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PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA I
(Mecánica - Movimiento Ondulatorio – Calor)
ATILIO DEL C. FABIAN
ISBN Nº 950-746-121-
Editor Responsable: Secretaría de Ciencia y Tecnología de la Universidad Nacional de Catamarca
EDITORIAL CIENTÍFICA UNIVERSITARIA DE LA SECRETARIA DE CIENCIA Y TECNOLOGIA UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA. Fax: 03833-431180/ Avda. Belgrano 300 - Predio Universitario Pabellón Variante I - 2do^ piso. San Fernando del Valle de Catamarca - C.P. 4700
P ro hibi da la repro duc ción t otal o pa rcial de lo s tra ba jos con teni dos en est e li bro.
Enunci ado de Re sponsa bili dad: Las opiniones expresadas por los autores son exclusivas de los mismos.
CATAMARCA - 2004 REPUBLICA ARGENTINA
CONTENIDOS
TEMA 1: MAGNITUDES DE LA FÍSICA
TEMA 2: MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN
TEMA 3: FUERZA Y LAS LEYES DE NEWTON
TEMA 4: MOVIMIENTO DEL PROYECTIL
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
TEMA 5: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
COLISIONES
TEMA 6: CINEMÁTICA ROTACIONAL
TEMA 7: MOMENTO ANGULAR
LEYES DE NEWTON EN LA ROTACIÓN.
TEMA 8: TRABAJO Y ENERGÍA
TEMA 9: GRAVITACIÓN
TEMA 10: MECANICA DE FLUIDOS
TEMA 11: ELASTICIDAD
TEMA 12: OSCILACIONES
TEMA 13: ONDAS
TEMA 14: TEMPERATURA Y CALOR
INTRODUCCIÓN
La presente guía tiene por objetivo brindar los elementos básicos que se debe tener en cuenta para resolver los problemas que se plantean desde el punto de vista físico y aplicarlos a los problemas que se presentan en el estudio de la Geología, para ello cuenta con desarrollos matemáticos necesarios para que el alumno que provenga del polimodal tenga las mismas posibilidades de aprender.
La presente guía se encuentra ordenada por temas, todo de acuerdo a los que se encuentran en el programa teórico 2004, en el inicio de cada tema se entrega las fórmulas fundamentales que se emplean y una metodología que se debe llevar a cabo para resolver los problemas referido al tema de análisis, posteriormente una serie de enunciados de problemas tipos con sus respectivas soluciones explicados y finalmente problemas con resultados a los que debe arribar, únicamente para que el interesado practique.
Los problemas han sido tomados de los diferentes textos (que se pueden consultar al final de la Guía), tal como han sido editados y en otras ocasiones han sido recreados a temas de Geología, por lo que han sufrido las modificaciones necesarias, para que así el estudiante pueda visualizar rápidamente la vinculación directa entre estas dos ciencias.
Metodología general para resolver problemas
Lo primero que se debe hacer cuando estamos frente a un problema de física, es la de realizar una lectura rápida, para tener un panorama general, luego leer nuevamente en forma pausada, para así poder establecer cuales son las leyes físicas que nos van a servir de base para plantear el problema.
Posteriormente se procede a establecer, por un lado los datos que nos da el enunciado, y por otro las incógnitas, para así de esta manera escribir las fórmulas que expresan las leyes correspondientes, y que nos ayudaran a encontrar la solución primeramente en forma literal, para luego introducir los datos numéricos, con el cuidado de colocar siempre expresado en unidades del mismo sistema de medidas.
Luego de obtener el resultado numérico hay que prestar atención al grado de exactitud del mismo.
significativa, y sería conveniente tomar una sola cifra significativa, 0,1 kg, porque a partir de la segunda cifra aporta poca información en el contexto de la pesada. PROBLEMAS:
Pb. 1. 01.- Un estudiante de Geología de la UNCa le escribe a un amigo de Estados Unidos y le dice que mide 1,87 m., ¿cuánto medirá en unidades inglesas?.
Solución: Si tenemos que: 1m (metro) es equivalente a 3,28 ft (pie), entonces el estudiante tendrá 6,1336 ft.
Pb. 1. 02.- Resnick Entre Nueva York y los Ángeles hay una distancia aproximada de 3000 millas, la diferencia temporal entre las dos ciudades es de 3 horas. Calcule la circunferencia de la Tierra. Solución: 38.622,42 Km.(a esa latitud).
Pb. 1. 03.- Resnick Una persona pierde 0,23kg (equivalente a aproximadamente 0,5 lb) por semana, exprese la tasa de pérdida de masa en miligramos por segundo. Solución: 0,38mg/s.
Pb. 1. 04.- Resnick Los granos de arena fina de las playas de California tienen un radio promedio de 50 μm. ¿Qué masa de granos de arena tendrá un área superficial total igual a la de un cubo exactamente de 1 m en un borde?. La arena se compone de dióxido de silicio, 1 m^3 tiene una masa de 2600 Kg. Solución: 0,260 Kg.
Pb. 1. 05.- Resnick Suponga que tarda 12 horas en vaciar un contenedor de 5700 m^3 de agua. ¿Cuál es el gasto de masa (en kg/s) del agua proveniente del contenedor?. La densidad del agua es de 1000kg/m^3. Solución: 131,94 kg/s.
Pb. 1. 06.- Suponga que usted es un gran ciclista, y en un tramo recto de una pista, tuvo un record de 85 Km/h., expréselo en m/s. Solución: 23,61 m/s.
TEMA 2
MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION
En esta unidad tenemos problemas de la cinemática con aplicaciones a temas de la geología.
Los principales sistemas de medidas son: SI cuyas unidades fundamentales son el Metro (m), el Kilogramo masa (kg) y el Segundo (s).
El sistema CGS cuyas unidades fundamentales son el centímetro (cm), el Gramo masa (g) y el Segundo (s).
Las principales fórmulas aplicables a este tema son las siguientes: En el caso general del movimiento rectilíneo la velocidad:
v = ds /dt, como la unidad de longitud es el metro y la del tiempo el segundo, la unidad de la velocidad en el sistema SI será 1 m/s., y como la aceleración es:
., a = dv/ dt, se medirá en 1 m/s^2.
Cuando el movimiento es rectilíneo y uniforme tenemos que la v = constante, y la aceleración a = 0.
Si el movimiento es rectilíneo y uniformemente variado tenemos: el desplazamiento será:
2 0 2.
S = V. t + at
Y la velocidad será: V = V 0 + a. t , la aceleración a = constante.
PROBLEMAS:
Pb. 2. 01. Nos encontramos tomando el tiempo de traslado de un compañero de estudio en una motocicleta, durante la primera mitad de un tiempo determinado que estuvo en movimiento llevo una velocidad de 80 Km/h, y durante la segunda mitad la velocidad de 40 Km/h., ¿cuál fue la velocidad media de este estudiante?.
Solución: Datos: t 1 (^) = t 2 ; V 1 (^) = 80 kmh ; V (^) 2 = 40 kmh y las fórmulas a utilizar son:
km h
V V V V
S
S
V
S
V
S
S
t t
S S
t
S
V 53 , 33
1 2
Pb. 2. 03. Al bajar por una ladera una partícula rocosa adquiere una velocidad pero al llegar a la zona plana, esta adquiere un movimiento uniformemente retardado, cuya aceleración negativa es igual a = 0,5 m/s^2 ., la velocidad inicial de la partícula en la zona plana era de 54 Km/h., ¿cuánto tiempo tardará en depositarse en la zona plana, y a que distancia del punto inicial?.
Solución:
Datos a = 0 , 5 mseg 2 y V (^) 0 = 54 kmh ., Al ser un movimiento acelerado tenemos que recurrir a las fórmulas que se encuentren en este tipo de movimiento, para lo cual tenemos que:
2 1 0 0 1
a t S = S + V t ± ., de donde S (^) 0 = 0 ., pero aquí tenemos dos incógnitas que
son el espacio y el tiempo, por lo que tenemos que recurrir a otras fórmulas que nos involucren menor cantidad de incógnitas:
- V (^) f^2^ = V 02 ± 2 aS
- V (^) f = V 0 ± a. t ., estas dos parecen las más adecuadas para resolver nuestro problema, y así tomamos para la primera pregunta sobre el tiempo que tardará en depositarse, la 3era., fórmula, y el signo negativo pues la aceleración es negativa ya que esta frenando el movimiento, por lo tanto se encuentra en sentido contrario a éste:
., la velocidad final será por lo expuesto por el problema, igual a cero., y despejando el tiempo obtenemos:
a
V
t = 0 ; 0 , (^52)
seg m t = kmh pero aquí observamos que los valores numéricos se
corresponden con unidades distintas por lo que tendremos que reducirla a una de los dos, para estos aplicamos lo que se denomina la regla del 1 x 1., y así obtenemos:
m seg km
m x seg
h x h
k 0 , 277 1
= o sea que este resultado es equivalente a 1 km^ h ,
por lo que:
t = × = m^ seg × seg m = seg
una vez obtenido el tiempo, ya podemos utilizar las fórmulas 1) o la 2)
si usamos la 2), obtenemos:
V (^) f = 0 ., por lo tanto V (^) 02 = 2. a. S (en este caso también mantenemos la aceleración
negativa pues tiene un sentido al movimiento y luego realizamos los pasajes de términos correspondiente), y por lo tanto el espacio recorrido es:
( ) 223 , 74. 2 0 , 5
2 2 (^0) m x
x a
V
S = = =
O sea que la distancia que se depositará desde el punto inicial es de 223, metros.
Pb. 2. 04. Un estudiante de geología se encuentra frente a un corte vertical en roca, al cual no le es fácil acceder y desea medir la altura de dicho corte, para lo cual provisto de un cronómetro lanza un fragmento rocoso en forma vertical hasta el borde del corte, el fragmento regresa al cabo de 3seg, no tener en cuenta la resistencia del aire y calcular a) la velocidad inicial de lanzamiento, b) ¿cuál es la altura del corte?. Solución: Como el tiempo total de ida y regreso es:
t 1 + t (^) 2 = 3 s = tt ; por lo tanto tenemos que t 1 (^) = 1 , 5 s.
s s m s
V gt m
V (^) f V at Vf V gt
. 9 , 8. 1 , 5 14 , 4
0 2
0 0 = = =
para calcular la altura podemos recurrir a dos fórmulas:
m g
V
obteniendo h
h V t gt también Vf V gh
2 0
2 0
2 0
Pb. 2. 05.- Volkenshtein, (modificado) Un geólogo se encuentra parado sobre una ladera vertical de una altura
gravedad aumenta la velocidad o sea que tiene el mismo sentido del movimiento).
2 1
2 1 1
2 ., 2
h H h
gt h gT H = ⇒ = ⇒ = − ahora con el planteamiento del problema
pasamos a escribir la ecuación que nos ayudará a resolverlo, teniendo en cuenta que h 1 (^) = h 2 : por lo tanto en la ecuación reemplazamos ambos valores y procedemos algebraicamente:
1
2 2 1
2 1
(^22) 1
2 1
2 2 t T
gT gt
gT gt gt gT gt h = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ =
con esta ecuación obtenemos el valor de T = 2. t 12 = t 1 2
como t 1 (^) = T − t 2 .,⇒ T = t. 1 2 =( T − t 2 ) 2 .,⇒ T = T. 2 − t. 2 2
sacando factor común el tiempo total de caída, obtenemos;
2.^2 (^21 ).,^2
t t T despejando T
como podemos observar la riqueza de esta expresión algebraica, ya que para cualquier t 2 se puede sacar la altura total de la caída libre, obviamente no teniendo en cuenta la fricción con el aire. Para este caso el tiempo total es de 3,41 s, y el espesor del estrato es de 57, m, bien queda como práctica el de comprobar si los resultados son idénticos para la expresiones de las fórmulas:
1
g t h = para 2
2 2 2 02
g t h = V t + ., donde Vo2 se calcula de la expresión:
V (^) f 1 = V 0 + g. t 1 donde V (^) f 1 = V 02 ., ya que V 01 = 0
Pb. 2. 07.- Sea un planeta con una gravedad igual a la mitad de la terrestre (g) ¿cuánto tiempo más necesitaría un cuerpo para caer desde el reposo con respecto a una que cae de la misma altura en la tierra?.
Solución: Datos: gp = ½g., donde gp = gravedad del planeta y g = gravedad terrestre.
Entonces tenemos que:
.,
- 2
. (^2) p p
g t h = = altura de caída en el planeta
. (^) t^2 t
g t h = = altura de caída en la tierra
como h (^) p = ht tenemos que: 2
g. t^2 p gt t^2 = y de esta manera obtenemos luego de
las correspondientes simplificaciones:
t (^) p = tt. 2
Pb. 2. 08.- Resnick. (modificado). Se deja caer una roca desde el borde de un acantilado de 100 m de altura. ¿Cuánto tarda en caer: a) los primeros 50 m, y b) los segundos 50 m.
R = a) 3,19 s. b) 1,32 s.
Pb. 2. 09.- Resnick. Se arroja un fragmento rocoso verticalmente hacia arriba. En su ascenso cruza el punto A, con una rapidez V , y el punto B, que se encuentra 3,0 m más alto que A,
con una rapidez^ V^ 2. Calcule:
a) La rapidez V b) la altura máxima alcanzada por el fragmento rocoso arriba del punto B.
R = a) V = 8 , 85 ms B h = máxima
b) h = 0 , 99 m. 3m.
A
Pb. 2. 10.- Resnick. Un automóvil sube una colina con una rapidez constante de 40 Km/h, y en el viaje de regreso desciende con una rapidez constante de 60 Km/h. Calcule la rapidez promedio del viaje redondo.
R= 48 km/h.
Abocándose al problema primeramente defina su sistema de coordenadas, indicando el origen y la dirección del eje positivo, si conoce el sentido de la aceleración, suele ser conveniente tomarla como dirección positiva. Al aplicar la primera o la segunda ley de Newton dibuje el diagrama de cuerpo con todas las fuerzas que actúan sobre él, sin incluir las que actúen sobre otros cuerpos., es conveniente usar colores para indicar las distintas fuerzas. Al escribir tanto la primera como la segunda ley, hágalo en forma de componentes usando el sistema de coordenadas definido previamente, no dejando de lado la exactitud de los ángulos si los hubiera. No olvidar que una superficie en contacto con el cuerpo ejerce una fuerza normal perpendicular a la superficie, y una fuerza de fricción paralela a la superficie., y que una cadena o una cuerda no pueden empujar un cuerpo sino tirar de él en la dirección de su longitud, Luego podrá despejar las incógnitas en estas ecuaciones.
Cuando estamos usando la segunda ley de Newton y hay mas de un cuerpo, repita los pasos para cada uno de ellos, usando una ecuación para cada componentes, antes de pasar a despejar incógnitas, ya que puede haber relaciones entre los movimientos de los cuerpos. Si por ejemplo están unidos por una cuerda o cadena y accionan en forma conjunta, la aceleración es la misma para todos los cuerpos actuantes, cuando actúan en el mismo sentido.
PROBLEMAS:
Pb. 3. 01.- Resnick. Los puntos A y B coinciden antes de producirse la falla, en un cuerpo de roca granítica, que luego de producirse el desplazamiento de un bloque con respecto al otro, queda en la posición actual, donde la componente horizontal es la línea AC, la componente vertical del desplazamiento medida sobre la línea de mayor inclinación es AD. a)¿Cuál es el desplazamiento neto, si el desplazamiento horizontal es de 22 m y el vertical de 17 m?. b)Si el plano de la falla tiene una inclinación de 52° con el horizonte, ¿cuál es el desplazamiento vertical neto de B como resultado de la falla en a)?.
Gráfico:
C
A
B
E D
a) Para resolver este punto tenemos que tomar el triángulo que forma sobre el plano de desplazamiento (plano de falla) los puntos A, B, C, donde el desplazamiento neto es la hipotenusa, por lo tanto recurrimos a Pitágoras, para encontrar el resultado:
2 2 AB = AC + BC = 27,8 m.
b) En este caso tenemos que proyectar un triángulo entre los puntos A, D, E, y calcular el lado opuesto al ángulo dado como dato, y de esta manera obtenemos el rechazo o desplazamiento vertical neto de B., ya que el punto D, se encuentra al mismo nivel que B.
AE = sen 52 °. AD. =13,39 m.
Pb. 3. 02.- Si las cuerdas utilizadas para soportar una muestra de roca, como muestra la fig., pueden sostener únicamente 120 kg., ¿cuál es el peso máximo W que puede resistirse sin que se rompan aquellas?.
W
Solución:
T 1 T 2
T 1 senα α β T 2 senβ
T 1 cosα T 2 cosβ W
∑ Fx =^ T 2.^ cosβ^ − T 1 .cos^ α=^0
∑ Fy =^ T 1. sen α+ T 2. sen^ β− W =^0
Si W = 100 N; Φ = 30°.; μk = 0, c) Hállese el valor de Φ por encima del cual el estudiante no puede mantener el bloque en movimiento, cualesquiera que sea la fuerza con que empuje. P
Φ
y N P Φ N
P.cosΦ fk fk x
P.senΦ W W
∑ Fy = N − W − P. sen^ φ^ =^0 .,∴⇒ N = W + P. sen^ φ (1)
cos x k .cos^0 ., k
f F f P P (2)
reemplazando la ecuación (2) en (1), obtenemos:
N = W + fk. tag φ., como fk = N. μ k ., nos queda que: N = W + N. μ k. tag φ., luego:
tag
W
N tag W N k
.( 1 − (^) k. )= .,∴⇒ = 1 −.
sen φ
N W
P
= fk = P .cos φ
Reemplace los valores correspondientes y obtenga los resultados, para el punto c), deduzca de las fórmulas obtenidas.
Pb. 3. 05.- El bloque de toba, ver fig., es arrastrado con una cuerda hacia la derecha a velocidad constante., a) demuestre que la fuerza F está dada por la expresión:
se
F W
k
k cos.
= F Θ y N F
F.senθ
x fk F.cosθ
W.
Pb. 3. 06.- Un estudiante se encuentra en tarea de campo y ubica un bloque de roca en una ladera de filita en un perfecto plano inclinado de 22° respecto a la horizontal, y lo sujeta con un cable. Se supone un coeficiente de rozamiento estático de 0,25 y cinético de 0,15., a)¿cuál es la fuerza F mínima, paralela al plano, que impedirá que el bloque se deslice por el plano hacia abajo?., b) ¿cuál es la fuerza F necesaria para mover el bloque hacia arriba a velocidad constante?. Analice algebraicamente y obtenga los siguientes resultados:
a) 11 N.
b) 47,3 N., para el inicio del movimiento y
40,1 N, para moverlo a velocidad constante.
F
x 10^7 kg, el ángulo de inclinación del plano de la falla es de 24°, y el coeficiente de fricción estática entre el bloque y el plano es de 0,63.,
a) Demuestre que el bloque no se deslizará.
F
B
A’
A
b) En la grieta se filtra agua, ejerciendo una fuerza hidrostática F paralela a la inclinación del bloque. ¿qué valor mínimo de F provocaría un deslizamiento?.
Solución: a) tag.24°= μs’^ = 0,
,μs >μs’^ ; 0,63 > 0,
y
N
x F
mg.sen24° fs
mg.cos24°
mg.
∑ Fy =^ N − m.^ g .cos^24 °=^0 .,∴⇒ N = m. g .cos^24 °
∑ F^ x =^ fs − m.^ g. sen^24 °− F =^0 .,∴⇒ F = fs − m. g. sen^24 °= N.^ μ s − m. g. sen^24 °
F = m. g .cos 24 °. μ s − m. g. sen 24 °
Pb. 3. 10.- Resnick. Una nave de aterrizaje se aproxima a la superficie de Calixto, uno de los satélites (luna) de Júpiter, si el motor del cohete le imprime un empuje hacia arriba de 3260 N, la nave descendería a velocidad constante, considerando que Calixto no tuviera atmósfera. Si el empuje hacia arriba es de 2200 N, la nave aceleraría hacia abajo a 0,390 m/s^2. a) ¿Cuánto pesa la nave de aterrizaje cerca la superficie de Calixto? b) ¿Cuál es su masa?. c) ¿Cuál es la aceleración debida a la gravedad cerca de la superficie de Calixto?.
Solución: Datos: Si V = cte ., ∴⇒ a = 0 .,∴⇒ F 1 = 3260 N. ., 0. 390 2 ., F 2 2200 N. s
V ≠ cte ∴⇒ a =− m ⇒ =
a)
1
1 mg F N
F mg = =
F
V = cte.
b) (^2718).
0 , 39
2
2
2
kg s
m
N
a
mg F m
mg F ma
=
F
a =− 0 , 390 ms 2
c) 1 , 20. 2718
2 1
1
s
m kg
N
m
F
g
F mg
= = =
Pb. 3. 11.- Resnick. (modificado). En una mina de explotación subterránea, se emplea 3 vagones para extraer el mineral desde el interior, los vagones tienen una masa: m 1 = 310 kg; m 2 = 240 kg y m 3 = 120 kg, y se encuentran unidos por un cable, cuya masa se desprecia. Si se tira de ellos con una fuerza horizontal P = 650 N, sin considerar la fricción de las ruedas, obtenga: a) La aceleración del sistema. b) La fuerza ejercida por el segundo vagón sobre el tercero. c) La fuerza ejercida por el primer vagón sobre el segundo.
