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Problema sobre normalidad 1.
Se desea explicar el gasto público en educación (EDUC) en función del Producto
Interior Bruto (PIB). Para ello, se plantea el modelo EDUCi = α 0 + α 1 PIBi + ui y se
cuenta con los datos (en millones de euros) correspondientes a 20 países:
EDUC PIB 122,80 10350, 397,92 12918, 194,22 12983, 535,25 13746, 719,84 14385, 854,09 15625, 392,06 16250, 519,39 16605, 1213,74 22380, 1452,46 30351, 700,35 36665, 1992,84 39895, 2500,16 41506, 1987,76 41969, 1391,63 44752, 1739,41 50287, 1393,21 50918, 3123,89 51320, 2810,16 52662, 2824,96 58417,
a) Estime el modelo por MCO y obtenga los residuos. b) Sabiendo que el coeficiente de asimetría es de -0,4116 y el de curtosis de 2,6661, contraste si los residuos del modelo están normalmente distribuidos ( α = 0, 05). c) Identifique las consecuencias que tiene sobre la estimación de un modelo el incumplimiento de la hipótesis de normalidad.
Problema sobre ecuaciones simultáneas 2.
Dado el modelo:
1 2 3 4 5
t t t t t t
A n B n u B n A n n C v t
Que pretende explicar las variables At y Bt en función de sí mismas y una variable Ct junto con constantes y perturbaciones. Se conocen:
( ) ( ) 2 3 (1 ) (1 ) 5 0 (1 ) ( )^4 AB AB (^) 3 2 C C (^) 0 2 C AB 6 2 ′ = ⎛^ ⎞^ ′ =⎛^ ⎞^ ′ ⎛^ ⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ =⎜⎝ ⎟⎠ a) Conocida esta información muestral estimar cada ecuación aplicando distintos métodos. Justificando el porqué de cada uno de ellos. b) Realizar una predicción para la variable At conocido el dato Bt=5. c) Realizar una predicción para la variable Bt conocidos los datos At=5 y Ct=7.
Solución
a) Para identificar el modelo crearemos la matriz A formada por los parámetros estructurales del modelo: 3 1 2 4 5
n n n n n
= ⎢^ ⎥
A
Puesto que solamente hay restricciones de nulidad podemos aplicar el método de la forma estructural. En el modelo hay 2 variables endógenas –A y B- (g) y 2 variables predeterminadas (k) - 1(cte) y C-. El número de variables excluidas en la primera ecuación es una ( ) y el de
la segunda ecuación es cero ( )
e 1 e 2
Primera ecuación.
Método del rango: ρ ( A 1 ) = ρ[ n 5 ]= 1 = g − 1 ecuación identificada
Método del orden: e 1 (^) = 1 = g − 1 ecuación exactamente identificada
Por tanto, la primera ecuación por estar identificada por el método del rango y exactamente identificada por el método del orden, diremos que dicha ecuación está exactamente identificada. Segunda ecuación.
Para ello basta con resolver el sistema:
2 4 6 1 3 0. 4 5 0 5 0. 6 0 2 2 0.
t
De esta forma se obtiene la estimación para la segunda ecuación:
B^ ˆ^ t ≅ 0.37 At + 0.71 −0.09 C
b) Para la predicción en el caso de la variable At conocido el dato Bt=5 utilizamos la expresión anteriormente calculada: A^ ˆ^ t = 3 Bt − 2. 2
t
Por tanto:
A^ ˆ^ t = 3*5 (^) t − 2.2 = 15 − 2.2 =12.
Para la predicción en el caso de la variable Bt conocidos los datos At=5 y Ct= podríamos utilizar la estimación por MCI –estimación consistente- anterior: B^ ˆ^ t ≅ 0.37 At + 0.71 −0.09 C B^ ˆ^ t ≅ 0.37 5 + 0.71 − 0.097 = 1.85 + 0.71 − 0.63 =1.
Problema sobre ecuaciones simultáneas 1.
Dado el modelo:
1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 3 3 2
t t t t t t t t
Y a Y a X u Y b Y b X b X u
= + + + (^) t
Con información de las sumas de los productos cruzados: Y 1 (^) t Y 2 (^) t X 1 (^) t X (^) 2 t X 3 t Y 1 (^) t 3.2 4 3 2 2 Y 2 (^) t 4 5 1 4 2 X (^) 1 t 3 1 1 0 0 X (^) 2 t 2 4 0 2 0 X (^) 3 t 2 2 0 0 1
Se pide: a) Identificar cada una de las ecuaciones del modelo. b) Explicar cuál método escogería para la estimación de los parámetros en cada una de las ecuaciones, de entre: mínimos cuadrados ordinarios (MCO), mínimos cuadramos indirectos (MCI) y mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E) basado en las propiedades estadísticas de las estimaciones. c) Estimar la forma reducida. d) Estimar los parámetros de ambas ecuaciones por los métodos anteriormente elegidos.
Solución
a) Para identificar el modelo crearemos la matriz A formada por los parámetros estructurales del modelo: 1 1 2 2 3
b a A b a b
Puesto que solamente hay restricciones de nulidad podemos aplicar el método de la forma estructural.
Comenzaremos estimando por MCO los parámetros del modelo reducido.
1 1
X X X Y
− −
Π = = ⎢^ ⎥^ ⎢^ ⎥^ =⎢^ ⎥
Por tanto la estimación de la forma reducida será:
1 1 2 2 1 2
t t t t t t
Y X X X
Y X X X
3 3
t t
d) Ahora vamos a estimar el modelo por los métodos elegidos.
- En primer lugar vamos a estimar la primera ecuación del modelo por MC2E. La expresión matricial del estimador MC2E es:
δˆ^ h,MC2E = (Z ' Z )ˆ^1 ˆ^1 −^1 Z ' Yˆ^1 1 con Zˆ^1 =(Y X )ˆ 2 2
Y donde Yˆ 2 es la estimación obtenida en el apartado anterior.
Z ' Zˆ^1 ˆ 1 Yˆ 2 X 2 Y 'ˆ 2 13 4 X ' 2 4 2 13 4 1 0.2 0. 4 2 0.4 1.
Z ' Yˆ 1 1 Y 1
Y 'ˆ 2 11
X ' 2 2
De donde:
ˆ (^) h,MC2E (Z ' Z )ˆ 1 ˆ (^1 1) Z ' Yˆ 1 1 0.2^ 0.4^11 1. 0.4 1.3 2 1.
= −^ = ⎡⎢^ − ⎤ ⎡⎥ ⎢^ ⎤⎥^ =⎡⎢
δ (^) ⎣− ⎦ ⎣ ⎦ ⎣−
2 t
Por tanto
Y ˆ 1^ t = 1.4 Y 2 (^) t −1.8 X
- Ahora estimaremos por MCI la segunda ecuación del modelo.
Para ello basta con resolver el sistema:
1 2 3
b^ b b
3 t
De esta forma se obtiene la estimación para la segunda ecuación:
Y ˆ 2^ t = 2 Y 1 (^) t − 5 X 1 (^) t − 2 X
Problema sobre heterocedasticidad 2.
- Utilizando una muestra de 25 observaciones anuales se estima el siguiente modelo de demanda:
Utilizando solo las 10 primeras observaciones se obtiene la siguiente ecuación estimada:
Del mismo modo, usando las 10 últimas observaciones se obtiene la siguiente ecuación:
Se dispone también de la siguiente información:
Se pide: a) Detectar la existencia de heterocedasticidad y explicar los métodos utilizados.. b) Utilizando los datos facilitados, especificar cuál sería la matriz de transformación más adecuada para solucionar la heterocedasticidad en caso de que la hubiera.
Solución
a) Usaremos el contraste de Goldfeld-Quandt:
Por tanto, rechazamos la hipótesis nula de homocedasticidad al 95% de confianza; es decir, con un nivel de confianza del 95%, las perturbaciones aleatorias son heterocedásticas.
b) Ayudándonos de las regresiones auxiliares, podemos observar cómo la forma funcional que mejor representa los errores en función de la variable Y es:
Por tanto, podemos suponer
De esta forma, la matriz de transformación sería:
Efectivamente,
A partir de la información proporcionada en el enunciado del ejercicio, la detección de la heterocedasticidad se puede llevar a cabo mediante el test de Goldfeld- Quandt, para el cual el estadístico F toma los siguientes valores:
- Para el modelo 1:
2 exp^2 1 1
SCR
F gl SCR gl
- Para el modelo 2:
2 exp^2 1 1
SCR
F gl SCR gl
Como el valor teórico de F 16,16 es 2,33 para un nivel de significación del 5%, se tiene que:
- Para el modelo 1: Como F exp = 7, 714 > Fteo = 2,33 ⇒ Se rechaza la hipótesis
nula de homocedasticidad.
- Para el modelo 2: Como F exp = 1,875 < Fteo = 2,33 ⇒ No se puede rechazar la
hipótesis nula de homocedasticidad.
b) Partiendo del modelo original, para el cual existe heterocedasticidad, se puede
suponer que la varianza de las perturbaciones es proporcional a N (^) i^2 , es decir, que
E u ( i^2^ )= σ^2 Ni^2. Así, dividiendo entre Ni , el término de perturbación del nuevo modelo
es homocedástico:
2 2 2 2 2 i^ i^ i (^2) (^) i 2 i E v E u^ N N N = ⎛⎜^ ⎞⎟= σ^ =σ ⎝ ⎠
Problema sobre autocorrelación 6.
Utilizando una muestra de 25 observaciones anuales se estima mediante MCO el siguiente modelo que estudia la demanda (D) en función del precio (P) y la renta (R):
¿Se puede decir que los estimadores por MCO son óptimos?
Solución
Puesto que en la ecuación aparece la variable dependiente retardada para estudiar la autocorrelación en este modelo hay que utilizar la h de Durbin. En tal caso, se rechaza la hipótesis nula de incorrelación si
donde var es la varianza estimada del coeficiente correspondiente a la variable retardada y es el punto de una distribución N(0,1) que deja a su izquierda una probabilidad
Es evidente que n=25 y var = 0'05 2 = 0'0025. Por otro lado, como d= 2'088 se tiene que.
Luego, sin más que sustituir:
Por tanto, no rechazo la hipótesis nula de incorrelación, y por tanto, los estimadores obtenidos por MCO son óptimos.
Problema sobre autocorrelación 4.
Dado un modelo lineal de consumo en función del PIB con los siguientes datos:
Se pide que contraste la existencia de autocorrelación sabiendo que la regresión del modelo original por MCO produce los siguientes residuos:
Solución
Teniendo en cuenta la información de la tabla
se tiene que
Como d (^) L = 0'6996 y dU = 1'3564, se tiene que dU > d > 4 - d (^) U = 2'6436. Luego, la perturbación aleatoria del modelo considerado está incorrelada.
Problema sobre autocorrelación 3.
Al estimar por MCO un modelo lineal, a partir de 21 observaciones, se obtuvo:
donde las cifras entre paréntesis son las desviaciones típicas. Se pide contrastar la presencia de autocorrelación en la perturbación aleatoria.
Solución
Puesto que como regresora aparece la variable dependiente retardada para estudiar la autocorrelación en este modelo hay que utilizar la h de Durbin. En tal caso, se rechaza la hipótesis nula de incorrelación si
donde var es la varianza estimada del coeficiente correspondiente a la variable retardada y es el punto de una distribución N(0,1) que deja a su izquierda una probabilidad
Es evidente que n=21 y var = 0'18 2 = 0'0324. Por otro lado, como d= 1'21 se tiene que
Luego, sin más que sustituir:
Por tanto, rechazo la hipótesis nula de incorrelación, es decir, hay autocorrelación en la perturbación aleatoria.
Problema sobre autocorrelación 1.
Se dispone de la serie de datos anuales desde 1980 hasta 2009 sobre tasas de pobreza ( POB ) y de desempleo ( D ). La relación entre ambas tasas queda especificada en el siguiente modelo:
POBt = β 0 + β 1 Dt + ut
Los datos (en porcentaje) correspondientes a los 30 años son los que se muestran a continuación:
- 1980 13,0 7, AÑO POB D
- 1981 14,0 7,
- 1982 15,0 9,
- 1983 15,2 9,
- 1984 14,4 7,
- 1985 14,0 7,
- 1986 13,6 7,
- 1987 13,5 6,
- 1988 13,0 5,
- 1989 12,8 5,
- 1990 13,5 5,
- 1991 14,2 6,
- 1992 14,8 7,
- 1993 15,1 6,
- 1994 14,5 6,
- 1995 13,8 5,
- 1996 13,7 5,
- 1997 13,3 4,
- 1998 12,7 4,
- 1999 11,9 4,
- 2000 11,3 4,
- 2001 11,7 4,
- 2002 12,1 5,
- 2003 12,5 6,
- 2004 12,7 5,
- 2005 12,6 5,
- 2006 12,3 4,
- 2007 12,5 4,
- 2008 13,2 5,
- 2009 14,3 9,
a) Contraste la existencia de autocorrelación con un nivel de significación del 5%. b) En caso de que se hubiese planteado el modelo
POBt = β 0 + β 1 Dt + β 2 POBt − 1 + ut , ¿con qué test hubiese contrastado la presencia
de autocorrelación?
Solución
a) El contraste de hipótesis en este caso es:
H 0 : ρ = 0 (Ausencia de autocorrelación) H 1 : (^) ρ ≠ 0 (Presencia de autocorrelación)
Estimando por MCO se tiene que:
POB^ ˆ^ t = 9,945 +0,554 Dt
AÑO 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 et -0,9 -0,2 -0,3 -0,1 0,3 0,07 -0,2 0,12 0,01 -0,1 0,46 0,44 0,7 1,34 1,
AÑO 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 et 0,76 0,77 0,64 0,26 -0,4 -0,9 -0,9 -1,1 -0,8 -0,3 -0,2 -0,2 0,01 0,04 -0,
A partir de los residuos obtenidos es posible calcular el estadístico de Durbin- Watson:
( )
(^30 ) 2 1 (^30 ) 1
t^ t^ t t t
e e d e
=^ −
∑ ∑
