¡Descarga Integración por Partes: Ejercicios Resueltos y Explicaciones y más Ejercicios en PDF de Cálculo diferencial y integral solo en Docsity!
ln (
4
4
ln (
4
3
ln (
4
4
𝑥
4
4
(ln (
𝑥
4
1
4
( 3 x
2
3 −𝑥
3 −𝑥
( 3 x
2
3 −𝑥
) − [( 6 𝑥)(𝑒
3 −𝑥
3 −𝑥
) 6 𝑑𝑥]
( 3 x
2
3 −𝑥
) − [( 6 𝑥)(𝑒
3 −𝑥
3 −𝑥
)𝑑𝑥]
3 x
2
3 −𝑥
[(
3 −𝑥
3 −𝑥
)]
3 x
2
3 −𝑥
[(
3 −𝑥
3 −𝑥
]
3 −𝑥
− 3 x
2
3 −𝑥
− 3 x
2
𝑚
2
2
𝑚
𝑚
2
𝑚
− [( 2 𝑚 + 2 )𝑒
𝑚
𝑚
) 2 𝑑𝑚]
2
𝑚
[(
2 𝑚 + 2
𝑒
𝑚
𝑚
]
𝑚
[(
2
2 𝑚 + 2
]
𝑚
[
2
]
𝑚
[
2
]
ln
2
𝑥
2
2
𝑥
2
2
2 ln(𝑥)
𝑥
ln
2
2
− ∫ 𝑥 ln
𝑥
ln
2
2
− [(ln(𝑥)) (
𝒙
𝟐
𝟐
𝒙
𝟐
𝟐
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 ] + 𝐶
2
ln
2
− [(ln(𝑥)) (
𝒙
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝒙
𝟐
𝟐
] + 𝐶
2
[ln
2
𝑥 − (ln(𝑥)) −
𝟏
𝟐
] + 𝐶
𝒖 = ln (
3
4
𝒖 = 3 x
2
3 −𝑥
3 −𝑥
𝟐
2
𝟐
3 −𝑥
𝟐
3 −𝑥
∫ 𝑢𝑑𝑢 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
𝒖 = m
2
𝑑𝑢
𝑑𝑚
= 2 𝑚 + 2 → 𝒅𝒖 = ( 2 𝑚 + 2 )𝑑𝑚
𝑚
𝑑𝑚
𝑚
𝒖
𝟐
= 2 𝑚 + 2
𝑑𝑢
2
𝑑𝑚
= 2 → 𝒅𝒖
𝟐
= 2 𝑑𝑚
𝑚
𝑑𝑚
𝒗
𝟐
𝑚
∫ 𝑢𝑑𝑢 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
𝒖 = (ln(𝑥))
2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2 (ln
( 𝑥
) ) ∗
1
𝑥
→ 𝒅𝒖 =
2 ln
( 𝑥
)
𝑥
𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑥𝑑𝑥
𝒗 =
𝑥
2
2
𝟐
= ln (𝑥)
𝑑𝑢
2
𝑑𝑥
=
1
𝑥
→ 𝒅𝒖
𝟐
=
1
𝑥
𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑥𝑑𝑥
𝒗 =
𝒙
𝟐
𝟐
ln(𝑡) ∗
𝑡
2
2
𝑡
2
2
𝑑𝑡
𝑡
ln(𝑡) ∗
𝑡
2
2
ln
𝑡
2
2
𝑡
2
2
𝑡
2
2
[ln (𝑡) −
1
2
] + 𝐶
ln
− 1
− 1
−𝑡
− 1
ln(𝑡) + ∫ 𝑡
− 2
−𝑡
− 1
ln(𝑡) + (−𝑡
− 1
ln (𝑡)
𝑡
1
𝑡
( 1 − 𝑥
) 𝑒
𝑥
− ∫ −𝑒
𝑥
𝑑𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
5 [ln ( 5 𝑡) ∗
𝑡
2
2
𝑡
2
2
]
5 [
𝑡
2
2
ln ( 5 𝑡) −
∫ 𝑡𝑑𝑡]
5 [
𝑡
2
2
ln ( 5 𝑡) −
𝑡
2
2
] + 𝐶
5 𝑡
2
2
ln( 5 𝑡) −
𝑡
2
2
5
2
𝑡
2
(ln
5 𝑡
−
1
2
ln(𝑥 + 1 ) 𝑥 − ∫ 𝑥
ln(𝑥 + 1 ) 𝑥 − ∫ 𝑥(𝑥 + 1 )
− 1
ln
𝑥 − [𝑥 ln
𝑥 + 1
− ∫ ln
𝑥 + 1
𝑑𝑥]
ln
[
𝑥 ln
𝑥 + 1
−
𝑥 + 1
ln (𝑥 + 1 )
]
ln
𝑥 − ln
𝑥 + 1
𝑥 +
𝑥 + 1
ln
𝑥 + 1
∫ 𝑢𝑑𝑢 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
𝒖 = ln(𝑡)
𝑑𝑢
𝑑𝑡
=
1
𝑡
→ 𝒅𝒖 =
𝑑𝑡
𝑡
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑡𝑑𝑡
𝒗 =
𝑡
2
2
∫ 𝑢𝑑𝑢 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
𝒖 = ln(𝑡)
𝑑𝑢
𝑑𝑡
=
1
𝑡
→ 𝒅𝒖 =
𝑑𝑡
𝑡
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑡
− 2
𝑑𝑡
𝒗 = −𝑡
− 1
∫ 𝑢𝑑𝑢 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
𝒖 = 1 − 𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= − 1 → 𝒅𝒖 = −𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒
𝑥
𝑑𝑥
𝒗 = 𝑒
𝑥
∫ 𝑢𝑑𝑢 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
𝒖 = ln
( 5 𝑡
)
𝑑𝑢
𝑑𝑡
=
5
5 𝑡
→ 𝒅𝒖 =
𝑑𝑡
𝑡
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑡𝑑𝑡
𝒗 =
𝑡
2
2
𝒖 = ln(𝑥 + 1 )
𝑢
2
= 𝑥
𝑑𝑢
2
= 𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑣 = ∫(𝑥 + 1 )
− 1
𝑑𝑥
𝑣
2
= ln (𝑥 + 1 )
𝑢 = 𝑥 + 1
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
∫ ln(𝑢) 𝑑𝑢
𝑢𝑙𝑛
( 𝑢
)
( 𝑥 + 1
) ln (𝑥 + 1 )
SUSTITUCIÓN
→ ∫
𝒙−𝟏
𝒙(𝒙−𝟐)(𝒙+𝟏)
𝒅𝒙 =
𝐴
𝑥
𝐵
𝑥− 2
𝐶
𝑥+ 1
𝑥 − 1 = 𝐴(𝑥 − 2 )(𝑥 + 1 ) + 𝐵𝑥(𝑥 + 1 ) + 𝐶𝑥(𝑥 − 2 ) → 𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝑰𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅
1
2
1
6
2
3
𝐴
𝑥
𝐵
𝑥− 2
𝐶
𝑥+ 1
1
2
𝑥
1
6
𝑥− 2
2
3
𝑥+ 1
1
2
− 1
1
6
− 1
2
3
− 1
ln
1
2
1
6
− ln
2
3
1
2
1
6
2
3
𝒅𝒙
𝒙
𝟐
−𝒂
𝟐
1
(𝑥−𝑎)(𝑥+𝑎)
𝐴
𝑥−𝑎
𝐵
𝑥+𝑎
→ 𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝑰𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅
1
2 𝑎
1
2 𝑎
𝐴
𝑥−𝑎
𝐵
𝑥+𝑎
1
2 𝑎
𝑥−𝑎
1
2 𝑎
𝑥+𝑎
1
2 𝑎
− 1
1
2 𝑎
− 1
1
2 𝑎
1
2 𝑎
1
2 𝑎
− 𝑙𝑛
1
2 𝑎
1
2 𝑎
1
2 𝑎
𝒅𝒎
𝒎
𝟐
−𝟐𝟓
𝟐
1
(𝑚− 5 )(𝑚+ 5 )
𝐴
𝑚− 5
𝐵
𝑚+ 5
1 = 𝐴(𝑚 + 5 ) + 𝐵(𝑚 − 5 ) → 𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝑰𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅
1
10
∫
𝐴
𝑚− 5
𝐵
𝑚+ 5
𝑑𝑚 = ∫
1
10
𝑚− 5
𝑑𝑚 − ∫
1
10
𝑚+ 5
𝑑𝑚 =
1
10
∫
(𝑚 − 5 )
− 1
𝑑𝑚 +
1
10
∫
(𝑚 + 5 )
− 1
𝑑𝑚 =
1
10
𝑙𝑛(𝑚 − 5 ) −
1
10
𝑙𝑛(𝑚 + 5 ) + 𝐶
1
10 − 𝑙𝑛(𝑚 + 5 )
1
10
1
10
1
10
𝟒𝒙−𝟐
𝒙
𝟑
−𝒙
𝟐
−𝟐𝒙
4 𝑥− 2
𝑥(𝑥− 2 )(𝑥+ 1 )
𝐴
𝑥
𝐵
𝑥− 2
𝐶
𝑥+ 1
4 𝑥 − 2 = 𝐴(𝑥 − 2 )(𝑥 + 1 ) + 𝐵𝑥(𝑥 + 1 ) + 𝐶𝑥(𝑥 − 2 ) → 𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝑰𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅
𝐴
𝑥
𝐵
𝑥− 2
𝐶
𝑥+ 1
1
𝑥
1
𝑥− 2
2
𝑥+ 1
− 1
− 1
− 1
𝑙𝑛(𝑥) + 𝑙𝑛(𝑥 − 2 ) − 2 ln(𝑥 + 1 ) + 𝐶 → 𝑙𝑛𝑥 + ln (𝑥 − 2 ) − ln(𝑥 + 1 )
2
2
𝒙 = 𝟎
𝑥 − 2 = 0
𝒙 = 𝟐
𝑥 + 1 = 0
𝒙 = −𝟏
𝑥 + 𝑎 = 0
𝒙 = −𝒂
𝑥 − 𝑎 = 0
𝒙 = 𝒂
𝑚 + 5 = 0
𝒙 = −𝟓
𝑚 − 5 = 0
𝒙 = −𝟓
𝒙 = 𝟎
𝑥 − 2 = 0
𝒙 = 𝟐
𝑥 + 1 = 0
𝒙 = −𝟏
𝟔𝒉
𝟐
−𝟐𝒉−𝟏
𝟒𝒉
𝟑
−𝒉
6 ℎ
2
−2ℎ− 1
ℎ(2ℎ+ 1 )(2ℎ− 1 )
𝐴
ℎ
𝐵
2ℎ+ 1
𝐶
2ℎ− 1
2
− 2ℎ − 1 = 𝐴(2ℎ + 1 )(2ℎ − 1 ) + 𝐵ℎ(2ℎ − 1 ) + 𝐶ℎ(2ℎ + 1 ) → 𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝑰𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
𝐴
ℎ
𝐵
2ℎ+ 1
𝐶
2ℎ− 1
1
ℎ
3
2
2ℎ+ 1
1
2
2ℎ− 1
− 1
3
2
− 1
1
2
− 1
− 1
3
2
− 1
𝑑𝑢
2
1
2
− 1
𝑑𝑢
2
− 1
3
4
− 1
1
4
− 1
ln(ℎ) +
3
4
ln(2ℎ + 1 ) −
1
4
ln(2ℎ − 1 ) + C → ln(ℎ) + ln(2ℎ + 1 )
3
4 − ln(2ℎ − 1 )
1
4
ℎ(2ℎ+ 1 )
3
4
(2ℎ− 1 )
1
4
𝒅𝒉
𝒙
( 𝟑−𝒙
)
𝐴
𝑥
𝐵
3 −𝑥
= 𝟏 = 𝑨(𝟑 − 𝒙) + 𝑩(𝒙) → 𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝑰𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅
1
3
1
3
∫
𝐴
𝑥
𝐵
3 − 𝑥
𝑑𝑥 → ∫
1
3
𝑥
𝑑𝑥 + ∫
1
3
3 − 𝑥
𝑑𝑥 =
1
3
∫ 𝑥
− 1
𝑑𝑥 +
1
3
∫
( 3 − 𝑥
)
− 1
𝑑𝑥 =
1
3
ln 𝑥 −
1
3
ln 𝑢 + 𝐶 =
1
3
𝑙𝑛𝑥 −
1
3
ln
( 3 − 𝑥
)
1
3
− ln
1
3
𝑥
1
3
( 3 −𝑥
)
1
3
𝟓𝒙−𝟐
𝒙
𝟐
−𝟒
5 𝑥− 2
(𝑥+ 2 )(𝑥− 4 )
=
𝐴
𝑥+ 2
𝐵
𝑥− 2
5 𝑥 − 2 = 𝐴(𝑥 − 2 ) + 𝐵(𝑥 + 2 ) → 𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝑰𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅
𝐴
𝑥+ 2
𝐵
𝑥− 2
d𝑥 = ∫
3
𝑥+ 2
2
𝑥− 2
d𝑥 = 3 ∫
− 1
− 1
3
2
(𝑥+ 2 )
3
( 𝑥− 2
)
2
𝟕𝒙−𝟑
𝒙
𝟐
+𝟑𝒙−𝟒
7 𝑥− 3
(𝑥+ 4 )(𝑥− 1 )
𝐴
𝑥+ 4
𝐵
𝑥− 1
7 𝑥 − 3 = 𝐴
( 𝑥 − 1
)
( 𝑥 + 4
) → 𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝑰𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅
7 (− 4 ) − 3 = 𝐴(− 4 − 1 ) + 𝐵(− 4 + 4 ) → 𝐴 = 6 , 2
7 ( 4 ) − 3 = 𝐴( 1 − 1 ) + 𝐵( 1 + 4 ) → 𝐵 = 0 , 8
∫
𝐴
𝑥+ 4
𝐵
𝑥− 1
𝑑𝑥 = ∫
6 , 2
𝑥+ 4
𝑑𝑥 + ∫
0 , 8
𝑥− 1
𝑑𝑥 = 6 , 2 ∫
(𝑥 + 4 )
− 1
𝑑𝑥 + 0 , 8 ∫
(𝑥 − 1 )
− 1
𝑑𝑥 = 6 , 2 𝑙𝑛(𝑥 + 4 ) + 0 , 8 𝑙𝑛(𝑥 − 1 ) + 𝐶
𝑙𝑛(𝑥 + 4 )
6 , 2
0 , 8
6 , 2
(𝑥 − 1 )
0 , 8
→ ∫
𝟓𝒙+𝟕
𝟗𝒙
𝟐
−𝟒𝒙−𝟓
𝒅𝒙 =
5 𝑥+ 7
( 9 𝑥− 5 )(𝑥+ 1 )
=
𝐴
9 𝑥− 5
𝐵
𝑥+ 1
5 𝑥 + 7 = 𝐴(𝑥 + 1 ) + 𝐵( 9 𝑥 − 5 ) → 𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝑰𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅
5 (
5
9
) + 7 = 𝐴 (
5
9
5
9
) − 5 ) → 𝐴 =
44
7
5 (− 1 ) + 7 = 𝐴(− 1 + 1 ) + 𝐵( 9 (− 1 ) − 5 ) → 𝐵 = −
1
7
𝒉 = 𝟎
2ℎ − 1 = 0
𝒉 =
𝟏
𝟐
2ℎ + 1 = 0
𝒉 = −
𝟏
𝟐
𝒖 = 2ℎ + 1
𝑑𝑢
𝑑ℎ
= 2 ;
𝑑𝑢
2
= 𝒅𝒉
𝒖 = 2ℎ − 1
𝑑𝑢
𝑑ℎ
= 2 ;
𝑑𝑢
2
= 𝒅𝒉
SUSTITUCIÓN
𝒙 = 𝟎
3 − 𝑥 = 0
−𝑥 = − 3
𝒙 = 𝟑
𝑢 = 3 − 𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= − 1
−𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑥 + 2 = 0
𝒙 = −𝟐
𝑥 − 2 = 0
𝒙 = 𝟐
𝑥 + 4 = 0
𝒙 = −𝟒
𝑥 − 1 = 0
𝒙 = 𝟏
𝑥 + 1 = 0
𝒙 = −𝟏
9 𝑥 − 5 = 0
𝒙 =
𝟓
𝟗
5000 ln(𝑥 + 20 )
2
5000 ∫ ln
− 2
5000 [ln(𝑥 + 20 ) ∗ (−
)𝑑𝑥]
5000 [−
ln(𝑥 + 20 )
2
𝑑𝑥]
5000 [−
ln(𝑥 + 20 )
− 2
𝑑𝑥]
5000 [−
ln
] + 2000 → 𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐
− 0. 4 𝑡
0
1
− 0. 4 𝑡
− 0. 4 𝑡
5
2
− 0 , 4 𝑡
5
2
− 0 , 4 𝑡
5
2
− 0. 4 𝑡
5
2
− 0 , 4 𝑡
5
2
− 0. 4 𝑡
5
2
5
2
− 0 , 4 𝑡
5
2
− 0 , 4 𝑡
5
2
1
2 𝑒
- 4 𝑡
5
2
1
2 𝑒
- 4 ( 4 )
5
2
1
2 𝑒
- 4 ( 0 )
5
2
5
4
Este trabajo pertenece a: Laura Sofía Lobato Rojas- 2020124033
𝑑𝑢
𝑑𝑡
− 0 , 4 𝑡
− 0. 4 𝑡
𝑒
− 0. 4 𝑡
− 0. 4
5
2
− 0 , 4 𝑡
𝒖 = ln
− 2
− 2
