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FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE INGENIER´IA AMBIENTAL
Parcial I: Atm´osfera y Radiaci´on de Cuerpo Negro
Nombre: Valentina Guzm´an Arenas Nota:
- Dry Adiabatic Lapse Rate: Los meteor´ologos aplican principios termodin´amicos a la atm´osfera imaginando que “parcelas” infinitesimales discretas de aire son transportadas vertical u horizontalmente por la acci´on del viento y la turbulencia. Las relaciones entre temperatura, presi´on y altura se pueden deducir asumiendo que:
- Los procesos dentro de una parcela son adiab´aticos.
- La parcela est´a siempre a la misma presi´on que el aire que lo rodea, que se supone que est´a en equilibrio hidrost´atico.
- La parcela se mueve lo suficientemente lento como para que su energ´ıa cin´etica sea insig- nificante. Con los supuestos especificados anteriormente, demuestre que cuando una parcela de aire se eleva, su temperatura disminuye a un ritmo constante al aumentar la altura, dado por
−dTdz = (^) cgp
SOLUCI ON´
Principios de termodin´anica Tenemos la siguiente f´ormula: ∆Q = Cp ∆T − v ∆P (1) Como en el enunciado me dice que el proceso es adiab´atico, es decir, ∆Q = 0 queda entonces que: Cp ∆T = v ∆P → ecuacion´ (1) Entonces seg´unla ecuaci´on de la hidrost´atica, me queda: −∆P = ρ g ∆z → ecuacion´ (2) ya que el aire se enfr´ıa cuando va a presiones bajas y realiza el proceso contrario cuando va a presiones altas. As´ı, sustituyo la ecuaci´on (2) en la ecuaci´on (1) y obtengo que : Cp ∆T = −v ρ g ∆z 1
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Cp ∆T = −g ∆z ya que v y ρ = 1 la ecuaci´on quedar´a entonces: ∆T ∆z =^
g Cp
- El radio del Sol es de 6.96× 108 m, y su energ´ıa total emitida es de 3.85 × 1026 W. a) Suponiendo que la superficie del Sol radia como si fuera un cuerpo negro, calcule la tempe- ratura de su superficie. b) Utilizando el resultado del inciso a), determine la λmax para el Sol.
SOLUCI ON´
a) DATOS: σ = 5, 67 × 10 −^8 W/m^2 K^4 A = 6, 96 × 108 m P = 3, 85 × 1026 W
P A =^ e σ T^
4
→ T =
( P
σAe
)^14
T =
( 3 , 85 × 1026 W
4 π(6, 96 × 108 m)^2 (5, 67 × 10 −^8 W/m^2 K^4 )(1)
)^14
T = 5, 7791 × 103 K
b) DATOS:
λmax´ T = 2, 898 × 106 nm K
λm´ax =^2 ,^898 ×^10
(^6) nm K 5 , 7791 × 103 K λm´ax = 501, 46 nm
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= kB T
0 ( 2 πc x khcB T^ )^4. x.^
ex^ − 1
( (^) −hc kB T x
− 2
dx
0
2 πc x^4 ((hck)^4 B T^ )^4
. (^) ex (^1) − 1. hcx−^1 dx
0
2 πcx^4 (kB T )^4 (hc)^3. x
ex^ − 1 dx
= −^2 πck
4 B T 4
h^3 c^3
0
x^3 ex^ − 1 dx ∫ (^) ∞ 0
I(λ, T ) dλ = −^2 π kB^ T^
4 h^3 c^2.
π^4 15 =^ −
2 π^5 k^4 B 15 h^32 T^
(^4) → ecuacion´ (2)
b) DATOS
σ = 215 πh^5 3 kc^4 B 2 c = 2, 998 × 108 m/s h = 6, 626 × 10 −^34 J.s kB = 1, 38 × 10 −^23 J/K Entonces as´ı voy a demostrar que la constante s de la ley de stefan tiene el valor de :
σ =^2 π
(^5) k (^4) B 15 h^3 c^2 (4) reemplazo los datos
σ = 2 π
5 (1, 38 × 10 − 23 J/K) 4
15(6, 626 × 10 −^34 J.s)^3 (2, 998 × 108 m/s)^2 (5)
σ = 5, 670 × 10 −^8 W/m^2. K (6)
- Considere un cuerpo negro con 20 cm^2 de superficie y con una temperatura de 5000 K. a) ¿Cu´anta potencia irradia? b) ¿A qu´e longitud de onda irradia con una m´axima intensidad? Determine la potencia espectral por longitud de onda en c) esta longitud de onda y en longitudes de onda de d) 1 nm (un rayo X o un rayo gama), e) 5 nm (luz ultravioleta o rayos X), f) 400 nm (en el l´ımite entre la luz ultravioleta y la luz visible), g) 700 nm (en el l´ımite entre la luz visible y la luz infrarroja), h) 1 mm (la luz infrarroja o una microonda) e i) 10 cm (una microonda o una onda de radio). j) ¿Aproximadamente cu´anta energ´ıa irradia
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el objeto como luz visible?
SOLUCI ON´ a) DATOS
A = 20cm^2 → 2 × 10 −^3 m^2 T = 5000K
Tengo: P = σAe T 4 (7)
P = (5, 67 × 10 −^8 )(2 × 10 −^3 )(5000)^4 (8)
P = 7 × 104 W (9)
b) Usando la f´ormmula del punto 1
λmax´.T = 2, 898 × 106 nmK (10) reemplazo T
λm´ax =^2 ,^898 ×^10
(^6) nmK 5000 K (11)
λm´ax 579 , 60 nm. (12)
c) Potencia espectral por longitud de onda :
λ = 579, 60 nm (13)
P = AI = A
2 π hc^2 λ^5
e λ khcB T^ − 1
= (2 × 10 −^3 )
2 π hc^2 λ^5
e λ khcB T^ − 1
= (2 × 10 −^3 )
2 π (6, 626 × 10 −^34 )(2, 998 × 108 )^2 λ^5
e
(6, λ (^626) (1×, 3810 ×− 1034 −)(2 23 ,) (5000) 998 × 10 8 ) − 1
= (2 × 10 −^3 )(7, 2397 × 10 −^3 ) (16)
= 14, 4794 × 10 −^6 W (17)
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P = AI = A
2 π hc^2 λ^5
e λ khcB T^ − 1
= (2 × 10 −^3 )
2 π hc^2 λ^5
e λ khcB T^ − 1
= (2 × 10 −^3 )
2 π (6, 626 × 10 −^34 )(2, 998 × 108 )^2 7005
e
(6700 (1, 626 ×, 1038 −×^3410 −)(2 23 , (^998) ) (5000)× 108 ) − 1
= (2 × 10 −^3 )(0, 00397) (33)
= 7, 94 × 10 −^6 W (34)
h)λ = 1mm = 10^6 nm (35)
P = AI = A
2 π hc^2 λ^5
e λ khcB T^ − 1
= (2 × 10 −^3 )
2 π hc^2 λ^5
e λ khcB T^ − 1
= (2 × 10 −^3 )
2 π (6, 626 × 10 −^34 )(2, 998 × 108 )^2 (10^6 )^5
e
(6 10 , (^6266) (1×, 1038 −×^3410 )(2− 23 , (^998) ) (5000)× 108 ) − 1
= (2 × 10 −^3 )(1, 8828 × 10 −^15 ) (38)
= 3, 7656 × 10 −^18 W (39)
i)λ = 10cm = 10^8 nm (40)
P = AI = A
2 π hc^2 λ^5
e λ khcB T^ − 1
= (2 × 10 −^3 )
2 π hc^2 λ^5
e λ khcB T^ − 1
= (2 × 10 −^3 )
2 π (6, 626 × 10 −^34 )(2, 998 × 108 )^2 (10^8 )^5
e(6,^626 ×^10 (10^8 ) (1, 38 −×^3410 )(2−^23 ,^998 ) (5000)×^108 ) − 1
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