ejercicios propuestos, Ejercicios de Administración de Empresas

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EJERCICIOS PROPUESTOS

Departamento de Economía Aplicada

Universidad Autónoma de Madrid

Tema 1

Estadística Teórica

Introducción a la Probabilidad

1 .- A lo largo del último año se ha realizado un estudio de las diversas iniciativas legislativas presentadas y aprobadas. Para ello, se han obtenido las probabilidades de que una iniciativa legislativa sea aprobada o rechazada en función del grupo parlamentario que la presenta. Los resultados se recogen en la siguiente tabla:

Gobierno Oposición Resto parlamentarios^ de^ grupos

Se aprueba 0,2 0,1 0,

Se rechaza 0,12 0,35 0,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una iniciativa legislativa haya sido presentada por la oposición? Sol. 0,

b) ¿Cuál es la probabilidad de que no se apruebe una iniciativa legislativa? Sol. 0.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que se apruebe una iniciativa legislativa presentada por el gobierno o la oposición? Sol 0,

d) ¿Cuál es la probabilidad de que una iniciativa legislativa presentada por el resto de grupos parlamentarios no se apruebe? Sol 0,

e) ¿Cuál es la probabilidad de que una iniciativa legislativa que no haya sido presentada por el gobierno se apruebe? Sol. 0.

2 .- Dos carreteras salen de una cárcel. Un preso se escapa de la cárcel y elige una carretera aleatoriamente. Si la carretera I es elegida, la probabilidad de escapar es de 0.25, si la carretera II es elegida, la probabilidad de éxito es 0.10. Se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el preso tenga éxito en su escapada? Sol. 0,

b) Si el prisionero escapa con éxito, ¿Cuál es la probabilidad de que escapara utilizando la carretera I? ¿Y la II? Sol. 0,71 y 0,28 respectivamente

3 .- Según una encuesta realizada por una conocida revista, el 33% de los hombres han sido infieles alguna vez, mientras que en el caso de las mujeres este porcentaje es del 23%.

Se pide:

a) Suponiendo que son independientes ambos sucesos en una pareja. ¿Cuál es la probabilidad de que en una pareja heterosexual ambos hayan sido infieles alguna vez? Sol. 0,

Tema 2

Estadística Teórica

Variables Aleatorias

1 .- Sea la variable aleatoria x definida por su función de distribución:

x

x x

x x

x

F x

2

Se pide:

a) Obtenga la función de densidad.

b) Calcule la esperanza matemática de x. Sol. 1,

2 .- Se quiere caracterizar la variable aleatoria resultado de lanzar un dado de seis caras bien construido. Para ello se pide:

a) Construir la función de cuantía y la función de distribución.

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor mayor que 2 y menor o igual que 5? Sol.

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor mayor que 4? Sol 1/

3 .- Suponga que los gastos mensuales en alimentación de una familia en miles de euros es una variable aleatoria cuya función de densidad es:

Determine:

a) El gasto medio en alimentación. Sol 1/3 miles de euros

b) La varianza de esa variable aleatoria. Sol. ≈ 0,39miles de euros^2

c) La probabilidad de que el gasto en alimentación supere los 500 euros. Sol. 0,

resto

x

f x

2 ( 1 ) 0 x 1

4 .- X e Y dos variables aleatorias independientes con varianzas finitas. Se sabe, además, que la E[X]=E[Y]. Si V[X]=V[Y]=2, determinar los valores de V[X-Y] Sol. = 4 y de V [3X-2Y+1] Sol =

5 .- Demuestre a qué es igual la varianza de una diferencia de variables aleatorias (X e Y).

b) Si cada día la máquina fabrica 10 piezas ¿qué probabilidad hay de que en un día cualquiera produzca como máximo un defecto? Sol. 0, c) Determinar la probabilidad de que en 3 días de una semana (semana de 5 días) se produzca como máximo un defecto. Explique este resultado en términos de porcentaje. Sol. 0,

5. - Una empresa aseguradora concluye, a partir de la información contenida en su base de datos, que el número diario de accidentes en carretera de sus clientes sigue una distribución normal de media 20 y desviación típica 15.

a) ¿Qué cifra diaria de accidentes no se superará con una probabilidad del 40%? Sol. 16, b) La empresa decide fusionarse con otra aseguradora en la que le número de accidentes diarios se distribuye como una normal de media 22 y desviación típica 10. ¿Cuál será la probabilidad de que en la fusión se superen los 50 accidentes diarios? Sol. 0,

6 .- Las calificaciones en estadística de los alumnos de una clase siguen una distribución normal con media 5,18 y desviación típica de 1,95. Una empresa encargada de realizar estudios por muestreo desea contratar a aquellos alumnos que hayan sacado más de 8 puntos.

a) ¿Cuál será la probabilidad que tiene un alumno de la clase de ser contratado? Sol. 0, b) ¿Cuál será la probabilidad de que en una clase de 10 sean contratados menos de 2 alumnos? Sol. 0,

7 .- A una parada llega un tren de cercanías con X viajeros. En dicha parada bajan Y viajeros y suben Z viajeros. Sabiendo que las variables aleatorias X, Y y Z siguen una distribución normal con los siguientes parámetros:

XN(100,20) YN(30,12) ZN(40,9)

Se pide:

a) Probabilidad de que suban entre 35 y 45 viajeros. Sol. 0,

b) Calcule el percentil 95 de los viajeros que descienden. Sol. 50 viajeros

c) Cuál es la probabilidad de que el número de viajeros con los que parte el tren (los que llegan menos los que bajan más los que suben) sea inferior a 70. Sol. 0,

Tema 4

Estadística Teórica

Introducción a la Inferencia Estadística

1 .- Se sabe que el peso de los jóvenes entre 14 y 18 años sigue una distribución normal con media 50 kg y desviación típica 25 kg. Para llevar a cabo un estudio del control de peso se seleccionan aleatoriamente 100 jóvenes cuyas edades se encuentran comprendidas en el intervalo señalado. Si el peso medio muestral está entre 45 y 70 kg se considera que están dentro de los límites normales. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio esté fuera de control? Sol. 0,

2 .- Se ha estimado que el 43% de los recién licenciados en periodismo considera que es muy importante tener un curso de ética en su carrera. Los rectores de las universidades de Madrid están considerando la posibilidad de incluir una asignatura de ética en la licenciatura de periodismo. Para asegurarse de que cuentan con el respaldo de la mayoría de los recién licenciados encargan un estudio en el que recaban información de una muestra de 80 individuos que han terminado periodismo en los últimos años en cualquiera de las universidades de Madrid. ¿Cuál es la probabilidad de que más de la mitad de los individuos de la muestra opine que se debe estudiar ética en la carrera de periodismo? Sol. 0,

3 .- Un pediatra del Hospital Niño Jesús está haciendo un estudio sobre la dispersión de los pesos de los recién nacidos en la Unidad de Neonatología durante un año determinado. Por los datos de años anteriores, sabe que la distribución de dichos pesos sigue una distribución normal de varianza 0,55. ¿Cuál es la probabilidad de que tomando una muestra aleatoria de 30 bebés la dispersión de sus pesos sea superior a 0,305 gramos al cuadrado? Sol. 0,

4.- Un profesor de universidad con una dilatada experiencia en corrección de exámenes sabe que las calificaciones de los alumnos en una asignatura se distribuyen según una N (6; 1,5). En la última convocatoria pide a sus ayudantes que obtengan una MAS de tamaño 46 y le den una calificación media de los alumnos presentados a ese examen. Éstos le dicen que la nota media ha sido de 6,3. El profesor sospecha que sus ayudantes no han tomado la muestra y que se han inventado los datos. Así que les dice que sólo lo aceptará como correcto si la probabilidad de obtener una media muestral igual o superior a la observada es mayor del 10% y que en caso contrario les hará corregir todos los exámenes.

a) Según los datos de que dispone, ¿qué cree que deberán hacer los ayudantes? Sol. Corregir todo

b) ¿Cambiaría su respuesta si el profesor desconociera la varianza poblacional? Los resultados de la muestra indican que la media es de 6,3 y la desviación típica de 1,8. Sol. No corregir.

Tema 5

Estadística Teórica

Métodos de Estimación. Propiedades de los estimadores

puntuales

1 .- En una distribución normal de media desconocida y varianza poblacional de 25 se toman muestras aleatorias simples de tamaño 3. Se proponen los siguientes estimadores de la media poblacional:

1 ^0 ,^65 X 1^ ^0 ,^25 X 2 ^0 ,^10 X 3



2 ^2 X^ 3  X 1



1 2 3 3

X  X  X



a) ¿Son estos estimadores insesgados? Sol. si b) ¿Cuál de los tres es más eficiente? Sol. El tercero.

2 .- Se sabe que las ventas en euros de un establecimiento comercial siguen una distribución normal de media desconocida y desviación típica 10.000 euros. Se anotan las ventas a lo largo de cinco días y resultan ser: 120.000 euros, 132.000 euros, 118.000 euros, 106.000 euros y 124.000 euros.

a) Obtenga el estimador máximo-verosímil y demuestre si es insesgado y consistente. b) Además, sabiendo que la cota de FCR es ^2 /n, analice si el estimador es eficiente. c) Calcule la estimación puntual de las ventas medias para esos 5 días. Sol. 120.

3 .- El número de estudiantes por día que atiende un profesor en sus tutorías de la Universidad es una variable aleatoria que se comporta como una Poisson de parámetro , que es desconocido.

a) Determine el estimador máximo verosímil del parámetro. Sol media muestral. b) Analice si es insesgado y consistente. Sol Si. c) Sabiendo que la cota FCR es pq/n, analice si el estimador es eficiente. Sol. Si. d) El profesor ha tomado una muestra aleatoria de 50 días de tutoría y anota el número de estudiantes que han asistido. El número total de estudiantes que asistieron a tutorías en esos 50 días fue de 250. Con estos datos, ¿podría ofrecer una estimación del parámetro  desconocido? Sol. 5

4 .- Se propone como estimador de la proporción poblacional de una variable aleatoria → B (1,p) la proporción muestral. Analice la bondad de este estimador desde el punto de vista de la propiedad de insesgadez. Sol. Insesgado, eficiente, consistente

5 .- El equipo de gobierno de una Universidad encarga un estudio sobre la inserción laboral de los titulados universitarios. Una de las variables que más interés suscita es la proporción de estudiantes que encuentra trabajo durante el año siguiente a su licenciatura. Para ello toma una muestra aleatoria simple de 556 estudiantes de los que 428 contestan que sí han encontrado trabajo durante el año siguiente a su licenciatura.

a) Obtenga el estimador máximo verosímil de la proporción de estudiantes que encuentra trabajo el primer año. Sol. proporción muestral. b) Demuestre si es insesgado. Sol. Insesgado c) A partir de los resultados muestrales, ¿cuál sería la estimación de alumnos que encuentran trabajo en el primer año. Sol 0,

c) Con los datos del problema se ha obtenido un intervalo de confianza para la diferencia de media que resulta ser (3,76; 8,23). ¿Podría decir a qué nivel de confianza se ha realizado en intervalo? Sol. a (3,33; 8,66) c) al 90%

4.- Una variable aleatoria X se distribuye como una normal de parámetros  y σ. Se selecciona una MAS cuyas realizaciones resultan ser:

2,7; 2,71; 2,70; 2,76; 2,74; 2,78; 2,

Construya un intervalo de confianza para la varianza poblacional al 98%. Sol. (0,00034; 0,0065)

5 .- Dos atletas que compiten en la prueba de los 200 metros lisos desean comparar los tiempos que pueden realizar. Para ello toman muestras independientes. El atleta A corre en 200 ocasiones y obtiene una media de 20,01 segundos con una dispersión de 0,1 segundo. El atleta B corre en 100 ocasiones con un tiempo medio de 19,9 segundos y una desviación típica de 0, segundos.

a) Calcule el intervalo de confianza al 95% de la diferencia de tiempos medios entre ambos atletas e intérprete el resultado obtenido. Sol. (0,14; 0,25) b) Si en el intervalo obtenido en el apartado anterior incluye el cero ¿cuál sería la interpretación en ese caso? c) ¿De qué factores depende la amplitud del intervalo?

6 .- Una productora de cine realizó una encuesta en Madrid tomando una muestra aleatoria simple de 1.000 personas y preguntándoles si estarían dispuestas a actuar como extras en la próxima película de Almodóvar. Resultó que 750 de ellas respondieron afirmativamente. De manera independiente, se realizó una encuesta similar para una película de Peter Jackson y, de los 1.500 entrevistados, 900 estarían dispuestos a actuar como extras. Construya un intervalo de confianza al 95 % para la diferencia entre las proporciones de respuestas favorables entre los dos directores de cine. Sol. (0,1496; 0,1865)

Tema 7

Estadística Teórica

Contrastes paramétrico de hipótesis estadísticas

1.- Existe un gran debate sobre las posibilidades de Fernando Alonso de conseguir su tercer mundial de Fórmula 1. Los comentaristas de la cadena de TV española son grandes defensores de Alonso, y consideran que la probabilidad de éxito es del 50%, mientras que los comentaristas de la cadena de TV inglesa creen que las posibilidades de Alonso son menores del 50%). Para dilucidar la cuestión, se decide realizar un muestreo aleatorio simple y preguntar a sus espectadores. Los resultados muestran que 82 individuos, de un total de 200, creen que ganará Alonso. ¿Qué podría decir sobre las hipótesis planteadas a un 5% de significación? Sol. Rechazo Ho. La TV inglesa tiene razón.

2.- La DGT desea analizar si la nueva normativa del carné por puntos ha disminuido la velocidad media a la que circulan los automóviles. Antes de la entrada en vigor de la normativa, la velocidad media en un punto concreto de una autopista era de 140 Km/h, y además se sabía que la variable sigue una distribución normal. Para contrastar las hipótesis se ha tomado una muestra aleatoria simple, observando la velocidad a la que circulaban 30 vehículos. Tras procesar los resultados de la muestra, se obtiene una velocidad media de 138 Km/h y una desviación típica de 5. Se pide:

a) Con los resultados que aporta la muestra, y a un 5% de significación, qué podría decir sobre las hipótesis planteadas. (Cuáles son las hipótesis nula y alternativa, y qué decisión tomaría) b) ¿Qué decisión tomaría si el contraste lo realiza al 1%? Represéntelo gráficamente. Sol. a) Rechazo Ho al 5%. b)No rechazo al 1%

3.- Los miembros de una asociación de estudiantes van a organizar un acto cultural. Uno de ellos cree que la asistencia media a este tipo de actos es de 40 alumnos, en cuyo caso bastaría reservar un seminario. Otro opina que la asistencia es habitualmente mayor, y que convendría reservar un aula más grande. En vista de ello deciden revisar las notas que conservan de actividades similares organizadas anteriormente, y observan que la asistencia media a los 16 últimos actos organizados fue de 56 alumnos, con una desviación típica de 18. Decida a un nivel de significación del 5% qué tipo de aula sería más razonable reservar (se supone que el número de asistentes sigue una distribución normal) Sol. Rechazo Ho, reservar una mayor.

4 .- En un informe presentado por un reportero a una revista feminista se afirma que el número medio de horas semanales de conexión a Internet es el mismo para hombres que para mujeres. Sin embargo no parece prudente publicar estos datos sin contrastarlos estadísticamente. Se selecciona para ello una muestra de 75 hombres y 50 mujeres. Los resultados muestrales se recogen en la siguiente tabla:

Hombres Mujeres Tamaño muestral Número medio de horas/semana Desviación típica muestral Cuasidesviación típica muestral

5.- A partir de los datos proporcionados por el observatorio de empleo de la Universidad

Autónoma de Madrid https://goo.gl/FocnHg se han analizado los datos para una muestra de

titulados en ADE y otra muestra de Maestro (Infantil y Primaria). Se ha hecho un análisis descriptivo, solicitando un intervalo de confianza al 95%. Además, se ha hecho un contraste de diferencia de medias bajo el supuesto de varianzas desconocidas pero iguales. Los resultados obtenidos son:

Haz un breve informe sobre los salarios que cobran los graduados en el último empleo con los resultados obtenidos a partir de los datos facilitados por el observatorio de empleo de la UAM.

Salarios del último empleo ADE Maestros

Media 989,160839 775, Error típico 31,6575628 35, Mediana 1050 750 Moda 1050 300 Desviación estándar 378,569391 420, Varianza de la muestra 143314,784 176772, Curtosis 2,1580822 0, Coeficiente de asimetría 0,2035254 0, Rango 2400 1950 Mínimo 300 300 Máximo 2700 2250 Suma 141450 109350 Cuenta 143 141 Nivel de confianza(95,0%) 62,5810173 70, Extremo Inferior IC 926,579822 705, Extremo Superior IC 1051,74186 845,

Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales

Salarios del último empleo ADE Maestros Media 989,160839 775, Varianza 143314,784 176772, Observaciones 143 141 Varianza agrupada 159924, Diferencia hipotética de las medias 0 Grados de libertad 282 Estadístico t 4, P(T<=t) una cola 4,9492E- Valor crítico de t (una cola) 1, P(T<=t) dos colas 9,8984E- Valor crítico de t (dos colas) 1,

6.- A partir de los datos proporcionados por el observatorio de empleo de la Universidad

Autónoma de Madrid https://goo.gl/FocnHg se han analizado los datos para una muestra de

titulados en ADE y otra muestra de Economía. Se ha hecho un análisis descriptivo, solicitando un intervalo de confianza al 95%. Además, se ha hecho un contraste de diferencia de medias bajo el supuesto de varianzas desconocidas pero iguales. Los resultados obtenidos son:

Haz un breve informe comparando sobre los salarios que cobran los graduados en ADE y en Economía en el primer empleo con los resultados obtenidos a partir de los datos facilitados por el observatorio de empleo de la UAM.

Salario del Primer Empleo ADE Economía

Media 507,831325 591, Error típico 41,527918 42, Mediana 300 300 Moda 300 300 Desviación estándar 378,337339 353, Varianza de la muestra 143139,142 124996, Curtosis 12,6507537 -1, Coeficiente de asimetría 2,86425909 0, Rango 2400 1050 Mínimo 300 300 Máximo 2700 1350 Suma 42150 40800 Cuenta 83 69 Nivel de confianza(95,0%) 82,6122564 84, Extremo Inferior IC 425,219069 506, Extremo Superior IC 590,443582 676,

Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales

Salario del Primer Empleo ADE Economía Media 507,831325 591, Varianza 143139,142 124996, Observaciones 83 69 Varianza agrupada 134914, Diferencia hipotética de las medias 0 Grados de libertad 150 Estadístico t -1, P(T<=t) una cola 0, Valor crítico de t (una cola) 1, P(T<=t) dos colas 0, Valor crítico de t (dos colas) 1,

8.- Se ha repetido el análisis en Excel con los datos del ejercicio anterior, pero usando las fórmulas de cálculo de intervalos de confianza y contrastes de hipótesis.

Fórmula de cálculo para los intervalos de confianza:

en tablasN(0,1) 2

2





z

n

pq p z























 (^) 





Fórmula de cálculo el valor experimental para el contraste de diferencia de proporciones.

Los resultados se resumen a continuación.

Como se observa, los resultados son muy similares. Explica por qué crees que los cálculos con proporciones y con medias muestrales son tan parecidos. ¿Crees que sucedería lo mismo si la variable que indica si está trabajando o no estuviera codificada de otro modo? Argumenta tus respuestas.

 

  

  

  

n m

p p

p (^) x py px py H

1 1 ˆ( 1 ˆ)

( ˆ ˆ ) ( ) 0

Proporción de graduados que trabaja Buen Expediente Aprobado Todos p* (muestral) 0,622 0,587 0, q* (muestral) 0,378 0,413 0, Tamaño muetral 1159 533 Valor tablas (95%) 1,960 1, Intervalo de Confianza Extremo Inf. 0,594 0, Extremo Sup. 0,650 0, Contraste de Hipótesis Valor Experimental 1, Valor Crítico 5% dos colas 1, Valor crítico 5% una cola 1, p-valor una cola 0, p-valor dos colas 0,