máxima: 5 puntos] En el desarrollo de (x + b)^9 , 𝑏 ∈ 𝑅 donde, el coeficiente del término en x^7 es 180. Halle los posibles valores de “b”. Solución: Se pide hallar el tercer término. n = 9 k + 1 = 3
y = 1 ∴ P(-1; 1) Aplicamos la ecuación punto pendiente: y – y 1 = mT.(x – x 1 ): y – 1 = -1(x + 1) y – 1 = -x – 1 y = - x – 1 + 1 y = - x ecuación de la recta tangente (iii) Para hallar la pendiente de la recta normal aplicamos la fórmula: mT.mN = - -1.mN = - mN = 1 Aplicamos la ecuación punto pendiente: y – y 1 = mN.(x – x 1 ): y – 1 = 1(x – (-1)) y – 1 = x + 1 y = x + 1 + 1 y = x + 2 ecuación de la recta normal (b) Para hallar la ecuación de la recta normal en el punto A(1; -1), hallamos primero la pendiente de la recta tangente: mT = f’(1) mT = 8(1)^3 – 8(1) – 1 mT = 8 – 8 – 1 mT = - Ahora la pendiente de la recta normal: mT.mN = - -1.mN = - mN = 1 Aplicamos la ecuación punto pendiente: y – y 1 = mN.(x – x 1 ): y – (-1) = 1(x – 1) y + 1 = x – 1 y = x – 1 – 1 y = x – 2 ecuación de la recta normal
4. [Puntuación máxima: 7 puntos] 𝑆𝑒𝑎: 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔 3 𝑝 donde 𝑝 > 0_. Escriba cada una de las siguientes expresiones en función de_ 𝑎. a) 𝑙𝑜𝑔 3 𝑝^5 [2] b) 𝑙𝑜𝑔 3 27𝑝 [3] c) 𝑙𝑜𝑔 (^3) 𝑝^9 [3]
Solución: (a) Log 3 p^5 = 5.Log 3 p = 5a (b) Log 3 27p = Log 3 27 + Log 3 p = Log 3 33 + a = 3 + a (c) log (^3) p^9 = Log 39 − Log 3 p = Log 332 − a = 𝟐 − 𝐚
5. [Puntuación máxima: 6 puntos] De acuerdo a la gráfica de la función f.
a) Calcular el valor de a + b + c. [3] b) Completando cuadrados, calcule el valor 𝑥 para el cual la función tenga un valor mínimo [3]
Solución: (a) Expresamos la función f(x) en su forma factorizada: f(x) = x^2 + 2x – 3 f(x) = (x + 3)(x – 1) f(x) = (x – (-3))(x – 1) Comparamos con la forma general factorizada: f(x) = (x – a)(x – b) a = - b = 1 De la función f(x) = x^2 + 2x – 3, se tiene que la curva corta al eje Y en -3, luego: c = - Calculamos la suma de a, b y c: a + b + c = -3 + 1 + - a + b + c = -
(b) Expresamos la función f(x) en la forma canónica: f(x) = x^2 + 2x – 3 Completamos cuadrados: f(x) = x^2 + 2x + 1 – 1 – 3 f(x) = (x + 1)^2 – 4 f(x) = (x – (-1))^2 + (-4) Comparamos con la forma general canónica: f(x) = (x – h)^2 + k h = -1 y k = - Luego el vértice que en este caso es un punto mínimo es V(-1; -4) La abscisa del vértice es el valor buscado x = -
6. [Puntuación máxima: 9 puntos] A continuación, se muestra parte de la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥^3 − 6𝑥^2
El punto P pertenece a la gráfica de f. En P, x= (a) Halle 𝑓´(𝑥). [2] (b) En el punto P, la pendiente de la gráfica de f es igual a 3. Halle el valor de a. [3] (c) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la función en el punto P. [4]
Solución: (a) Hallamos la derivada de la función f(x): f’(x) = 3ax^2 – 12x
(b) Hallamos la pendiente de la recta tangente en el punto P de abscisa x = 1:
SECCIÓN B
Conteste todas las preguntas en los espacios provistos. De ser necesario, se puede continuar desarrollando la respuesta en el espacio que queda debajo de las líneas.
1. [Puntuación máxima: 14 puntos] Una compañía de mantenimiento contrató a 80 operarios para un concierto. La siguiente curva de frecuencias acumuladas muestra el número de horas que trabajaron estos operarios durante el concierto.
(a) Escriba la mediana del número de horas que trabajaron los operarios. [1] La siguiente tabla de frecuencias, también nos brinda el número de horas trabajadas. Número de horas trabajadas^20 <^ 𝑥^ ≤^30
Frecuencia m 25 n 10 (b) (i) Escriba el valor de “m”. [1] (ii) Halle el valor de “n”. [2]
La compañía de mantenimiento pagó a cada operario 20 soles por hora para las 40 primeras horas trabajadas y 30 soles por hora por cada hora trabajada después de esas primeras 40 horas. (c) (i) Halle cuánto ganó un operario que trabajó 40 horas. [1] (ii) Halle cuánto ganó un operario que trabajó 45 horas. [2] (d) Halle el número de operarios que ganaron 300 soles o menos. [3]
(e) Solo hubo 5 operarios que ganaran más de soles. Halle el valor de k. [4]
Solución: (a) Para hallar la mediana buscamos en el eje Y el punto medio, este es 40. Desde 40 se traza una línea paralela al eje X hasta corta la curva. Desde el punto de corte en la curva se traza una línea perpendicular al eje X. La línea perpendicular corta al eje X en 30, luego 30 es la mediana. Me = 30 horas
(b) (i) El valor de la frecuencia m pertenece al intervalo. Al valor 0 le corresponde el valor 0 del eje Y, al valor 20 le corresponde el valor 15 del eje Y. Para halla el valor de m, restamos 15 y 0: m = 15 – 0 m = 15 horas
(ii) Del mismo modo: El valor de la frecuencia n pertenece al intervalo. Al valor 30 le corresponde el valor 40 del eje Y, al valor 45 le corresponde el valor 70 del eje Y. Para halla el valor de n, restamos 70 y 40: n = 70 – 40 n = 30 horas
(c) (i) Un operario que trabajó 40 horas gana: 20 x 40 = 800 soles (ii) Un operario que trabajo 45 horas gana: 20 x 40 + 30 x 5 = 800 + 150 = 950 soles
(d) 300 soles o menos. (y horas) x 20 = 300 soles y horas = 300/ y = 15 horas A 15 horas le corresponde 10 operarios
(e) 5 operarios > k soles. Se observa de 75 a 80 operarios, donde el mínimo es 52 horas. 52 horas = 40 horas + 12 horas = 20 x 40 + 30 x 12 = 800 + 360 = 1160 soles
2. [Puntuación máxima: 12 puntos]
Sea 𝑓(𝑥) = (^) 𝑥+16𝑥 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ − (a) Determine la ecuación de la asíntota vertical y horizontal de la gráfica de f. [2]
(b) Se muestra parte de la gráfica de la función f. Encuentre las coordenadas del punto M. [2]
f(x) =
6x x + 1 f′(x) =
(x + 1)(6x)′^ − (x + 1)′(6x) (x + 1)^2 f′(x) =
(x + 1)(6) − (1)(6x) (x + 1)^2 f′(x) =
(x + 1)(6) − (1)(6x) (x + 1)^2 f′(x) =
6x + 6 − 6x (x + 1)^2 𝐟′(𝐱) =
(d) Hallamos la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto M(2; 4):
mT = f′(2) =
(2 + 1)^2
mT =
mT = 2/ Hallamos la ecuación de la recta tangente: y – 4 = 2/3(x – 2) y = 2/3x – 4/3+ 4 y = 2/3x + 8/
(e) Hallamos la derivada de la función g(x):
g′(x) =
6x x + 1
6x x + 1
g′(x) =
x + 1 6x.^
(x + 1)^2 𝐠′(𝐱) =
3. [Puntuación máxima: 14 puntos]
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥^2 − 𝑥 , para x ∈ R. La siguiente figura muestra una parte del gráfico de f.
El gráfico de f corta al eje x en el origen y en el punto P (1; 0). (a) Muestre que f ′(1) = 1. [3] La recta L es la normal al gráfico de f en P. (b) Halle la ecuación de L en la forma y = ax + b [3]
La recta L corta al gráfico de f en otro punto Q, tal y como se muestra en la siguiente figura.
(c) Halle la coordenada x de Q. [4]
(d) Hallar la ecuación de la recta tangente que pasa por Q. [4] Solución: (a) Hallamos la derivada de la función f(x): f’(x) = 2x – 1 Evaluamos x = 1 f’(1) = 2(1) – 1 f’(1) = 2 – 1 f’(1) = 1 lqqd
(b) La pendiente de la recta tangente es: mT = f’(1) = 1 Hallamos la pendiente de la recta normal en el punto P: mT.mN = - 1.mN = - mN = - Hallamos la ecuación de la recta normal en el punto P: y – 0 = -1(x – 1) y = -x + 1
(c) El punto Q pertenece a la parábola y a la recta normal: -x + 1 = x^2 – x 1 = x^2 – x + x x^2 = 1 x = 1 ó x = -
(d) Hallamos la pendiente de la recta tangente en el punto Q. mT = f’(-1) = 2(-1) – 1 mT = -2 – 1 mT = - y = (-1)^2 – (-1) y = 1 + 1 y = 2 Q(-1; 2) Hallamos la ecuación de la recta tangente: y – 2= -3(x + 1) y = -3x – 3 + 2 y = -3x – 1
