¡Descarga Ejercicios de Modelos Matemáticos: Algebra Lineal - Prof. Moreno y más Ejercicios en PDF de Biología solo en Docsity!
EJERCICIOS DE MODELOS MATEMÁTICOS:
ÁLGEBRA LINEAL
1. EJERCICIO 6:
A = 4 -1 3
La multiplicación de estas matrices da: o un cambio en la posición de las columnas o un cambio en la posición de las filas.
2. EJERCICIO 7:
A = 2 1 5 Av1 = 0 Av2 = 1 Av3 = 0 0 1 1 0 0 1
I = matriz inversa 1 0 1 I = 0 1 0 0 0 1
A (v1 v2 v3) = I - F 0 E 0I = (Av1 Av2 Av3) ¿cómo se calcula la matriz inversa?
Debemos realizar los mismos cambios tanto en nuestra matriz como en la matriz identidad (I) para que nuestra matriz pase a ser la matriz I y el resultado de la matriz original I sea la matriz inversa.
(v1 v2 v3) = A -
Sumando , multiplicando, restando o dividiendo filas o por números….
0 1 0 -1 -1/2 5/2 A -
v1 = -1 v2 = -1/2 v3 = 5/ 1 1/2 -3/
3. EJERCICIO 16:
A = ½ 0 X(n) = A X(n-1) F 0 E 0ecuación del sistema
Para obtener el estado en el año siguiente, se multiplica A por el año anterior. 2 años: en el primer año son jóvenes y en el segundo año son adultos y mueren
X(n) = An^ X(0)
a)
1º año jóvenes adultos X1(n) 1 3/2 X1(n-1) X1(n) = X1(n-1) + 3/2 X2(n-1) X2(n) = ½ 0 X2(n-1) X2(n) = ½ X1(n-1)
ECUACIONES:
X1(n) = 0.3 X1(n-1) + 0.5 X2(n-1) X2(n) = 0.7 X1(n-1) + 0.5 X2(n-1)
Lo que está en A lo que está en B
FORMA MATRICIAL:
X1(n) 0.3 0.5 X1(n-1) X2(n) = 0.7 0.5 X2 (n-1)
4.)b Podemos elegir el número que queramos.
X(0) = 50
X(1) = 0.7 0.5 50 = 60
X(2) = 0.7 0.5 60 = 58
Así podemos seguir hasta el día “n” que queramos, para ver a largo plazo donde se equilibra, debemos encontrar los autovalores y ver el autovalor de mayor valor que es el dominante, para ello debemos hacer el determinante de la matriz, menos landa en la diagonal sacar la ecuación e igualarla a 0 y despejar landa, luego sustituir landa de mayor valor en la matriz y sacaremos los autovectores asociados.
0.3- F 0 6 C 0.
Det 0.7 0.5- F 0 6 C = 0
F 0 6 C^2 – 0.8 F 0 6 C+ 0.15 – 0.35 = 0
F 0 6 C^2 – 0.8 F 0 6 C-0.20 = 0 => despejando landa nos queda que vale: 1 y -0. El 1 es el autovalor dominante, sustituimos 1 en la matriz y nos queda que:
0.3-1 0. 0.7 0.5- Sacamos el vector con las incógnitas V1 y V
-0.7 0.5 V1 0
0.7 -0.5 V2 = 0
realizar la multiplicación y escogemos una sola ecuación
-0.7V1 + 0.5V2 = 0 -7V1 + 5V2 = 0
Una coordenada la llamamos alfa
V1 = F 0 6 1 V1 1 5
V2 = 7/5 F 0 6 1 => V2 = F 0 6 1 7/5 7
Tasa a largo plazo: 5/12 = 0.416 => 41.6% 7/12 = 0.58 = > 58%
4.)c Los 120 individuos a largo plazo sería:
240 de 42/100 = 100.8 estarán en A 240 de 58/100 = 138.2 estarán en B
(se cogen 240 porque hay que sumar el total de aves es decir, 120 de A y 120 de B)
5. EJERCICIO 11:
X1(n) = hembras jóvenes en el año “n” X2(n) = hembras adultas en el año “n”
Diagrama de estado:
Ecuaciones:
X1(n) = 2 X2(n-1) X2(n) = 0.12 X1(n-1) + 0.54 X2(n-1)
Forma matricial:
X1(n) 0 2 X1(n-1) X2(n) = 0.12 0.54 X2(n-1)
Realizar los autovalores y escoger el dominante:
- F 0 6 C 2
Det 0.12 0.54- F 0 6 C = 0 => - F 0 6 C(0.45- F 0 6 C) – 0.24 = 0 en este caso landa vale: 0.83 y -0.
0.1 0.1 0.6- F 0 6 C
- F 0 6 C^3 + 1.9 F 0 6 C^2 – 1.2 F 0 6 C+ 0.261 – 0.007 + 0.01 F 0 6 C- 0.018 + 0.03 F 0 6 C- 0.036 – 0.06 F 0 6 C
= - F 0 6 C^3 + 1.9 F 0 6 C^2 – 1.1 F 0 6 C+ 0.2 = 0
Ver si el “1” es un autovalor, sustituimos landa por el 1
-1 + 1.9 – 1.1 + 0.2 = 0 => 0 = 0
Se comprueba por Ruffini que el uno es una raíz, y nos quedaría el polinomio descompuesto en: ( F 0 6 C- 1) (- F 0 6 C^2 + 0.9 F 0 6 C- 0.2), se sacan las dos otras raíces d la ecuación mediante la resolución de ecuaciones de 2º grado, en este caso las otras soluciones son: 0.4 y 0.5 (1 es el autovalor dominante)
Hay que buscar un autovector asociado F 0 E 0en este caso escogemos dos ecuaciones (multiplicamos a la matriz por 10). (sustituimos landa por 1)
-0.4 0.2 0.1 V
0.3 -0.3 0.3 V2 = 0
0.1 0.1 -0.4 V
-4V1 + 2V2 + V3 = 0
3V1 – 3V2 + 3V3 = 0 F 0 E 0la multiplicamos por 1/
Llamamos a V3 = F 0 7 7, despejamos:
-4V1 + 2V2 = - F 0 7 7 resolvemos => -2V1 = -3 F 0 7 7F 0 E 0V1 = 3/2 F 0 7 7 V1 – V2 = - F 0 7 7 V2 = 3/2 F 0 7 7+ F 0 7 7= 5/2 F 0 7 7
V1 3/
El vector quedaría: V2 = F 0 7 7 5/ V3 1
Si F 0 7 7es “2” el autovector asociado es: ( 3 5 2): quiere decir que hay un 30% de clase baja, un 50% de clase media y un 20% de clase alta.
6. EJERCICIO 20:
Es lo mismo decir FORMULAR UN MODELO que hacer el diagrama de estado y las ecuaciones.
X1(n) = cantidad de contaminante en la laguna 1 en la hora “n” X2(n) = cantidad de contaminante en la laguna 2 en la hora “n” X3(n) = cantidad de contaminante en la alguna 3 en la hora “n”.
Las ecuaciones:
X1(n) = 0.9 x1(n-1) X2(n) = 0.1 x1(n-1) + 0.9 X2(n-1) X3(n) = 0.1 X2(n-1) + 0.9 x3(n-1)
X(n) = 0.1 0.9 0 X(n-1) 0 0.1 0.
c En el instante “0” el contaminante en la laguna 1 es el vector: X(0) = 0 0
Así pues la ecuación que corresponde sería: c X(n) = A X(n-1) + 0 0 Lo que aporta el camión en forma de vector
La situación de equilibrio F 0 E 0el vector de estado siempre es el mismo Un vector de equilibrio, si existe, debe satisfacer : Xe = (v1 v2 v3) c Sistema de ecuacione slineales: X (^) e = A X (^) e + 0 0
c c Xe - A X (^) e = 0 I X (^) e - A X (^) e = 0 c 0 0 (I – A) X (^) e = 0 0
0.1 0 0 v1 c 0.1 v1 = c v1 = 10 c -0.1 0.1 0 v2 = 0 -0.1 v1 + 0.1 v2 = 0 v2 = 10 c 0 -0.1 0.1 v3 0 -0.1 v2 + 0.1 v3 = 0 v3 = 10 c
