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EJERCICIOS DE MODELOS MATEMÁTICOS:
CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES Y OPTIMIZACIÓN
1. EJERCICIO 6:
A = 2000 cm 3 Hay una restricción xyz = 2000
z
x
y
planteamiento: F (x,y,z) = xy + 3xy + 2yz + 2xz = 4xy + 2yz + 2xz Tenemos que minimizar esta función coste. G(x,y,z) = 2xy + yz + xz Resolución: Despejamos una variable, en este caso “z”; z = 2000/xy H(x,y) = 2xy + y (2000/xy) + x (2000/xy) H(x,y) = 2xy + 2000 /x + 2000 / y dividimos netre dos y queda: h(x,y) = xy + 1000/x + 1000/y
F 0 D 1h(x,y) = ((y + 1000/x 2 )(x – 1000/y 2 )) = (0,0) X^2 y = 1000 Xy^2 = 1000 F 0 E 0 x = 10 y = 10 Derivada parcial segunda:
A = 2000x-3^ -------x=10 ----- F 0 E 0 2 B = 1 C = 2000y-3^ ------y=10 --- F 0 E 0 2 D = 1-4 = -3 -------------------------- F 0 E 0D (-) y A (+) es un mínimo el punto (10,10)
2. EJERCICIO 10:
xyz = 1 (#) A (x,y,z) = 2xy + 2xz + 2yz
z x hay que minimizar la función A pero teniendo en cuenta la restricción (#) y
z = 1/xy A (x,y,z) = 2xy + 2/y + 2/x = F (x,y) = xy + 1/y + 1/x calculamos el gradiente e igualamos a “0” y resolvemos las ecuaciones:
F 0 6 4F/ F 0 6 4x (x,y) = y – 1/x 2 = 0 F 0 6 4F/ F 0 6 4y (x,y) = y – 1/y 2 = 0 F 0 E 0x= 1 y = 1 z = 1
¿el punto (1,1,1) es un máximo, un mínimo o no es nada? Hay que hacer las segundas derivadas parciales en (1,1).
A = 2/x 3 = - F 0 E 0en (1,1) = 2 B = en (1,1) es = 1 C = 2 D = -1 – 4 = -3 < 0
3. EJERCICIO 11:
4x + 4y + 4z = 1 V(x,y,z) = xyz y z z = 1/4 - x - y F(x,y) = xy (1/4 – x – y) = xy/4 –x^2 y – xy 2 X
x/4 – 2xy – x^2 = 0 x/4 – y/4 – x 2 + y 2 = 0 y/4 – 2xy – y^2 = 0 ¼(x-y) = x 2 – y 2 -> ¼ (x-y) = (x+y)(x-y).
debemos contemplar dos caminos:
- Camino 1: que x-y sea distinto de 0 nos lleva a que z = 0 porque:
¼ = x + y si x + y es igual a ¼ quiere decir que x + y + z = ¼ ya la z = 0 y no es posible porque no daría volumen máximo con lo cual no podemos tachar (x-y).
- Camino 2: que x-y = 0 en ese caso x = y sustituimos “x” en el sistema y nos queda: x/4 – 2x^2 – x 2 = 0 F 0 E 0x = 1/12 y = 1/12 z = 1/12.
4. EJERCICIO 8:
r p = profundidad A = área circular A (1 + p^2 ) p a) F (r,p) = F 0 7 0r^2 (1 + p 2 ) F 0 7 0r^2 p = 1 m 3 area altura de la base
z = S/y – x F 0 E 0 g(x,y) = x + 2 F 0 D 6(y 2 +(S/y – x) 2 ) L z ahora escogemos como variables: x, z y F 0 6 1que es el ángulo. F 0 6 1 y
tg F 0 6 1= z/y => z = y tg F 0 6 1 restricción: S = xy + y (y tg F 0 6 1) = xy + y^2 tg F 0 6 1
cos F 0 6 1= y/L => L = y/cos F 0 6 1 función de coste: F(x,y, F 0 6 1) = x + 2 y/cos F 0 6 1
resolvemos: S – y^2 tg F 0 6 1= xy => x = (S-y 2 tg F 0 6 1)/y = S/y – y tg F 0 6 1
g(x, F 0 6 1) = S/y – y tg F 0 6 1+ 2 y/cos F 0 6 1 F 0 E 0aquí se haría las derivadas parciales y se despejarían igualándolas a “0”, sacaríamos el punto y miraríamos si es máximo o mínimo.
