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Taller 0 3. MATEMÁTICAS I.
Dayron F. Achury Calderón.
Docente.
UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA.
Estrategia de suministro. ( 1. 5 puntos)
Supongamos que tiene la responsabilidad de calcular la cantidad óptima de pedido para surtir un expendio de bebidas
embotelladas al interior de un centro de convenciones, que operará todos los días del mes. De una forma simplificada, se ha
estimado que se venderán a diario cerca de 200 botellas de manera constante.
El proveedor que surte de bebidas el expendio tiene un modelo en el que cobra un valor fijo 𝐾 por despacho de $200.
El costo de cada unidad de producto (botella de bebida) se denominará 𝑐 y es de $ 2 ; el costo de mantener en inventario cada
botella es directamente proporcional con la energía y el espacio que se ocupa en los refrigeradores, a mayor masa mayor
demanda de energía; el coste por mes es (ℎ) de $1.42 para cada botella.
Se realizará cada pedido de manera que se reciba en el momento en que se hayan consumido las existencias, y la entrega
será prácticamente instantánea.
Se asumirá que cada mes tiene 30 días.
Determine la función de coste total de inventario (mensual) y derivando halle su punto mínimo. Argumente e interprete los
resultados.
Solución
Sean las necesidades mensuales
1
(consumos de inventario) 𝜆 = ( 30 ) 200 = 6. 000 botellas de bebida; ya que se asumirá
que el comercio realiza ventas constantes todos los días.
Sea 𝑄 la cantidad de unidades a solicitar en cada pedido. La cantidad óptima se denominará 𝑄
∗
Por lo anterior el número de pedidos que se harán mensualmente es de
"
, por lo que el coste de hacer todos los pedidos del
mes es de: 𝐶 $
"%
Este modelo de inventarios implica que la cantidad máxima que se tendrá almacenada será 𝑄 - cuando arribe el pedido- y la
mínima 0 - justo en el momento en que se termina el inventario- y que se consumirá a una tasa - lineal- constante de 200
botellas / día; por lo que el inventario promedio será de
(#'()
; lo que servirá para calcular el coste de mantener el
inventario mensualmente: 𝐶
#,
1
Para que las cifras sean comparables y operables todo debemos expresarlo en la misma unidad de tiempo.
El costo de los productos comprados para inventario en el mes es de 𝜆𝑐, es decir $ 12 .000.
La función del Costo Total mensual de los pedidos sería entonces la suma de los tres componentes del costo antes descritos,
es decir la función del costo de la entrega, la del costo de mantener y el valor de adquisición - constante- de los productos
consumidos en el mes:
-./
Reemplazando con la información de que se dispone:
-./
Gráficamente:
Ilustración 1 Función de coste total de inventario mensual.
Con respecto al objetivo de encontrar el menor valor de los pedidos mensuales podemos despejar la ecuación, pero se nos
pide encontrarlo derivando la función; en tal sentido como se ha visto en clase el mínimo de la función se encuentra en su
punto de inflexión, y este es aquel en el que la pendiente es igual a cero.
La cantidad óptima de inventario (𝑄
∗
) es entonces:
-./
Solución.
Para hallar las funciones de Ingresos y Utilidad debemos hallar antes una aproximación lineal para de la función del precio de
la demanda. Consideramos que la variable dependiente es la demanda (𝑥), es decir, las unidades que pueden venderse, y la
variable independiente es el precio por unidad (𝑝); así tendríamos dos puntos que serían suficientes para determinar una
aproximación lineal a la elasticidad precio de la demanda de los productos de este caso.
Los dos puntos que se emplearán para definir un modelo lineal que explique el efecto de la variación del precio en la demanda
del producto son:
A. Las 2.0 00 lámparas que se venden a $ 30 por unidad ( 30 , 2. 000 ), y
B. Las 2.5 00 lámparas que se venden a $ 20 por unidad ( 20 , 2. 500 ),
La función de la demanda en términos del precio 𝑋(𝑝), la definimos así:
Donde 𝑒 es la constante de elasticidad, que muestra como la demanda del producto 𝑋 decrece cuando aumenta el precio 𝑝,
y como es de esperarse es negativa (𝑒 < 0 ). La constante 𝑏 corresponde con el punto de cruce de la función con el eje de
las ordenadas.
La constante 𝑒 es en últimas la pendiente de la función 𝑥(𝑝), y sabemos que la pendiente es la relación entre la variación en
el eje de las ordenadas con respecto a la variación en el eje de las abscisas, es decir:
4
5
4
5
Habiendo calculado 𝑒 = − 50 , podemos argumentar que por cada unidad monetaria ($ 1) de reducción en el precio se
venden 5 0 unidades más en el mes.
Con cualquiera de los dos puntos, A o B, podemos calcular el valor de 𝑏, empleando lo que sabemos de la función de demanda
en términos del precio; con A:
Entonces, la función de aproximación a la elasticidad precio de la demanda para este caso es: 𝑥 = 𝑒𝑝 + 𝑏
Ilustración 2 Función de aproximación de la elasticidad precio de la demanda.
500
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Demanda
Precio
Elas%cidad P-D
El dominio y el rango de esta función está comprendido en el intervalo: ( 0 , 70 ] y el rango en el intervalo: [ 0 , 3. 500 ).
Por otra parte el costo total en el mes (𝐶 -./
) puede representarse como una función lineal en términos del número de
productos fabricados.
-./
Donde 𝑣 = $ 12 es el costo variable por unidad producida y 𝑓 = $ 15. 000 es el costo fijo mensual.
-./
Gráficamente la función del costo total mensual se presenta a continuación:
Ilustración 3 Gráfico de la función del Costo Total mensual.
Conceptualmente, el ingreso total (𝐼 -./
) es igual al producto del precio de cada unidad vendida (𝑝) por el número de
unidades vendidas (𝑥).
-./
La cantidad a vender no es un valor constante, es una variable, igualmente el precio es una función:
-./
-./
Sabemos en este caso la ecuación del Ingreso Total es una ecuación cuadrática, y como el término que acompaña a 𝑝
es
negativo, la ecuación es una parábola invertida.
El Ingreso Total se hace cero en los puntos de solución de 𝑥,
− 3. 500 ± O 3. 500
𝑝 = Q
- 500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.
Costo Total
Unidades Producidas
Costo Total
El coste por unidad no está en términos de la variable 𝑝, por lo que habrá que hacer una sustitución:
-./
Y sabemos que:
Por lo que reemplazando:
-./
-./
-./
Reemplazando:
-./
= [− 50 𝑝
+ 3. 500 𝑝] − [− 600 𝑝 + 57. 000 ]
-./
-./
Sabemos en este caso la ecuación de la Utilidad Total es una ecuación cuadrática, y como el término que acompaña a 𝑝
es
negativo, la ecuación es una parábola invertida.
La Utilidad Total se hace cero en los puntos de solución de 𝑥,
O
𝑥 = Q
Cuando las lámparas se venden a menos de $17,74, los ingresos obtenidos son insuficientes para que el negocio alcance - al
menos- su punto de equilibrio; y cuando el precio de venta es superior a $64,26, el precio es tan alto que el volumen de
unidades vendidas es insuficiente para generar unos ingresos tales que permitan - al menos- el punto de equilibrio.
El valor máximo de la utilidad es el punto de inflexión de la parábola - invertida- que es la función de la Utilidad. Se sabe que el
punto de inflexión puede hallarse cuando la pendiente de la curva es cero; entonces, el valor de 𝑝 para el que se logra la
máxima Utilidad Total es:
max
6
-./
max
6
-./
max
6
-./
(
max
6
-./
max
6
-./
max
6
-./
max
6
-./
max
6
-./
Es decir, con un precio de 𝑝 = 41 se logra maximizar la utilidad, que es de: $27.050. Gráficamente, en la ecuación cuadrática
podemos encontrar el mismo resultado:
Ilustración 5 Gráfico de la ecuación cuadrática de la utilidad en función de volumen de ventas.
Razón de cambio de la función de la demanda (1.0 puntos).
Con base en las dos observaciones del punto anterior que le han servido para determinar la función de elasticidad precio de
la demanda lineal (demanda en función del precio), establezca una función racional (no lineal) de la elasticidad precio de la
demanda que, ajustada a los dos puntos mencionados, debe tener una cantidad mínima de la demanda (asíntota horizontal)
distinta de cero.
Determine completamente la función, grafíquela y derívela ¿Cuál es la cantidad mínima a la que tendería la demanda con un
precio extremadamente alto? ¿en qué precio la razón de cambio de la demanda es igual en los modelos lineal y no lineal de la
elasticidad precio de la demanda?
12 22 32 42 52 62 72
Beneficio
Precio
Max U%lidad/precio
Reemplazando en la segunda ecuación:
Podemos emplear este resultado para hallar 𝑘 en la primera ecuación:
La función de elasticidad precio de la demanda no lineal (racional) con demanda mínima (asíntota) igual a 1.000 unidades (𝑐)
y que se ajusta a las dos coordenadas dadas es:
Las dos funciones pueden verse ajustadas a las observaciones así:
Ilustración 7 Funciones de elasticidad precio de la demanda lineal y no lineal.
La demanda mínima a la que tendería la función cuando el precio sea extremadamente alto, es decir:
lim
6 →<
Ya que el primer factor de la función racional de elasticidad precio de la demanda tenderá a cero. Esto puede interpretarse
como que, sin importar el precio, siempre habrá una demanda mínima que consumirá el producto; lo que puede darse con
bienes de carácter primordial.
Ilustración 8 Función racional de elasticidad precio de la demanda con demanda mínima.
La pendiente o constante de elasticidad (𝑒) de la función de la demanda en términos del precio, como ya se vio, tiene el valor
de - 50 , así que para hallar el punto en el que la pendiente en la función no lineal es igual, lo planteamos así:
Ilustración 10 Detalles de la pendiente en el modelo de elasticidad precio de la demanda lineal y no lineal en el punto
buscado.
Razón de cambio de la inflación (1.5 puntos).
La canasta familiar de un determinado país ha pasado de $200 a $500 en tres años.
Halle la razón de cambio de la inflación para el final del segundo año en estudio.
Solución.
Variables:
- Independiente: Años (𝑡) transcurridos.
- Dependiente: Precio de la canasta básica (𝐹).
Parámetros
Precio inicial de la canasta básica (𝑘).
Tasa de incremento de los precios (𝑖).
Entonces:
9/
9 (=)
= 9
= 9
ln 2. 5 = ln 𝑒
= 9
La tasa media anual de incremento de precios para este periodo fue de 30. 54 % anual.
La inflación se puede aproximar evitando incorporar el precio inicial de los productos, así:
`
9/
`
9/
Esto se deduce del hecho de que la inflación puede calcularse como la razón de cambio de la función de precios con respecto
precio inicial del artículo, es decir:
`
9/
`
9/
`
9/
La función de cambio instantáneo de la inflación será entonces la segunda derivada de la función de precios con respecto al
precio inicial:
9/
9/
9/
9/
b𝑖𝑒
9/
c
9/
