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EJERCICIOS DE ESTÁTICA
EST.1 Una barra rígida, delgada y homogénea, de longitud lo y masa mo, se apoya sobre el suelo y sobre un escalón de altura h, formando un ángulo con la horizontal como indica la Figura EST1-1. El centro de masas se localiza entre los puntos de contacto de la barra con el suelo y con el escalón.
Figura EST1-1. Esquema físico
i) Sin hacer cálculos, discutir el equilibrio de la barra a partir de los datos lo, , mo y h, bajo los siguientes supuestos: a) s = e = 0; b) s = 0, e 0, c) s 0, e = 0, d) s 0, e 0. Justifique la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
La barra permanece en equilibrio si hay rozamiento sobre el suelo o sobre el escalón, No existe equilibrio si no existe rozamiento sobre el suelo, Si el centro de masas está por encima del escalón el equilibrio es imposible, Si hay rozamiento en el suelo y en el escalón, el equilibrio siempre es imposible,
h
d
lo
μs
μe
A
B
El momento de fuerzas respecto al punto de apoyo con el suelo siempre es nulo, El número de ecuaciones que ligan las incógnitas (fuerzas de rozamiento y reacciones normales) es tres.
Observe que el equilibrio depende de si la posición del centro de masas de la barra está la izquierda o a la derecha del punto de contacto entre la barra y el escalón; ¿qué pasa si el centro de masas está justo en este punto de contacto?
ii) Dibujar los diagramas de fuerza de la barra bajo los supuestos anteriores, tomando el centro de masas a la izquierda del contacto con el escalón; ¿qué ocurrirá si ubicamos el centro de masas en el borde del escalón?
iii) Sea s = 0, e 0. ¿Cuánto valen las reacciones en los apoyos y la fuerza de rozamiento? Determine qué valores del coeficiente de rozamiento, en función del ángulo, permiten el equilibrio. Demuestre que poniendo el centro de masas de la barra en el punto de contacto la condición de equilibrio es la misma.
iv) Sea s 0, e = 0. Plantee las ecuaciones de equilibrio y resuelva las incógnitas Ne, Ns y fr a partir de los datos mo, lo, h y . Determine el valor mínimo de s que permite el equilibrio, en función de ; dibuje la gráfica = () para el rango de valores 0/2 y distinga las regiones que separa esta gráfica en el plano. ¿Cómo interpreta los valores límite de cuando y cuando - ? (esto le puede dar pistas sobre si la solución del problema es correcta o no).
Sitúe el centro de masas sobre el escalón y explique lo que ocurrirá, ¿es posible el equilibrio? Escriba las ecuaciones de equilibrio y deduzca las incógnitas Ne, Ns y fr a partir de los datos mo, lo, y h. Determine el valor mínimo de s que permite el equilibrio.
v) Considere ahora el caso complejo s 0, e 0. Obtendrá un conjunto de 3 ecuaciones de equilibrio con cuatro incógnitas que conduce a una solución indeterminada. No obstante la asunción de alguna hipótesis sobre qué punto de contacto de la barra alcanza antes el valor límite de la fuerza de rozamiento le permitirá avanzar en la
iii) Sea s = 0 y e 0. ¿Cuánto valen las reacciones en los apoyos y la fuerza de rozamiento? Determine qué valores del coeficiente de rozamiento, en función del ángulo, permiten el equilibrio.
iv) Sea s 0 y e = 0. Plantee las ecuaciones de equilibrio y resuelva las incógnitas Np, Ns y fr,s a partir de los datos mo, lo y . Determine el valor mínimo de s que permite el equilibrio, en función de ; dibuje la gráfica = () para el rango de valores 0/2 y distinga las regiones que separa esta gráfica en el plano. ¿Cómo interpreta los valores límite de cuando y cuando - ?.
v) Considere ahora el caso complejo s 0, e 0. Obtendrá un conjunto de 3 ecuaciones de equilibrio con cuatro incógnitas que conduce a una solución indeterminada. Estudie cómo determinar el ángulo mínimo que mantiene la escalera en equilibrio a partir de los datos lo, s y p.
EST.3 El bloque 1 del conjunto de la Figura EST3-1 pretende desplazarse hacia la derecha mediante una fuerza fo. Las masas de los bloques son m 1 , m 2 y m 3 ; los coeficientes de rozamiento entre superficies son s,1 (entre el suelo y el bloque 1), 1,2 (entre los bloques 1 y 2) y 2, (entre los bloques 2 y 3). El bloque 2 está sujeto a la pared mediante una cuerda inextensible.
Figura EST3-1. Esquema físico
μs,
μ1,
μ2, 11
22
3
fo
i) Sin hacer cálculos, discutir el equilibrio bajo la acción de una fuerza arbitraria fo, asumiendo las siguientes hipótesis: a) s,1 = 1,2 = 2,3 = 0; b) s,1 = 1,2 = 0, 2,3 0, c) s,1 = 0, 1,2 0, 2,3 0, y d) s,1 0, 1,2 0, 2,3 0. Justifique o no las siguientes afirmaciones:
Si s,1 = 1,2 = 0 y fo 0, el equilibrio no es posible, Si fo = s,1(m 1 +m 2 +m 3 ), los cuerpos están en equilibrio, El coeficiente 2,3 no influye en el posible equilibrio, En equilibrio, a punto de deslizar, la tensión de la cuerda es independiente de s,1, La máxima tensión de la cuerda dependen de m 1 , La fuerza de rozamiento entre los bloques 2 y 3 es nula sea cual sea el valor de fo.
ii) Dibujar los diagramas de fuerza de la barra en equilibrio, bajo los supuestos a-d anteriores. ¿Es posible determinar las fuerzas de rozamiento cuando no hay equilibrio?, ¿y cuando hay equilibrio?
iii) ¿Qué valor de la fuerza aplicada, fo,lím separa la condición de equilibrio de la de no equilibrio?
EST.4 En un plano inclinado de ángulo se sitúan dos bloques, uno encima del otro, como indica la Figura EST4-1. El superior está unido a la pared mediante una cuerda inextensible inclinada el mismo ángulo que el plano mientras que el inferior está sometido a una fuerza fo, también en la dirección del plano. Datos: las masas de los cuerpos, m 1 y m 2 , y los coeficientes de rozamiento entre el plano y el bloque 1 y los bloque 1 y 2, p,1 y 1,2, respectivamente.
EST.5 Una barra delgada y homogénea, de longitud lo y masa mo, está apoyada sobre una pared y sujeta al techo mediante un hilo inextensible. Considere los dos casos representados en la Figura EST5-1. Los ángulos 1 y 2 y (el coeficiente de rozamiento con la pared) son datos.
Caso a) Caso b) Figura EST5-1. Esquema físico
i) Caso a). Discuta el equilibrio y comente las siguientes afirmaciones sin hacer cálculos:
El equilibrio no es posible cualquiera que sea el ángulo 2 , 0 /2 (represente el diagrama de fuerzas de la barra y obsérvelo), Si 2 =0 y es suficientemente grande, el equilibrio de la barra es posible
ii) Caso b). Discuta el equilibrio y comente las siguientes afirmaciones sin hacer cálculos:
Tome =0. ¿Es posible el equilibrio? Tome 0. ¿Es posible el equilibrio? Al aumentar el ángulo 2 la tensión del hilo crece (trabaje con los momentos respecto al punto de contacto de la barra con la pared), Al aumentar el ángulo 2 la reacción normal de la pared disminuye y la fuerza máxima de rozamiento también (la barra puede caer con más facilidad).
β 1
β 2
μ
β 2 β 1
μ
lo lo
iii) Tome el caso b) con la hipótesis =0. Dibuje el diagrama de fuerzas de la barra (Observe que 1 > 2. Si los ángulos 1 y 2 son datos, las ecuaciones de equilibrio de fuerzas fx = 0 y fy = 0 permiten resolver las incógnitas T (tensión del hilo) y N (fuerza normal de la pared sobre la barra). ¿No necesita, pues, la ecuación Mto,f = 0 para resolver el problema?, ¿se cumple esta ecuación?, ¿qué le sugiere?. ¿Significa esta ecuación un requisito adicional de equilibrio?
iv) Mantenga la hipótesis =0. Compruebe gráficamente que cuando el hilo pasa por el punto de intersección de las rectas de acción de la fuerza normal y el peso se cumple la condición tg( 1 ) = 2tg( 2 ). Vea que solo en este caso las líneas de acción de las tres fuerzas que actúas sobre la barra se cortan en un único punto (¡no hay momentos!). Dibuje el diagrama de fuerzas para tg( 1 ) > 2tg( 2 ), vea que la tensión crea un momento respecto de punto de intersección de las rectas de acción de la normal y el peso (la barra debe girar en sentido antihorario); dibuje ahora el diagrama de fuerzas para tg( 1 ) < 2tg( 2 ), el momento creado por la tensión, respecto del mismo punto tampoco se anula pero la barra debe girar ahora en sentido horario.
v) Tome 0 en el caso b). Si tg( 1 ) = 2tg( 2 ), ¿qué valor tiene la fuerza de rozamiento? Dibuje el diagrama de fuerzas. ¿Puede deducir el sentido de fr sin hacer cálculos? Distinga entre las condiciones tg( 1 ) > 2tg( 2 ) y tg( 1 ) < 2tg( 2 ). Escriba las ecuaciones de equilibrio, determine las incógnitas fr, N y T, y calcule el valor mínimo de para que la barra se mantenga en equilibrio.
vi) Fije, por ejemplo, 1 = /4. Qué ecuación liga mín con 2 para los casos tg( 1 ) > 2tg( 2 ) y tg( 1 ) < 2tg( 2 ).
EST.6 Una barra delgada y homogénea, de longitud lo y masa mo, apoya uno de sus extremos sobre una superficie horizontal con rozamiento (), formando un ángulo 1. El otro extremo está sujeto a un hilo tenso que forma con la vertical un ángulo 2 como indica la Figura EST6-1(a).
i) Un grupo de alumnos discuten su equilibrio. Entre las afirmaciones que manifiestan y que usted comentará y justificará están las siguientes:
EST.7 El disco de masa mo y radio R, apoyado en una pared inclinada un ángulo con la vertical, está sujeto al punto A de la pared mediante un hilo inextensible enrollado al propio disco, Figura EST7-1. es el coeficiente de rozamiento entre disco y pared, h la altura vertical entre el centro del disco y el punto A.
Figura EST7-1. Esquema físico
i) Comente y justifique las siguientes afirmaciones sin hacer cálculos:
Bajo la hipótesis =0, ¿es posible el equilibrio?, En equilibrio, la tensión del hilo (T) y la fuerza de rozamiento (fr) son iguales, La fuerza de rozamiento crece con , Si = 0, el equilibrio es imposible, Si el punto O (centro del disco) está por encima de A, el disco está en equilibrio cualquiera que sea el valor del coeficiente de rozamiento.
ii) Resolvamos en primer lugar la geometría completa del problema: determine los ángulos y de la figura a partir de , R y h.
iii) Dibuje el diagrama de fuerzas del disco, escriba las ecuaciones de equilibrio y deduzca las incógnitas fr, N (reacción normal de la pared sobre el disco) y T. Determine el coeficiente de rozamiento mínimo (mín) que mantiene el disco en equilibrio.
C
β
O R
M
A
h
μ
γ θ
iv) Para =0, responda las preguntas del apartado iii). ¿Qué ocurre si 2 =/2?
EST.8 Un bloque de masa m 1 y tamaño despreciable, apoyado sobre una superficie horizontal, está unido mediante un cable y un sistema de poleas sin inercia a otro bloque colgante de masa m 2 , como se muestra en la Figura EST8-1. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie es .
Figura EST8-1. Esquema físico
i) Reflexione sobre el equilibrio para los casos =0 y 0. Comente y justifique las afirmaciones:
Si =0, el equilibrio solo es posible para =/2 y m 2 m 1 , Para un dado y 0, el equilibrio se da hasta un valor límite del cociente m 2 /m 1 , por encima de ese valor no es posible el equilibrio, Para un muy pequeño, en el equilibrio, el valor límite de aumenta con m 2 y disminuye con m 1 ,
β
1
2
h
μ
La tensión del hilo aumenta al aumentar ho, La reacción horizontal de la rótula disminuye al crecer ho, La reacción horizontal de la rótula disminuye al crecer ho, Al aumentar do también lo hace la tensión del hilo,
ii) Dibuje el diagrama de fuerzas de la chapa semicircular y la barra rígida unida a ella. Escriba las ecuaciones de equilibrio y deduzca los valores de Rh,rót, Rv,rót y T.
iii) Basándose en los resultados anteriores, ¿Qué cambia de ellos si se sustituye la chapa anterior por otra de las formas indicadas en la Figura EST9-2? El hilo está sujeto en el centro del lado superior de la chapa. Dibuje el diagrama de fuerzas del caso c (chapa en forma de triángulo rectángulo), escriba las nuevas ecuaciones de equilibrio y deduzca Rh,rót, Rv,rót y T.
a) rectangular
A
ho
θ (^) O
do
b) triángulo isósceles
c) triángulo rectángulo
Figura EST9-2. Otras formas de chapa. a) rectangular, b) triángulo isósceles, c) triángulo rectángulo
A
ho
θ (^) O
do
A
ho
θ (^) O do a b
EST.11 Una rótula situada en el punto O fija la chapa semicircular que no cae debido al rozamiento con la pared, Figura EST11-1 a) y b). R es el radio del semicírculo, el coeficiente de rozamiento con la pared y el ángulo de inclinación (0). Suponga conocida la distancia entre el c.d.m. y el punto O.
i) Comente las siguientes afirmaciones manifestando su acuerdo o desacuerdo con ellas:
El equilibrio no es posible si =0, a menos que la reacción normal de la pared sea muy grande, Si existe rozamiento con la pared siempre hay equilibrio, La reacción normal de la pared no está definida, La chapa siempre girará en sentido antihorario a menos que sea muy alto.
ii) Sin hacer cálculos, deduzca que el equilibrio no es posible si =0, para cualquier .
ii) Dibuje el diagrama de fuerzas. Observe que para dos ángulos 1 y 2 suplementarios ( 1 + 2 =) el diagrama es idéntico en cuanto a que proporcionan las mismas ecuaciones de equilibrio. Escriba estas ecuaciones y deduzca las incógnitas Rh,rót, Rv,rót, N y fr. ¿Qué puede concluir?, ¿qué puede decir en relación con el coeficiente de rozamiento necesario para mantener el equilibrio?
iii) En la Figura EST11-2 se ha sustituido la pared por una zapata de freno que presiona con la chapa merced a un muelle de comportamiento lineal cuya longitud se puede regular. Sea k la constante elástica del muelle y lo su longitud en reposo. ¡Ahora ya conoce la reacción normal ejercida contra la chapa semicircular!, ¿cuál es? Determine, para dado, la longitud que debe contraerse el muelle en función del ángulo .
a) b)
Figura EST11-1. Esquema físico
Figura EST11-2. Esquema físico con muelle
EST.12 En el sistema plano de la Figura EST12-1, sobre un disco de radio R y masa mo, apoyado sobre una superficie horizontal con coeficiente de rozamiento s, reposa una barra de longitud lo cuyo extremo izquierdo está sujeto al suelo en el punto A mediante una rótula. El conjunto se encuentra en equilibrio. El coeficiente de rozamiento entre la barra y el disco es b y el ángulo formado por la barra con la superficie horizontal es .
do μ
c.d.m. R
β O
do
μ
c.d.m.
R
O
β
μ
do
c.d.m.
R
O
β
Figura 12-1. Esquema físico
EST.13 Una variante del problema plano anterior se muestra en la Figura EST13-1. Una viga de masa mv y longitud lo descansa sobre un disco de radio y masa md. No existe rozamiento entre la viga y el disco pero si entre estos elementos y la superficie horizontal, v y d, respectivamente. El ángulo de inclinación entre la viga y la superficie horizontal es . (la distancia do puede obtenerla a partir de y R).
Figura EST13-1. Esquema físico del conjunto
μs
c.d.m. μb D O
M
do
lo
β A N
R
μv μd
c.d.m. D O
M
do
lo
β A N
R
i) Qué puede decir de las afirmaciones siguientes:
El equilibrio del disco no es posible cualquiera que sean y d, Si al principio la viga no desplaza su punto de contacto con el suelo, tampoco lo desplazará durante su caída, Para valores de v pequeños la viga desplaza su punto de contacto con el suelo hacia la derecha, El disco rodará sin deslizar desplazándose hacia la izquierda, Cualquiera que sea el valor de d, el momento de las fuerzas sobre el centro del disco no es nulo.
ii) Dibuje los diagramas de equilibrio de la viga y el disco. Escriba las ecuaciones de equilibrio de ambos cuerpos y determine la solución.
iii) ¿A partir de qué valor v el punto de contacto de la viga con el suelo no se mueve durante la caída?
EST.14 Dos barras delgadas y homogéneas de masa mo y longitud lo, apoyadas como se muestra en la Figura EST14-1, están en equilibrio merced a la existencia de rozamiento con la superficie horizontal. En el extremo superior de las barras no existe rozamiento. 2 es el ángulo formado por las barras y el coeficiente de rozamiento.
Figura EST14-1. Esquema físico del conjunto
1 2
μ
2β lo
A C
B
c.d.m.
