¡Descarga ejercicios resueltos y más Ejercicios en PDF de Matemática educativa solo en Docsity!
SOLUCIONES
EJERCICIOS MATRICES
Ejercicio nº 1.-
Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene
40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene
120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C , contiene 150 g de
queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert.
Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A , 80 de B y 100 de C , obtén
matricialmente la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de
quesos.
Solución:
Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que
buscamos, con las cantidades en gramos.
Ca
R
M
C
B
A
Ca
R
M
A B C
Si queremos las cantidades expresadas en kilogramos, haremos:
Ca
R
M
Ejercicio nº 2.-
Resuelve razonadamente la siguiente ecuación matricial.
X
Solución:
X
Calculamos lainversa de
A
t A Adj A Adj A
1 t Adj A
A
A
Por tanto:
X X
Ejercicio nº 3.-
a) Estudia para qué valores de existe la inversa de la siguiente matriz:
A
b) Calcula para 0.
1
A
Solución:
Utilizando determinantes:
a) Lacondiciónnecesariaysuficienteparaqueexista esque 0.
1
A A
Calculamos A :
A
Por tanto,existe si 6.
1
A
b) Para 0 lamatriz es
A A
1 Adj A Adj A A
t
Por método de Gauss:
a) Estudiamos el rango de A :
Solución:
Utilizando determinantes:
Expresamos el sistema en forma matricial:
Si llamamos:
AX C
z
y
x
C
z
y
x
A X
Para resolverlo, despejamos X multiplicando por la izquierda por A
AX C A AX A C X A C
1 1 1
Comprobamos que 1 0 yhallamos :
1 A A
t Adj A Adj A
1 t Adj A
A
A
Obtenemos X :
1 X A C
Por tanto, la solución del sistema es:
x = 2, y = 0, z = 1
Por método de Gauss:
Calculo de :
1 A
a a
a
a
3 2 1
2
1
a a
a
a
3 5 2
2
1
a
a
a a
3
2
1 2 2
1
a
a a
a
3
2 3
1
A
Ejercicio nº 5.-
Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta:
A : 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas.
B : 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas.
C : 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas.
2 euros/kg.
En ,lasperascuestan1,8euros/kg,lasmanzanas0,8euros/kg,ylas naranjas
En ,lasperascuestan1,5euros/kg,lasmanzanas 1 euro/kg,ylasnaranjas 2 euro/kg.
Enelpuebloenelquevivenhaydosfruterias, y
2
1
1 2
F
F
F F.
a) Expresa matricialmente la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere
comprar cada persona ( A, B, C ).
b) Escribe una matriz con los precios de cada tipo de fruta en cada una de las dos fruterías.
c) Obtén una matriz, a partir de las dos anteriores, en la que quede reflejado lo que se
gastaría cada persona haciendo su compra en cada una de las dos fruterías.
Solución:
b) 1 , 5 1 , 8
a) 2 1 6
1 2
N
M
P
C
B
A
P M N F F
c) El producto de las dos matrices anteriores nos da la matriz que buscamos:
Utilizando determinantes:
Expresamos el sistema en forma matricial.
AX C
z
y
x
C
z
y
x
A X
Para resolverlo,multiplicamosporlaizquierdapor :
1 A
A AX A C X A C
1 1 1
Comprobamo sque 5 0 yhallamos :
1 A A
t Adj A Adj A
1 t Adj A
A
A
Obtenemos X :
X A C
Por tanto, la solución del sistema es:
x = 3, y = 1, z = 0
Por método de Gauss:
Calculo de :
1 A
a
a
a
3
1
2
a a
a a
a
3 1
2 31
1
a a
a
a
5 3 2 2
2
1
a
a a
a
3
2 3
1
a
a
a a
3
2
5 1 3
1
a
a
a a
3
2
1 2 2
A
Ejercicio nº 8.-
Tres familias, A, B, y C, van a ir de vacaciones a una ciudad en la que hay tres hoteles,
cuesta 43 euros/día.En ,ladoblecuesta 85 euros/día,ylasencilla 44 euros/día.
sencillaesde 45 euros/día.En ,lahabitacióndoblecuesta 86 euros/día,yla sencilla
Enelhotel ,elpreciodelahabitacióndobleesde 84 euros/día,yeldela habitación
ydos sencillas.
necesita 3 habitacionesdoblesyunasencilla,ylafamilia necesita 1 habitación doble
y .Lafamilia necesita 2 habitacionesdoblesyunasencilla,la familia
3
2
1
1 2 3
H
H
H
C
H , H H A B
a) Escribe en forma de matriz el número de habitaciones (dobles o sencillas) que necesita
cada una de las tres familias.
b) Expresa matricialmente el precio de cada tipo de habitación en cada uno de los tres
hoteles.
c) Obtén, a partir de las dos matrices anteriores, una matriz en la que se refleje el gasto
diario que tendría cada una de las tres familias en cada uno de los tres hoteles.
Solución:
b) 84 86 85
1 2 3
S
D
C
B
a A
D S H H H
c) El producto de las dos matrices anteriores nos da la matriz que buscamos:
Ejercicio nº 10-
Expresa y resuelve el siguiente sistema en forma matricial:
x y z
x y z
x y z
Solución:
Utilizando determinantes:
Expresamos el sistema en forma matricial:
AX C
z
y
x
C
z
y
x
A X
Para resolverlo,multiplicamosporlaizquierdapor :
1 A
AX C A AX A C X A C
1 1 1
Comprobamo sque 2 0 yhallamos :
1 A A
t Adj A Adj A
1 1 t^1 Adj A
A
A
Obtenemos X :
1 X A C
Por tanto la solución del sistema es:
x = 0, y = 1, z = 1
Por método de Gauss:
Calculo de :
1 A
a a
a a
a
3 1
2 3 1
1
a a
a
a
3 3 2
2
1
a
a a
a a
3
2 2 3
2 1 3
1 A
Ejercicio nº 11.-
de e ( representalamatrizidentidaddeorden 2).
satisfacelaigualdad 0 hallalosvalores numéricos
3 4
Si la matriz
2
x y I
A A xA yI ,
Solución:
Calculamos :
2 A
2 A
Así:
2
x x y
x y x
A xA yI x y
Luego, ha de ser:
y x
x
x
y x
x y
x
x
x y
Por tanto: x = 5; y = 10
a a
a a
a
3 1
2 3 1
1
a
a a
a a
3
2 3 3
1 2
1
a
a
a a
3
2
1 2 3
A
Ejercicio nº 13.-
Una empresa tiene tres factorías, F 1
, F
2
, F
3 , en las que se fabrican diariamente tres tipos
diferentes de productos, A , B y C , como se indica a continuación:
F
1 : 200 unidades de A , 40 de B y 30 de C****.
F
2 : 20 unidades de A , 100 de B y 200 de C****.
F
3 : 80 unidades de A , 50 de B y 40 de C****.
Cada unidad de A que se vende proporciona un beneficio de 5 euros; por cada unidad de
B , se obtienen 20 euros de beneficio; y por cada una de C , 30 euros.
Sabiendo que la empresa vende toda la producción diaria, obtén matricialmente el beneficio
diario obtenido con cada una de las tres factorías.
Solución:
Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que
buscamos:
3
2
1
3
2
1
F
F
F
C
B
A
F
F
F
A B C
Ejercicio nº 14.-
En una pastelería elaboran tres tipos de postres: A, B y C , utilizando leche, huevos y
azúcar (entre otros ingredientes) en las cantidades que se indican:
A : 3/4 de litro de leche, 100 g de azúcar y 4 huevos.
B : 3/4 de litro de leche, 112 g de azúcar y 7 huevos.
C : 1 litro de leche y 200 g de azúcar.
El precio al que se compran cada uno de los tres ingredientes es de 0,6 euros el litro de
leche, 1 euro el kg de azúcar, y 1,2 euros la docena de huevos.
Obtén matricialmente el gasto que supone cada uno de estos tres postres (teniendo en
cuenta solamente los tres ingredientes indicados).
Solución:
El precio de cada litro de leche es de 0,6 euros; el precio de cada gramo de azúcar es de
0,001 euros; y el precio de cada huevo es de 0,1 euros.
Organizamos los datos que nos dan en dos matrices; su producto es la matriz que
buscamos:
C
B
A
H
Az
L
C
B
A
L Az H
Por tanto, el postre A supone 0,95 euros, el B 1,26 euros; y el C , 0,8 euros.
Ejercicio nº 15.-
Halla una matriz, X, tal que AX = B , siendo:
y
A B
Solución:
Utilizando determinantes:
Despejamos enlaecuación,multiplicandoporlaizquierdapor :
1 X A
AX B A AX A B X A B
1 1 1
Comprobamo sque 2 0 yhallamos :
1 A A
t Adj A Adj A
1 t Adj A
A
A
Por tanto:
t Adj A Adj A
1 1 t^1 Adj A
A
A
Obtenemos X :
1 X A C
Por tanto, la solución del sistema es:
x = 1, y = 1, z = 2
Por método de Gauss:
Calculo de :
1 A
a a
a a
a
3 1
2 2 1
1
1
a
a a
a a
3
3 2 2 3
1 2
A
