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Universidad Maimónides
Ciencias Biológicas
Guía de TP
Análisis Matemático
Profesora: Cristina Elena Sedeño
Farmacéutica
Lic. En Química
Esta guía se completa con ejercitación extraída de los textos:
- “Elementos de cálculo diferencial e integral” Sadosky y Guber
- “Cálculo I” Larson
- “Análisis Matemático I” García Venturini Textos que Ud puede hallar en Biblioteca de la Universidad
- Unidad 1 Funciones ( teoría será dictada
en clase, material : Capítulo 2 “Análisis
Matemático I” García Venturini)
Valor numérico de una función
- Dadas las funciones f(x) = 8 : ( 4 + x 2 ) g(x) = 21-x h(x) = xx Calcular: a) f(0) ; b) f(-1) ; c) g(1/2) ; d) g(-1/2); e) h(1); f) h(-2) ; g) h(3/2)
Rtas: a) 2 b) 8/5 c) d) 2 e) 1 f) ¼ g) 3/
2)Dada f(x) = x^2 hallar a) f(1) b) f (1,5) c) f( -3) d) ( ) e) f ( 1/3)
Rtas : a) 1 b) 2.25 c) 9 d) 2 e) 1/
- Dada g(x) = Hallar a) g(2) b) g(-3/2) c) g( ) d) g( 0.005)
Rtas: a) ½ b) -2/3 c) d) 200
- Hallar el valor de cada función en los puntos indicados
a. f(x) = 3x^2 y - 3xy 2 + 5 y 2 para x = 8 y = 6 Rta : 1368 b. f(x) = ( x + y )^3 – ( x – y ) 3 + x 3 – y^3 para x = 6 y = 3 Rta: 891
c. ½ [ - ] Par x = 5 y = -1 Rta: -5/
Funciones lineales
- Graficar las siguientes funciones lineales, indicando D , I , pendiente m y ordenada al origen b
a) R1 : y = 2x – 3 b) R2 : y = -3x + 1 c) R3 : y = 1/4x – 2 d) R4 : y = 4 e) R5 x= - f) R6 y = -2x - g) R7 y = 8x h)R8 y = 3(x-1)
- Hallar la ecuación de la recta, dados m y un punto perteneciente a ella
a) m = 3 y A ≡ ( 4 ; -1 ) Rta: y = 3x - 10 b) m = -2 y B ≡ ( -1 ; 3 ) Rta: y = -2x + c) m = -1/2 y P ( ¼ ; -3/4) Rta: y = -1/2x – 5/ d) m = 2 y M ( 2; 3 ) Rta : y = 2x – 1 e) m = ½ y R ( 1 ; 0) Rta: y = ½ x – 1/
- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos:
a) A ≡ ( 2 ; 3) y B ≡ ( -1 ; 5 ) b) C ≡ ( 1 ; -2 ) y D ≡ ( 0 ; 3) c) P (4 ; 1 ) y Q ( 6 ; -2) d) R (-3; 1) y S ( 0 ; 1) e) M ( -2; 2) y N (2 ; 3) f) E ( -1 ; 2) y F (4 ; 1)
Rtas: a) y = -2/3 x + 13/3 b) y = -5x + 3 c) y = -3/2x + 7 d) y = 1 e) y = 1/4x + 5/2 f) y = -1/5 x + 9/
Rta : a) -1/2 b) -2/3 c) ( 2a –1) /( 4 a^2 +2 ) d) ( x 2 –x3) / (1 +2x^2 ) e)( x +h –1)/[(x+h)^2 +2]
- Si f (x) = 2x^ demostrar que :
a. f ( x + 3 ) - f ( x – 1) = 15/2 f (x) b. = f(4)
17)Si f(x) = loga 1/x demostrar que
a. f ( a^3 ) = - b. f ( a -1/z) = 1/z
- Si
a) hallar f(0), f(1) , f(-2) Rta: f(0) = -1 f(1) = 0 f( -2) = 3 b) Probar que f(1/x) = -f(x)
- Si
F(x) = x^2 – x
Demostrar que f (x+1) = f (-x)
Funciones cuadráticas
- A. Grafique las siguientes funciones cuadráticas y hallar las coordenadas del vértice de la parábola que representan.
B. Indique dominio e imagen en cada caso.
Rta: Dominio = R para todas ellas Coor vért a) (0,0) b) (0,-1) c) (1,0) d) (0,0) e) (0,0) f) (1,3) g) (-2,1) h) (1,4) Imagen a) (0; +∞) b) ( -1; +∞) c) (0; +∞) d) (-∞,0) e) (0; +∞) f) (3; +∞) g) (1; +∞) h) (-∞, 4)
- Calcular las raíces de las siguientes ecuaciones de 2º grado:
a ) 9 X 2 - 25 = 0 b ) 25 X^2 - 9 = 0 c ) 49 - X 2 = 0 d ) 121 - X^2 = 0
e ) ( X - 1 )^2 = 4 f ) ( X + 1 )^2 = 9 g ) 4 ( X + 3 )^2 = 25 h ) 9 ( X – 5 )^2 = 49
i ) X 2 + 4 X - 5 = 0 j ) X^2 - 2 X + 1 = 0 k ) X 2 - 4 X + 13 = 0
Rtas : a ) +/- 5/3 b ) +/- 3/5 c ) +/- 7 d ) +/- 11 e ) 3 ; - 1
f ) 2 ; - 4 g )- ½ ; - 11/2 h )8/3 ; 22/3 i )1 ; -5 j ) 1 ; 1 k )2 +/- 3 i
4
- Graficar las siguientes funciones cuadráticas. Indicar para cada una: Ordenada al origen, raíces, coordenadas del vértice , Dominio e Imagen
a) y = x^2 b) y = 2 x^2 c) y = -2 x 2
d) y = x^2 + 3 e) y = x 2 -1 f ) y = x 2 + 2x -
g) y = 2 x^2 - 3x
- Representar Gráficamente las siguientes Funciones Cuadráticas :
a ) y = 2 X^2 - 5 X - 12 b ) X 2 + 4 X = y - 3 c ) y = X 2 - 14 X + 49
d ) X^2 + y = 2 X – 1 e ) X^2 - 2 X + 2 = y f ) X 2 - 4 X + 5 = y
- Determinar el dominio de definición
a) b)
c) d) e) f) y= log2x g) y= 2 x
Rtas: a) [ -2 ; 2] b) ( - ∞; -4] U [ 4 ; ∞ ) c) (1; ∞ ) d) R – { -3 ; 3 } e) R
f) R +^ g) R
- Definir dominio y ceros de las siguientes funciones
a) f(x) = (x-2)^2. (x +3) Rta : D = R x 1 = 2 x 2 = -
b) f(x) = (x^2 -16)/(x-4) Rta : D = R – {4} x = -
c) g(x) =1/(x^2 -x-6) Rta : D = R – { -2 ; 3 } No posee raíces
Función Módulo
- Graficar e indicar en cada caso cual es el dominio y el conjunto imagen
a) y = / X/ b) y = / x + 2/ c) y = / x + 2 /
d) y = /x/ + 1 e) y = /x/ - 2 f) y = / x- 1 / + 2
Función logarítmica y exponencial
- Determine los siguientes números sin utilizar calculadora.
Funciones homográficas
- Represente las siguientes funciones homográficas determinando previamente dominio e imagen.
Problemas
- El número de mutaciones de tipo sexual en Drosophila Melanogaster incrementa casi linealmente con la dosis de rayos X mientras ésta no exceda los 6 kr. (kiloRoentgen). Sea x la dosis de medida en kr. e y el porcentaje de mutación. Para una dosis 0 no se observaron mutaciones y con una dosis de 3 kr. el porcentaje de mutación fue de 8.4%. Se desea saber cuál es la expresión general que da la relación entre el porcentaje de mutación y la dosis de rayos X. Grafique.
- Se sabe que en las hembras de la serpiente Lampropeltis Polyzona la longitud total de su cuerpo (y) es una función lineal de la longitud de la cola (x) con gran exactitud. Se ha medido que una serpiente de 450 mm. de largo tiene una cola de 60 mm. y una serpiente de 1090 mm. de largo tiene una cola de 140 mm.
a. Se desea saber cuál es la expresión general que da la relación entre la longitud del cuerpo y la longitud de la cola. b. Halle, utilizando la fórmula encontrada en a), la longitud total de una serpiente cuya cola mide 10cm y la longitud de la cola duna serpiente cuya longitud total es de 1 metro.
c. Sabiendo que la longitud de cola, desde que la serpiente nace hasta que es adulta, puede variar de 30 a 200 mm, ¿entre qué valores varía la longitud total?
- Un grupo de biólogos que experimenta con chimpacés ha probado que el consumo de oxígeno es función lineal de la velocidad de carrera. Un chimpacé que corre por un llano a 2km/h consume 89/70 litros de oxígeno por hora y corriendo a 7km/h consume 2,7 litros de oxígeno por hora.
a. Encuentre la fórmula que permite calcular el consumo de oxígeno conociendo la velocidad de carrera. b. Calcule el consumo de oxígeno de un chimpacé que corre a 4,5km/h. c. Calcule la velocidad de un chimpacé si se sabe que está consumiendo 1,5 litros de oxígeno por hora.
- En 1950 la esperanza de vida de un hombre en los EEUU era de 65 años y en 1970 de 68 años. Sea E la esperanza de vida y t el número de años transcurridos desde 1950.
a. Ajuste una función lineal a los datos dados. b. Utilícela para predecir la esperanza de vida de un hombre en el 2027.
- Se ha detectado que un tratamiento contra el cáncer produce una efectiva mortandad de células cancerosas. El estudio demostró que el número de células muertas (y) , medido en miles de células, en función de la dosis de medicamento (x) responde a la siguiente ecuación:
Determine para qué dosis el número de células muertas es máximo e indique si
hay posibilidades que el número de ellas sea cero.
- Un delfín salta hacia arriba para alcanzar el alimento que le entrega su cuidador. La altura que alcanza su centro de gravedad sobre el agua t segundos después de iniciado el salto puede obtenerse mediante la ecuación
a. Indique cuál es la altura máxima que alcanza el delfín. b. Cuántos segundos después de iniciado el salto vuelve a caer en el agua?
Rtas : a) 1 b) -1 c) 3 d) 3 e) 12 f) 1 g) -1 h) 2/
- Calcular el límite de las siguientes funciones salvando las indeterminaciones
a) b) c)
d ) e) f)
Rtas a) 1/3 b) 1/12 c) -1/8 d) 1/80 e) -5/2 f) 3/
Rtas
a)3/4 b) 5/3 c) 4 d) -1/2 e )-1 f)- g) 4 h) 0 i ) -2/3 j) 2
- Calcular
Rtas: a) 3/2 b) 0 c) ∞ d) 0
6) Límites que involucran funciones trigonométrica
1. R: 3
2. R: 1/
- 3 sen 6x 4 ) 3x lim --------------- R= 2 lim ------------ R= ½ x 0 sen 9x x 0 tg 6x
5 ) 1 - cos x 6 ) 1 - cos 2 x lim ----------------- R= ½ lim ------------------- R= 2 x 0 x^2 x 0 x^2
Para los ejercicios 5 ) y 6) tener en cuenta : sen (x/2) = ( 1 – cos x ) 2 y cos 2x = 1 - 2 sen^2 x
7 ) 8 ) sen x lim -------------- R= lim ------------ R= 0 x 0 sen x x 0
9 ) sen^3 4x 10 ) sen 4x. tg 3 x lim -------------- R= 0 lim -------------------- R = 4 x 0 x x 0 x^4
11 ) x tg x 12) x sen 2x lim --------- + ---------- R= 3/2 lim ----------------------- R= 2
x 0 sen x 2x x 0 sen x^2
- Repaso
- Hallar las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las curvas correspondientes a las siguientes funciones
Rtas:
A. vertical A. horizontal A. oblicua A X = 1 Y = 2 B X = 2 x= -2 Y = 0 C X= 1 ; x= -1; x= 2 Y = 0 D X= -1 ∄^ Y = x - 1 E X= 0 ; x = 5 Y = x + 3
5)Continuidad
- Hallar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones y clasificar.
Unidad 3 Sucesiones
Definición : Una sucesión es una función del tipo a n = f(n) donde n solo
toma valores naturales.
Dar una sucesión {an } es dar una ley que permita asignar un valor
determinado an para cada valor natural del índice n.
Ej: 1) an = es { an } = 1 ; ½ ; 1/3 ; ¼ ; ……… ; ; ……………..
2) an = es { an } = 0 ; ½ ; 2/3 ; ¾ ; ………..; ; …………
3) an = es { an } = 2 ; 2.25 ; 2.37 ; 2.44 ; ……………..
4) En Cs Naturales es habitual el observar la sucesión de Fibonacci
donde :
a n + 2 = a n + a n + 1 con a 1 = 0 ; a 2 = 1
{ an } = 0 ; 1; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; ………………
Sección aurea : Dado un segmento de longitud L, se dice que un punto m
lo divide en media y extrema razón si se verifica la siguiente relación:
a m b =
Si se parte de dos segmentos c y d tal que la longitud del primero sea la
sección aurea del segundo y se construye la correspondiente sucesión de
Fibonacci,
Calcula la suma de los 15 primeros términos de una sucesión aritmética en
la que a3 1 y a7 7.
En una sucesión geométrica, a1 3 y a4 24. Calcula la razón y la suma de
los ocho primeros términos.
Halla la suma de los seis primeros términos de una sucesión geométrica de
razón positiva en la que a 2 10 y a4 250.
El tercer término de una sucesión geométrica vale 80, y la razón es 4.
Calcula la suma de los cinco primeros términos
Unidad 4 : Derivadas
Se completa con ejercitación extraida de “Elementos de cálculo diferencial e
integral” Sadosky y Guber
- Hallar la derivada por definición de y = x^2 + 3x + 5 Rta= 2x + 3
- Hallar la derivada por definición de y = x 3 Rta = 3 x^2
- Hallar la derivada de las siguientes funciones mediante el lím del cociente incremental: y = 4x – 3 Rta: 4
- y= 4 – 3x Rta: -
- y = x^2 + 2x – 3 Rta : 2x + 2
- y = Rta : -2 / x^3
- y= Rta :
Hallar la pendiente de las siguientes curvas en el punto x = 1 ; y = 8 – 5 x^2 Rta:
22. Z=
23. Y= ()^5
- Y= 2x^2
- Y= x
- Y= ( x – 1)
27. Z =
28. Y =
29. Y =
- Y = ( x^2 + 3 )^4 ( 2x 3 – 5 ) 3
31. S =
32. Y = () 4
- Calcular en cada caso las derivadas indicadas ; y’’’ de y = 3x^4 – 2x 2 + x – 5
- Yiv^ de Y =
- F’’ de f(x) =
- Y’’ de y =
- Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva y = x^3 – 2x 2 + 4 en el punto (2;4)
- Idem 42) para la curva x^2 – y 2 = 7 en el punto (4;-3)
- Hallar en que punto la tangente a la curva y = x^3 + 5 es a ) paralela a la recta 12x – y = 17 b) perpendicular a la recta x + 3y = 2. Rta a) ( 2; 13 ) y ( -2;-3); b)(1;6 ) y (-1;4)
- Determinar en que puntos de la curva y = 2x^3 + 13 x^2 + 5x + 9 sus tangentes pasan por el origen.
- Hallar las ecuaciones de las rectas normal y tangente a la parábola y = x 2 + 3 en el punto ( 1 ; 4).
- Hallar el ángulo de intersección de las curvas y = y y = 12 /5– 2/5x 2 Rta: 46°
- Hallar en que punto la tangente a la curva y = x^2 + 5 es horizontal Rta : ( 0;5)
- Calcular las derivadas de las siguientes funciones y = sen 3x + cos 2x
- Y = tag x^2
- Y = tag^2 x
- Y = cotag ( 1- 2x^2 )
- Y = sec 3
49. Y =
- F(x) = x^2 .senx
51. Y =
- Y = 3. sen 2x 20
