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MONOPOLIO
- Si la curva de demanda que enfrenta el monopolista es P=200-10Q y su curva de costo marginal Cmg=100+5Q. ¿Cuál es el precio y la producción que maximizan la ganancia del monopolio? Haga los gráficos correspondientes.
Sabemos que la condición de maximización es IMa= CMa. Con esta condición encontramos la cantidad que producirá el monopolista. Esta cantidad en conjunto con la demanda me permite encontrar el precio al
cual el monopolista venderá su producción.
IT=PQ es el ingreso total o ingreso por ventas del monopolio
Pero sabemos que el precio debe ser igual a P=200-10Q por la demanda. Podemos usar este precio que nos da la demanda para reemplazarlo en los ingresos del monopolista.
Reemplazando el precio de la demanda en los ingresos:
IT=PQ=(200-10Q)Q=200Q-10Q^2
Para encontrar el ingreso marginal, debemos encontrar la derivada del ingreso total.
IMa Q
Q
Q Q
Q Q
Q Q Q
IT IMa
200 20
( 200 10 2 ) 200 10 2
Según los datos entregados el costo marginal es
CMa 100 5 Q
La empresa monopólica maximiza su utilidad donde Img=Cmg.
4 25
100
200 20 100 5
Q
Q Q
IMa CMa
Para encontrar el precio, usamos la cantidad encontrada Q=4 en la demanda de mercado:
200 10 * 4 200 40 160
4
200 10
P
Q
P Q
Luego, el monopolista produce
cuatro unidades y cobra 160.
CMa
IMa
B
A
D
0
50
100
150
200
250
0.0 2.0 4.0 6.0 8.
Precio
Cantidad
- Si la curva de demanda que enfrenta el monopolista es 𝑋 = 60 − 19 𝑃 y su curva de costo total
𝐶 = 300 + 95𝑋 + 16,75𝑋^2 + 0,25𝑋^3 ¿Cuál es el precio y la producción que maximizan la ganancia del monopolio? Haga los gráficos correspondientes.
Sabemos que la condición de maximización es Img= Cmg. Con esta condición encontramos la cantidad que producirá el monopolista. Esta cantidad en conjunto con la demanda me permite encontrar el precio al cual el monopolista venderá su producción.
IT=PQ es el ingreso total o ingreso por ventas del monopolio
Pero sabemos que el precio debe ser igual a P=200-10Q por la demanda. Podemos usar este precio que nos da la demanda para reemplazarlo en los ingresos del monopolista.
Reemplazando el precio de la demanda en los ingresos:
IT=PQ=
Para encontrar el ingreso marginal, debemos encontrar la derivada del ingreso total.
Según los datos entregados el costo marginal es
La empresa monopólica maximiza su utilidad donde IMa=CMa.
X= 7,
Para encontrar el precio, usamos la cantidad
encontrada en la demanda de mercado:
P =470,
1 2 IMa= 540 - 18,00 X + 0,00 X
1 2 CMa= 95,0 + 33,50 X + 0,75 X
1 2 3 540 X - 9,00 X + 0,00 X
CMa
IMa
7,
B
A 470,
D
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0,0 5,0 10,0 15,
Precio
Cantidad
- La curva de demanda de mercado para ciertos artefactos es 𝑄 = 36 − 151 𝑃. La industria de estos
artefactos en la actualidad es un monopolio y la función de costo variable medio del monopolista es 𝐶𝑉𝑀𝑒 = 95 + 15,5 𝑄. Encuentre el equilibrio de mercado.
Sea P=540-15Q la demanda,
Sabemos que el ingreso total está dado por
IT=PQ
Reemplazamos el precio de la demanda en el ingreso total.
IT=[540-15Q]Q=540Q-15Q^2
Calculemos el ingreso marginal derivando respecto a Q:
IMa= 540-30Q
El costo total según el enunciado es:
𝐶𝑇 = 𝐶𝐹 + 𝐶𝑉 = 𝐶𝐹 + 95 𝑄 + 15 , 5 𝑄^2
Para encontrar el costo marginal, hay que derivar la función de costo total respecto a Q.
CMa= 95+31Q
El punto en que el monopolista maximiza su beneficio económico donde Img=Cmg:
540 - 30Q = 95+31Q
Q=7,
Usando la cantidad para
calcular el precio de acuerdo a la demanda
P=540-15*7,30=430,
CMa
IMa
7,
B
A 430,
D
0
100
200
300
400
500
600
0,0 5,0 10,0 15,
Precio
Cantidad
- Un monopolista con una función de costes totales iguales a 𝐶 𝑋 = 40𝑋 abastece a un mercado con una función de demanda igual a 𝑋𝐷^ = 100 – 𝑝
Obtenga: a) El equilibrio del monopolista b) Exprese el ingreso marginal en función del precio y la elasticidad precio de la demanda.
2 2 2 2 2 2
2
La C.P.O de maximización ed Beneficio requiere.
Para Max el beneficio del monopolista:
x ( )^200
B x I x C x IMg CMg IMg CMg
x x x x x x x
p x x I x p x x x x x x
Max B x x
2 40 ( )^ (40 )
200 4 40 M 40
I x
IMg x
x
x x C x^ x
CMg
x x
IMg CMg x x
^
Sustituyendo en la función inversa de demanda:
200 2 200 2 40 120
120 40 40 40 3.
La producción de equilibrio se corresponde al punto de corte de las curvas de ingreso marginal y coste marginal
M M
M
p x
B
. El precio de equilibrio viene determinado por la curva de demanda para ese nivel de producción
CMa
40,
B
A 120,
D
0
50
100
150
200
250
0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,
Precio
Cantidad
DISCRIMINACION DE PRECIOS:
La única cooperativa agrícola dedicada a la producción y comercialización de la variedad de uva D.O. tiene dos grupos de consumidores potenciales. El primer grupo engloba a las bodegas de la zona, con una función de demanda 𝑥 1 𝐷^ = 100 − 2 𝑃 1. El segundo grupo está formado por los comerciantes de la zona, con una función de demanda 𝑥 2 𝐷^ = 100 − 𝑃 2. La función de coste del monopolista es 𝐶 𝑋 = 5𝑋 + 1500. Entre ambos grupos no hay posibilidad de reventa. La cooperativa vende la caja de uvas (𝑋) a 30 € a la bodega y a 50€ a los comerciantes siendo 𝑋 = 𝑥 1 + 𝑥 2.
a) Tiene la cooperativa un comportamiento maximizador de beneficios?. Si no es así, ¿cuáles serían los precios a los que debería vender a cada grupo para maximizar beneficios?. b) El director de la cooperativa quiere aumentar la cifra de beneficios. Analice si realizar una subasta en la que cada consumidor paga un precio distinto por la caja de uvas consigue dicho objetivo.
1 ,^21 2 1 1 2
- En este problema, el monopolista -la cooperativa- puede realizar discriminación de tercer grado -mercados separados y no hay posibilidad de reventa -.
Maxx (^) xB x ( ) I x ( ) I x ( ) C x ( ) p x ( ) x p x ( ) x C (
1 2
1 1 2 2
, 1 1 2 2
)
..
0 0
( ) (^100 ) (100 ) (5 1.500) x x 2
x
C P O
IMg CMg IMg IMg CMg IMg CMg
Max B x x x x x x
(^1 1) * 1
2 2 2
1 2
Por las C.P.O tenemos:
50 5 45 100 2 5 47,
La producción de equilibrio y los precios de equilibrio son:
45 47,5 92,
IMg CMg x x IMg CMg x x
x x x
1 2
1 1 1 2 2 2
Nótese que para p =30 y p =50 las cantidades ofertadas son
40 y 50 unidades respectivamente. En este caso los IMg en
los mercados serían:
La empr
IMg x
IMg IMg
IMg x
esa puede incrementar sus beneficios aumentando
la producción en el mercado 1 y reduciendo la del mercado 2.
El equilibrio se encuentra en el punto E*
1 1 1 1 1
Si el monopolista vende a los precios de 30 y 50, no Max. el Beneficio
(^100) 27,5 ( 30) 100 2 40 (^2) ( 50) 100 50 100 52,
30 40 50 50 5 90 1.500 1.
Si el monopolis
p^ x^ x^ p^ p x p p p x
B
^ ^ ^ ^
ta realiza discriminación de tercer grado el beneficio de equilibrio sería:
27,5(45) 52,5(47,5) 5(92,5) 1.500 1.768,
B
B B
1 1 1 1 1
Si el monopolista vende a los precios de 30 y 50, no Max. el Beneficio
(^100) 27,5 ( 30) 100 2 40 (^2) ( 50) 100 50 100 52,
30 40 50 50 5 90 1.500 1.
Si el monopolis
p^ x^ x^ p^ p x p p p x
B
^ ^ ^ ^
ta realiza discriminación de tercer grado el beneficio de equilibrio sería:
27,5(45) 52,5(47,5) 5(92,5) 1.500 1.768,
B
B B
- El monopolista puede realizar discriminación de tercer grado. Es decir, el monopolista se apropia del excedente de los consumidores. El ingreso del monopolista coincide con el área por debajo de la curva de demanda para la cantidad vendida (área sombreada).
1 2 1 2 , 1 1 2 2 0 0
1 1 1 2 2 2
Con los datos del ejercicio:
( ) (^100 ) (100 ) (5 1.500) 2
..
( ) (^1005 ) 2 ˆ (^90) ˆ 185 ˆ 95 ( ) (^100 5 )
La cantidad total vendida coincide con la
x x x x Max B x x dx x dx x
C P O
B x x x x (^) x x B x (^) x x
(^) (^)
de Comp. perfecta, ya que el precio al que el monopolista vende la última unidad en ambos mercados es p=CMg=5.
Por lo tanto las funciones de Ingresos y de Costos son: 𝐼𝐹 = 𝑃𝐹 𝑞𝐹 = (50 − 𝑞𝐹 2 )𝑞𝐹^ eq.(6) 𝐼𝐼 = 𝑃𝐼𝑞𝐼 = 100 − 1 2 𝑞𝐼^ 𝑞𝐼^ eq. (7)
𝐶𝑇 = 𝐶 1 + 𝐶 2 = 100 + 𝑞 12 8 + 50 +^
𝑞 22 4 = 150 +^
𝑞 12 8 +^
𝑞 22 4 eq. (8)
También debemos entender que la cantidad total producida (𝑄𝑃^ ) ha de ser igual a la cantidad total vendida (𝑄𝑉^ ). Es decir, 𝑄𝑃^ = 𝑄𝑉^ : 𝑄𝑉^ = 𝑞 1 + 𝑞 2 𝑄𝑃^ = 𝑞𝐹 + 𝑞𝐼 Es decir: 𝑞 1 + 𝑞 2 = 𝑞𝐹 + 𝑞𝐼 ⟹ 𝑞𝐹 = 𝑞 1 + 𝑞 2 − 𝑞𝐼 eq. (9)
La importancia de este supuesto, es que nos permite relacionar la discriminación de precios hacia los mercados de Francia e Italia, con la producción atendida en múltiples plantas. Esto se logra combinando la eq. (9) en la eq. (6) de la siguiente manera:
𝑞 1 +𝑞 2 −𝑞𝐼 2 (𝑞^1 +^ 𝑞^2 − 𝑞𝐼^ )^ eq. (10)
Por lo tanto, para construir la función de beneficios (π) usaremos las ecuaciones 7, 8 y 10:
𝜋 = 50 − 𝑞 1 +𝑞 2 −𝑞𝐼 2 𝑞^1 +^ 𝑞^2 − 𝑞𝐼^ +^200 −^2 𝑞𝐼^ 𝑞𝐼^ −^ 150 +^
𝑞 12 8 +^
𝑞 22 4
𝐼𝐹 𝐼𝐼 𝐶𝑇
Simplificando podremos decir que para maximizar los beneficios debemos establecer que:
𝑀𝑎𝑥. 𝑞𝐹 , 𝑞 1 , 𝑞 2 𝜋^ 𝑞𝐹^ ,^ 𝑞^1 ,^ 𝑞^2 =^50 𝑞^1 −^
5 8 𝑞^1
1 𝑞 2 +^ 𝑞 1 𝑞𝐼 +^50 𝑞 2 −^
3 4 𝑞^2
2 𝑞𝐼 +^50 𝑞𝐼 −^ 𝑞𝐼
(^2) − 150 eq. (11)
C.P.O.
𝛿𝜋 𝛿 𝑞𝐼^ =^ 𝑞^1 +^ 𝑞^2 +^50 −^ 𝑞𝐼^ =^0 𝒒𝑰
𝛿𝜋 𝛿 𝑞 1 =^50 −^
10 8 𝑞^1 −^ 𝑞^2 +^ 𝑞𝐼^ =^0 ⟹^ 𝒒𝟏
𝛿𝜋 𝛿 𝑞 2 =^ −𝑞^1 +^50 −^
6 4 𝑞^2 +^ 𝑞𝐼^ =^0 𝒒𝟐
Utilizando la eq. (9) sabemos que: 𝒒𝑭^ ∗^ = 𝟖𝟏, 𝟐𝟓
Donde los precios de equilibrio serán: 𝑷𝑭^ ∗^ = 𝟑𝟒, 𝟑𝟕𝟓 y 𝑷𝑰^ ∗^ = 𝟓𝟗, 𝟑𝟕𝟓
Y donde los beneficios serán iguales a: 𝝅 = 𝟒𝟔𝟗𝟑, 𝟕𝟓
COMPENTENCIA MONOPOLÍSTICA:
El mercado de detergente (𝑥) formado por cinco empresas, está caracterizado por una situación de competencia monopolística. Las funciones de demanda y costes son iguales para todas las empresas, siendo. Demanda: 𝑝𝑖 = 8,25 − 𝑥𝑖 − 0,2 𝛴𝑗 ≠𝑛^ 𝑖𝑥𝑗 Costes: 𝐶𝑖 = 𝑥𝑖^3 − 2 𝑥𝑖^2 + 3𝑥𝑖.
Determine el equilibrio de una empresa representativa y del mercado y represéntelo gráficamente en los siguientes casos: a) Si existen barreras a la entrada y el número de empresas está dado. b) Si “No” existe libertad de entrada al mercado.
Datos si existen barreras a la entrada n=5:
Demanda: { 𝑥 1 𝐷^ , 𝑥 2 𝐷^ , 𝑥 3 𝐷^ , 𝑥 4 𝐷, 𝑥 5 𝐷^ } = { 𝑥 1 𝐷^ ,…, 𝑥𝑖𝐷^ , …, 𝑥 5 𝐷^ } = 𝑝𝑖 = 8,25 − 𝑥𝑖 − 0,2 𝛴𝑗 ≠^ 𝑛^1 𝑥𝑗
Costos: 𝐶𝑖 = 𝑥𝑖^3 − 2 𝑥𝑖^2 + 3𝑥𝑖
Problema de la empresa representativa:
𝑀𝑎𝑥. 𝑋𝑖^ 𝜋^ 𝑋𝑖^ =^ 𝐼𝑖^ −^ 𝐶𝑖^ =^ 𝑝𝑖^ 𝑥𝑖^ −^ 𝐶𝑖^ = 𝜋 𝑋𝑖 = 8 , 25 − 𝑥𝑖 − 0 , 2 𝛴𝑗^ 𝑛 ≠^1 𝑥𝑗 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖^3 − 2 𝑥𝑖^2 + 3 𝑥𝑖
C.P.O.
𝛿𝜋 𝛿 𝑥𝑖^ =^0
Dado que n=
8,25 − 2 𝑥 1 − 0,2 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 + 𝑥 5 − 3 𝑥 12 − 4 𝑥 1 + 3=
8,25 − 2 𝑥 2 − 0,2 𝑥 1 + 𝑥 3 + 𝑥 4 + 𝑥 5 − 3 𝑥 22 − 4 𝑥 2 + 3=
8,25 − 2 𝑥 3 − 0,2 (𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 4 + 𝑥 5 ) − 3 𝑥 32 − 4 𝑥 3 + 3=0 𝑥∗ 1 = 𝑥∗ 2 = 𝑥∗ 3 = 𝑥∗ 4 = 𝑥∗ 5
8 , 25 − 2 𝑥 4 − 0 , 2 (𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 5 ) − 3 𝑥 42 − 4 𝑥 4 + 3 =
8 , 25 − 2 𝑥 5 − 0 , 2 (𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 ) − 3 𝑥 52 − 4 𝑥 5 + 3 =
Entonces podemos simplificar el problema a tan solo decir que:
8 , 25 − 2 𝑥𝑖 − 0 , 2 4 𝑥𝑖 − 3 𝑥𝑖^2 − 2 𝑥𝑖 + 3 = 0
3 𝑥𝑖^2 − 1 , 2 𝑥𝑖 − 5 , 25 = 0 ⟹ 𝑥𝑖 =
1 , 2 (+/−) 1 , 22 − 4 ∗ 3 ∗ − 5 , 25 2 ∗ 3 ⟹^ 𝒙𝒊
Precio:
Note que con barreras de entradas sucede que:
𝑥𝑖^3 − 2 𝑥𝑖^2 + 3 𝑥𝑖
= 𝑥𝑖^2 − 2 𝑥𝑖 − 3 = 1 , 538 2 − 2 ∗ 1 , 538 − 3 = 2 , 289
Y donde los beneficios serán iguales a: 𝝅 = 𝟒, 𝟗𝟏 > 0
MERCADOS IMPERFECTOS (OLIGOPOLIO):
- Un mercado con una curva inversa de demanda 𝑃 𝑋 = 100 − 𝑋 es abastecido por dos empresas cuyas funciones de costes son: 𝐶 𝑥 1 = 4𝑥 1 y 𝐶 𝑥 2 = 2𝑥 22. Determine el equilibrio de cada empresa en los siguientes casos:
i) Obtenga el equilibrio si las dos empresas consideran al mismo tiempo la reacción de su rival ante cambios en las cantidades (Modelo de Cournot) ii) Analice si estas empresas tienen incentivos a formar un cártel si el beneficio conjunto se distribuye según la cuota de mercado de cada empresa. iii) Analice si una vez formado el cártel, la empresa 2 tiene incentivos a romper el acuerdo. iv) Calcule el equilibrio si la empresa 1 actúa como líder en cantidades (Modelo de Stackelberg)
Respuesta:
a) Modelo de Cournot: “Las empresas compiten entre sí pero toman sus decisiones de manera simultánea”
Problemas de la empresa 1
𝑀𝑎𝑥. 𝑥 1 𝜋^ 𝑥^1 =^100 −^ 𝑥^1 −^ 𝑥^2 𝑥^1 −^4 𝑥^1
C.P.O. 𝛿𝜋 𝛿 𝑥𝑖^ =^0 100 −^ 𝑥^1 −^ 𝑥^2 −^4 =^0
96 −𝑥 2 2 “Curva reacción 1”
Problemas de la empresa 2
𝑀𝑎𝑥. 𝑥 2 𝜋^ 𝑥^2 =^100 −^ 𝑥^1 −^ 𝑥^2 𝑥^2 −^2 𝑥^2
2
C.P.O. 𝛿𝜋 𝛿 𝑥𝑖^ =^0 100 −^ 𝑥^1 −^2 𝑥^2 −^4 𝑥^2 =^0
100 −𝑥 1 6 “Curva reacción 2”
Igualando las curvas de reacción:
96 −(^1006 − 𝑥^1 ) 2 =>^ 𝑥^1
2 𝐶𝑂 (^) = 9 , 5 y 𝑋𝐶𝑂 (^) = 52 , 72
Donde el precio es igual: 𝑃𝐶𝑂^ = 100 − 𝑋𝐶𝑂^ = 100 − 52 , 72 = 47 , 28
Y el beneficio de cada empresa es: 𝛱 1 𝐶𝑂^ = 1872,53 𝛱𝐶𝑂^ = 2140, 𝛱 2 𝐶𝑂^ = 268,
Fig. Curvas de Reacción en cantidades Empresa 1 Vs. Empresa 2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Empresa 2
Cantidad Empresa 1
Ingreso del Cartel
Coste Empresa 1
Coste Empresa 2
b) Situación del Cartel o Colusión: “En el cartel las empresas no compiten entre si, sino que cooperan o coluden para maximizar sus beneficios conjunto. Para esto actuan como fuesen una empresa con múltiples plantas”
Por lo tanto el problema en colusión plantea que:
𝑀𝑎𝑥. 𝑋 𝜋^ 𝑋^ =^100 −^ 𝑋^ 𝑋^ −^4 𝑥^1 −^2 𝑥^2
2
C.P.O.
𝐼𝑀 = 𝐶𝑀 1 𝛿𝐼 𝛿𝑋 =^
𝛿𝐶 1 𝛿𝑥 1 100 −^ 𝑋^ =^4 𝑋
𝛿𝐼 𝛿𝑋 =^
𝛿𝐶 2 𝛿𝑥 2 100 −^2 𝑥^ =^4 𝑥^2 𝑥^2
Donde: 𝑥 1 𝐶𝐴^ = 48 − 1 = 47
Donde el precio es igual: 𝑃𝐶𝐴^ = 100 − 𝑋𝐶𝐴^ = 100 − 48 = 52
Y el beneficio de cada empresa es: 𝛱 1 𝐶𝐴^ = 2256 𝛱𝐶𝐴^ = 2306 𝛱 2 𝐶𝐴^ = 50
c) ¿La empresa 2 tiene incentivos para formar un cartel?
En en el equilibrio de Cournot: El beneficio de cada empresa es: 𝛱 1 𝐶𝑂^ = 1872,53 𝛱𝐶𝑂^ = 2140, 𝛱 2 𝐶𝑂^ = 268,
En en el equilibrio del Cartel:
Y el beneficio de cada empresa es: 𝛱 1 𝐶𝐴^ = 2256 𝛱𝐶𝐴^ = 2306 𝛱 2 𝐶𝐴^ = 50
Obviamente los beneficios conjuntos del cartel son mayores que los beneficios individuales:
𝛱𝐶𝑂^ = 2140,69 < 𝛱𝐶𝐴^ = 2306 ¿Qué hacer? Si comparamos los beneficios tenemos que: 𝛱𝐶𝐴^ − 𝛱𝐶𝑂^ = 2306 − 2140,69 = 165,
Alternativa A: (distribuir los beneficios extraordinarios por partes iguales)
𝛱 1 𝐴^ = 𝛱 1 𝐶𝑂^ + 165, 2 = 1872,53 + 82,65 = 1955,
𝛱 2 𝐴^ = 𝛱 2 𝐶𝑂^ +
Alternativa B: (proporcional a nivel de producción)
𝑥 1 𝐶𝑂^ % = 43, 52,72 = 82%
𝑥 2 𝐶𝑂^ % =
𝛱 1 𝐴^ = 𝛱 1 𝐶𝑂^ + 165,31 ⋅ 82% = 1872,53 + 135,55 = 2008,
𝛱 2 𝐴^ = 𝛱 2 𝐶𝑂^ + 165,31 ⋅ 18% = 268,16 + 29,76 = 297,
¿Otra alternativa?
Que tal si las empresas firman el acuerdo de la alternativa A. Es decir, pactamos a partes iguales las ganancias extraordinarias. En esta situación, deben acordar que la empresa “1” produzca 𝒙𝟏 = 𝟒𝟕 y la empresa “2” 𝒙𝟐 = 𝟏
d) Equilibrio si la empresa 1 actúa como líder en cantidades (Modelo de Stackelberg) Problema de la empresa “ 1 ” como “líder”
𝑀𝑎𝑥. 𝑥 1 𝜋^ 𝑥^1 =^100 −^ 𝑥^1 −^ 𝑥^2 𝑥^1 −^4 𝑥^1 …pero sabemos que: 𝑥 2 = 100 −𝑥 1 6
𝑀𝑎𝑥. 𝑥 1 𝜋^ 𝑥^1 =^100 −^ 𝑥^1 −^
100 −𝑥 1 6 𝑥^1 −^4 𝑥^1 =^
600 − 6 𝑥 1 − 100 +𝑥 1 6 𝑥^1 −^4 𝑥^1 =^
500 − 5 𝑥 1 6 𝑥^1 −^4 𝑥^1
𝑀𝑎𝑥. 𝑥 1 𝜋^ 𝑥^1 =^
500 𝑥 1 − 5 𝑥 12 6 −^4 𝑥^1
C.P.O. 𝛿𝜋 𝛿 𝑥𝑖^ =^0
500 − 10 𝑥 1 6 −^4 =^0 =>^^500 −^10 𝑥^1 =^24 =>^ 𝑥^1 =^47 ,^6
100 − 47 , 6 6 =^8 ,^733
Por lo tanto:
Acutando la empresa “1” como líder, y la empresa “2” como seguidora tenemos que la oferta total es: 𝑋 = 56 , 33
Es decir, el precio es igual a P=100-56,33=43,
Y el beneficio de cada empresa es: 𝛱 1 ∗^ = 1887,82 𝛱∗^ = 2116, 𝛱 2 ∗^ = 228,
- Dos empresas 1 y 2, están eligiendo simultáneamente las cantidades 𝑞 1 y 𝑞 2 , que van a producir de un producto homogéneo. El costo total de producir 𝑞𝑖 por la empresa 𝑖 es 𝐶𝑇𝑖 = 7 𝑞𝑖 para todo 𝑖 = 1 , 2 ; donde la cantidad agregada en el mercado es 𝑄 = 𝑞 1 + 𝑞 2. De igual manera, se sabe que la demanda es tal que 𝑄𝐷^ (𝑃) = 70 − 𝑃. Determine los equilibrios (precios y cantidades), así como los beneficios en cada situación:
i) Las dos empresas consideran al mismo tiempo la reacción de su rival ante cambios en las cantidades. ii) Las dos empresas acuerdan cooperar coludiendo en cantidades para maximizar el beneficio conjunto. iii) Si una de las empresas incumple el acuerdo anterior: ¿qué sucedería con los beneficios? iv) Desde el punto de vista de la teoría de juegos ¿Qué tipo de juego representan los resultados obtenidos? ¿Tienen las empresas una estrategia dominante? ¿Existe un equilibrio de Nash?
i) Las dos empresas consideran al mismo tiempo la reacción de su rival ante cambios en las cantidades
Datos:
𝐶𝑇 1 = 7 𝑞 1 𝐶𝑇 2 = 7 𝑞 2 𝑄 = 𝑞 1 +𝑞 2 𝑃 = 70 − 𝑄 ó 𝑃 = 70 − 𝑞 1 − 𝑞 2.
Corresponde a un planteamiento de Cournot. Problema de maximización de la empresa representativa 𝑖 (hacer esto es lo mismo que hacerlo para la empresa 1 ó la empresa 2 de manera simultánea)
Max 𝐵𝑖 = 𝑃𝑞𝑖 – 𝐶𝑇𝑖 = 70 − 𝑞𝑖 − 𝑞𝑗 𝑞𝑖 – 7 𝑞𝑖 = 70 𝑞𝑖 − 𝑞𝑖^2 − 𝑞𝑖 𝑞𝑗 – 7 𝑞𝑖 = 63 𝑞𝑖 − 𝑞𝑖^2 − 𝑞𝑖 𝑞𝑗 CPO: 𝑑𝐵 𝑑𝑞𝑖^ =^^0
𝑑𝐵 𝑑𝑞𝑖^ =^^63 −^2 𝑞𝑖^ −^ 𝑞𝑗^ =^0 ^ 𝑞𝑖^ =^
63 −𝑞𝑗 2 ^
63 −𝑞 2 2 𝑞 2 =^63 −𝑞^1 2
simetría 𝑞 1^ ∗^ = 𝑞 2^ ∗^ = 𝑞∗^
𝑞∗^ =
63 −𝑞∗ 2 𝑞
𝑞 1^ ∗^ = 𝑞 2^ ∗^ = 21
Respuesta: Q=21+21= P=70-42= 𝐵 1 = 28 ⋅ 21 − 7 ⋅ 21 = 441 𝐵 2 = 28 ⋅ 21 − 7 ⋅ 21 = 441
ii) Las dos empresas acuerdan cooperar como un cartel para maximizar el beneficio conjunto. ¿Qué sucedería con los beneficios si alguna no cumple con los acuerdos?
Corresponde a un planteamiento de Cartel:
Max 𝐵𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑙^ = 𝑃𝑄– 𝐶𝑇 1 − 𝐶𝑇 2 = 70 − 𝑞𝑖 − 𝑞𝑗 𝑞𝑖 + 𝑞𝑗 – 7 𝑞𝑖 − 7 𝑞𝑗 = 63 𝑞 1 + 63 𝑞 2 − 𝑞 12 − 𝑞 22 − 2 𝑞 1 𝑞 2
CPO: 𝑑𝐵
𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑙 𝑑𝑞 1 = 0 y 𝑑𝐵
𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑙 𝑑𝑞 2
𝑑𝐵𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑙 𝑑𝑞 1 =^^63 −^2 𝑞^1 −^2 𝑞^2 =^0 Simetría 𝑞 1^ ∗^ = 𝑞 2^ ∗^ = 𝑞∗^ 𝑞∗^ = 63 − 2 𝑞∗ 2 ^ 𝑞
𝑑𝐵𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑙 𝑑𝑞 2 =^^63 −^2 𝑞^2 −^2 𝑞^1 =^0
Respuesta: Q=15,75+15,75=31, P=70-31,5= 𝐵 1 = 38 ⋅ 31 , 5 − 7 ⋅ 15 , 75 = 992 , 25 𝐵 2 = 38 ⋅ 31 , 5 − 7 ⋅ 15 , 75 = 992 , 25
iii) Si rompe el acuerdo entonces una de ellas produce 𝑞𝑗 = 15 , 75 conociendo las funciones de reacción, entonces:
63 − 15 , 75 2 =^^23 ,^625
Respuesta: Q=23,625+15,75=39, P=70-39,375=30, 𝐵 1 = 30 , 625 ⋅ 23 , 625 − 7 ⋅ 23 , 625 = 558 , 145 𝐵 2 = 30 , 625 ⋅ 15 , 750 − 7 ⋅ 15 , 750 = 372 , 094
0
10
20
30
40
50
60
70
0 10 20 30 40 50 60 70
Empresa 2
Cantidad Empresa 1
MERCADOS IMPERFECTOS – OLIGOPOLIO PRECIOS (Modelo de Bertran):
Suponga que existen dos empresas, 1 y 2, que eligen simultáneamente los precios 𝑝 1 y 𝑝 2 a los que estarían
dispuestos a ofrecer un bien que producen (no diferenciado). Si es conocido por todos que la demanda de los
consumidores es tal que: 𝑞𝑖 𝑝𝑖 , 𝑝𝑗 = 𝑎 – 𝑝𝑖 + 𝑝𝑗.
i) Determine el equilibrio de Bertrand-Nash de esta situación. ii) ¿Es este equilibrio eficiente en el sentido de Pareto?
El modelo de Bertrand es un modelo de competencia imperfecta nombrada en honor de Joseph Louis
François Bertrand (1822-1900). En este se supone que las interacciones entre vendedores (empresas) se
da por medio de la fijación de los precios, donde los compradores decidan cuanto comprar a ese precio.
En este caso se resuelve similar al modelo de Cournot, pero sustituyendo la cantidad por el “ precio ” como
variable estratégica. Por lo tanto el problema se plantea como:
𝑀𝑎𝑥. 𝑝𝑖^ 𝜋^ 𝑝𝑖^ ,^ 𝑝𝑗^ =^ 𝑝𝑖^ ∙^ 𝑞^ 𝑝𝑖^ ,^ 𝑝𝑗^ −^ 𝐶𝑀𝑖^ ∙^ 𝑞𝑖
Ingresos Costos
C.P.O. 𝛿𝜋 𝛿 𝑝𝑖^ = 0^
𝛿𝜋 𝛿 𝑝𝑖^ =^
𝛿[𝑝𝑖∙𝑞𝑖 −𝐶𝑀𝑖 ∙𝑞𝑖 ] 𝛿𝑝𝑖^ =^
𝛿[𝑝𝑖∙ 𝑎−𝑝𝑖 +𝑝𝑗 −𝐶𝑀𝑖 ∙(𝑎−𝑝𝑖 +𝑝𝑗 )] 𝛿𝑝𝑖^ =^0
𝛿𝜋 𝛿 𝑝𝑖^ =^
𝛿[𝑝𝑖 ∙𝑎−𝑝𝑖^2 +𝑝𝑖 ∙𝑝𝑗 −𝑎∙𝐶𝑀𝑖 +𝐶𝑀𝑖 ∙𝑝𝑖 −𝐶𝑀𝑖 ∙𝑝𝑗 ] 𝛿𝑝𝑖^ =^0
𝛿𝜋 𝛿 𝑝𝑖 = 𝑎 − 2 𝑝𝑖 + 𝑝𝑗 + 𝐶𝑀𝑖 = 0 por lo tanto despenjando 𝑝𝑖
𝑎+𝑝𝑗 +𝐶𝑀𝑖 2 “Función de mejor respuesta de^ 𝑖^ = 1,
Por lo tanto en equilibrio se debe satisfacer que:
𝑎+𝑝 2 +𝐶𝑀 1 2 Suponiendo que son indénticas tenemos que 𝐶𝑀 1 = 𝐶𝑀 2 = 𝐶𝑀
𝑎+𝑝 1 +𝐶𝑀 2 2 𝑝 1 ∗^ = 𝑝 2 ∗^ = 𝑎 + 𝐶𝑀
Y la cantidad de equilibrio es por lo tanto:
𝑞𝑖∗^ = 𝑎 − 𝑎 + 𝐶𝑀 + 𝑎 + 𝐶𝑀 = 𝑎 Es decir: 𝑞 1 ∗^ = 𝑎
𝑞 2 ∗^ = 𝑎
Los beneficios serían tal que:
𝜋𝑖 ∗^ = 𝑎 + 𝐶𝑀 ∙ 𝑎 − 𝐶𝑀𝑖 ∙ 𝑎 = 𝑎^2 + 𝑎 𝐶𝑀 − 𝑎 𝐶𝑀 = 𝑎^2
Donde 𝜋 1 ∗^ = 𝑎^2
𝜋 2 ∗^ = 𝑎^2
Gráficamente tendríamos:
¿Qué sucede si las empresas acuerdan formar un cartel de precios?
Por ejemplo supongamos que acuerdan un cartel de precios en el que doblan los precios:
𝑝𝑖 = 𝑝𝑗 = 2 𝑎 + 𝐶𝑀 y por lo tanto cada una produce 𝑞𝑖 = 𝑎
Entonces los beneficios serían:
𝜋𝑖 𝐶𝐴𝑅𝑇𝐸𝐿^ = 2 𝑎 + 𝐶𝑀 ∙ 𝑎 − 𝐶𝑀𝑖 ∙ 𝑎 = 2𝑎^2 + 2𝑎 ∙ 𝐶𝑀 − 𝑎 ∙ 𝐶𝑀 = 2𝑎^2 + 𝑎 ∙ 𝐶𝑀
𝜋 1 𝐶𝐴𝑅𝑇𝐸𝐿^ = 𝜋 2 𝐶𝐴𝑅𝑇𝐸𝐿^ = 2𝑎^2 + 𝑎 ∙ 𝐶𝑀
Obviamente esta solución es mejor que la anterior ya que
𝜋𝑖 𝐶𝐴𝑅𝑇𝐸𝐿^ = 2𝑎^2 + 𝑎 ∙ 𝐶𝑀 > 𝜋𝑖∗^ = 𝑎^2
Pero ¿existe una mejor situación individual?
Por tanto, en el modelo de Bertrand:
- No existe equilibrio estable
- El proceso reiterativo de bajar el precio continuará hasta que alcance su límite económico natural que es el coste marginal.
- La solución de precio y cantidad es exactamente idéntica a la de competencia perfecta.
CR 1 (p 2 )
CR 2 (p 1 )
p 1
p 2
a+CM 2
a+CM
a+CM 2
a+CM Equilibrio Bertrand – Nash
CR 1 (p 2 )
CR 2 (p 1 )
p 1
p 2
a+CM 2
a+CM
a+CM 2
a+CM
