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Ejercicios de Física I: Mecánica Tema 0: Álgebra Vectorial
ÁLGEBRA VECTORIAL
0.1. Dados dos vectores v 1
r
y v 2
r
que forman un ángulo de 60º y tienen módulos 3 y 4 respectivamente, halla gráfica y analíticamente el módulo del vector suma, y el ángulo que forma
éste con v 1
r
. (û)
0.2. Halla gráfica y analíticamente la suma de los vectores v 1
r
v 2
r
, v 3
r
, v 4
r
y v 5
r
de la figura, siendo sus módulos 6, 4, 5, 3 y 2, respectivamente. Determina, también, el producto
escalar de v 2
r
por v 4
r
y el producto vectorial de v 5
r
por v 4
r
(û)
0.3. Un excursionista inicia un recorrido caminando primero 25 km en una dirección de 45º SE a partir de su campamento. El segundo día camina 40 km en una dirección de 60º NE, y al llegar a ese lugar descubre la torre de un guarda forestal. Determina: a) Las componentes cartesianas del desplazamiento del excursionista en el primer y segundo días; b) Las componentes cartesianas del desplazamiento total para todo su recorrido; c) La magnitud y dirección del desplazamiento total. (û)
0.4. Dados los vectores: a = 5 i ˆ^ + 2 ˆ j^ + 3 k ˆ^ , b = b ix ˆ^ + 2 ˆ j^ + b kz ˆ^ , c = 3 i ˆ^ + cy ˆ j + k ˆ
r r r
, determina
los valores de bx , bz y cy para que a
r
, b
r
y c
r
sean mutuamente perpendiculares. (ûû)
0.5. Dados los vectores: a = i ˆ^ + 2 ˆ j^ + k ˆ^ , b = 2 i ˆ^ − ˆ j^ + k ˆ^ , c = i ˆ^ − ˆ j + 2 k ˆ
r r r
, determina: a) Los
ángulos directores del vector a
r
; b) El vector a + b + c
r r r
; c) El ángulo que forma el vector suma de
los tres vectores con el vector a
r
; d) El producto escalar a b ·
r r
; e) El producto vectorial a × b
r r
. (û)
0.6. Haciendo uso del producto escalar entre vectores, demuestra que todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto (es decir, demuestra que el ángulo α es 90º). (ûû)
0.7. El vector F
r
de módulo 800 ha de descomponerse en dos vectores según las rectas a y b (ver figura). Determina el ángulo α y la componente según la recta b, sabiendo que la componente según la recta a ha de valer
- NOTA: Emplea el teorema del coseno y el teorema de los senos. (ûû)
αα
v 1 r
v 2 r
v 3 r
v 4 r
v 5 r
45º
60º^ 45º
90º
v 1 r
v 2 r
v 3 r
v 4 r
v 5 r
45º
60º^ 45º
90º
60º
α
a
b
F
r
60º
α
a
b
F
r
Ejercicios de Física I: Mecánica Tema 0: Álgebra Vectorial
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL TEMA 0
0.1. S≅6.08; α≅34.7º
0.2. Vector suma: (6.23, 7.33); v 2
r
. v 4
r = 3√ 2 − 3 √ 6 ≈ −3.11; v 5
r x v 4
r
= − 3 √ 3 k ≈ − 5.20 k
0.3. a) Desplazamiento primer día: (17.68, −17.68) km;
Desplazamiento segundo día: (34.6, 20) km
b) Desplazamiento total: (52.3, 2.3) km
c) 52.4 km; 87.5º NE
0.4. bX =14.5; bZ= −51/2; cy= −
0.5. a) Ángulos directores de a : α= 65.9º, β= 35.3º, γ= 65.9º; b) Vector suma: (4, 0, 4); c)
54.7º; d) 1; e) (3, 1, −5)
0.6. Puede verse la demostración en SÁNCHEZ, J. A., Problemas resueltos de Estática ,
1986, Granada, p. 24.
0.7. α= 27.2º y Fb= 422.
Ejercicios de Física I: Mecánica Tema 1: Sistemas de Fuerzas
1.5. Reduce el siguiente sistema de fuerzas, de
la figura, en el punto P = ( 1,− −3). Los
módulos de las fuerzas son: F 1 =10 N, F 2 =30 N, F 3 =7 N, F 4 =15 N y F 5 =8 N. (ûû) Las distancias son en metros.
1.6. Reduce el sistema de fuerzas, de la figura, en el punto P , donde se encuentra aplicada la segunda de las fuerzas. Supón que todas las fuerzas son de módulo 1 N. (û)
1.7. Reduce el sistema de fuerzas, de la figura, en el punto P , donde se encuentra aplicada la tercera de las fuerzas. Supón que todas las fuerzas son de módulo 1 N. (û)
1.8. En algunos sistema de fuerzas es posible encontrar un punto
P x y ( , ) respecto del cual el momento resultante sea igual al
vector nulo. En consecuencia, si se reduce el sistema de fuerzas justo en ese punto, el resultado es un sistema equivalente al anterior, consistente en una única fuerza aplicada en ese punto (sin ningún par). Sabiendo ésto, reduce el sistema de la figura a una única fuerza aplicada en un punto, que deberás determinar, sobre el eje en el que se aplican las
fuerzas. Datos: F 1 = 500 , F 2 = 1500 , F 3 = 2000 ,
F 4 = 2500 ; a = 2 , b = 1 , c = 1.5 (Fuerzas expresadas en
Newtons y distancias en metros). (ûûû)
x
y
F
r
F 2
r
F 3
r
F 4
r
F 5
r
x
y
F
r
F 2
r
F 3
r
F 4
r
F 5
r
F 1
r
F 2
r
F 3
r
F 4
r
a b c
F 1
r
F 2
r
F 3
r
F 4
r
a b c
1m 1m 1m 1m
F 1
r 2
F
r
F 3
r
F 4
r
F 5
r
P
1m 1m 1m 1m
F 1
r 2
F
r
F 3
r
F 4
r
F 5
r
P
2m 2m 2m 2m
2m
F 1
r
F 2
r
F 3
r
F 4
r
F 5
r
F 6
r
P
2m 2m 2m 2m
2m
F 1
r
F 2
r
F 3
r
F 4
r
F 5
r
F 6
r
P
Ejercicios de Física I: Mecánica Tema 1: Sistemas de Fuerzas
1.9. Reduce en el punto A, el sistema de fuerzas esquematizado en la figura.
Datos: F 1 (^) = 2000 N, F 4 (^) = F 5 = 1000 N F 2 (^) = F 3 = 1500 N.(ûû)
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL TEMA 1
1.1. M = 250 m.N (sentido antihorario)
1.2. a) La resultante del sistema de fuerzas, R = [0, −50, 0] N, aplicada en O y un par, en el plano de las fuerzas, de momento MO = − 750 cm.N k. b) Sólo la resultante del sistema, R = [0, −50, 0] N, aplicada en A.
1.3. a) Resultante, R = [3, 0, 0] N, aplicada en O y un par de fuerzas, en el plano de las fuerzas, de momento MO = − 7m.N k b) Resultante, R = [3, 0, 0] N, aplicada en A y un par de fuerzas, en el plano de las fuerzas, de momento MA = − 1m.N k
1.4. b) M P ≈ − 23.9 m.N k
1.5. Resultante, R ≈ [− 20.4, − 12.8, 0] N, aplicada en P y un par de fuerzas, en el plano de las fuerzas, de momento MP ≈ 109.4 m.N k
1.6. Resultante, R = [1, − 5, 0] N, aplicada en P y un par de fuerzas, en el plano de las fuerzas, de momento MP = − 18m.N k
1.7. Resultante R = [(3 − √2)/2, (4+ √2 + √3)/2, 0] N ≈ [0.79, 3.57, 0] N aplicada en P, y un par de fuerzas en el plano de las fuerzas, de momento, M P = (√3 − 2 − 2√2)/2 k ≈ − 1.55 m.N k
1.8. Fuerza vertical con sentido hacia abajo, de módulo 2500 N y aplicada a 3.3 m, a la derecha del punto de aplicación de la fuerza F 1
1.9. Resultante R ≈ [1000, − 4732, 0] N aplicada en A, y un par de fuerzas en el plano de las fuerzas, de momento, MA ≈ − 23124 m.N k
2m
F 1
r F 2
r F 3
r F 4
r
F 5
r
2m 2m 2m
2m
A D
2m
F 1
r F 2
r F 3
r F 4
r
F 5
r
2m 2m 2m
2m
A D
Ejercicios de Física I: Mecánica Tema 2: Equilibrio del punto material y del sólido rígido
a) b) c) d) e)
f) g) h) i) j)
2.5. Dados los sólidos, de peso despreciable, de las figuras, indica para qué valores de α (con
0 ≤ α≤ 90º) : a) El sólido está isostática, parcial, hiperestática o impropiamente ligado; b) El sólido está en equilibrio. (ûûû)
i) ii)
2.6. Dado el sólido, de peso despreciable, de la figura y teniendo en cuenta que α puede variar entre 0º y 90º, ¿cómo está ligado el sólido?, ¿para qué valores de α el sólido está en equilibrio?. (ûû)
2.7. Determina los grados de libertad de un cuadrilátero articulado en sus vértices y déjalo isostática e impropiamente ligado, respectivamente, mediante dos charnelas aplicadas en dos vértices distintos (figura 1). Calcula el número de grados de libertad que poseería este mismo cuadrilátero si insertáramos una nueva barra en diagonal (véase la figura 2). (û)
Figura 1 Figura 2
F
r
2 L
L
F α
r
2 L
L
α
F
r
2 L
L
α
L F
r
2 L
L
α
L
α
P
L L
L
α
P
L L
L
Ejercicios de Física I: Mecánica Tema 2: Equilibrio del punto material y del sólido rígido
2.8. Dos cables, de peso despreciable, se amarran juntos en C y se cargan como se muestra en la figura. Determina analítica y gráficamente la tensión en cada cable sabiendo que hay equilibrio. (û)
2.9. Mediante el sistema de dos poleas de la figura, se intenta levantar un embalaje de 75 kg situado en un camión. ¿Cuál es la tensión que soportan los cables, que suponemos de peso despreciable, en la situación de equilibrio mostrada?. (û)
2.10. Dos fuerzas P
r y Q
r están aplicadas sobre una articulación (véase la figura). Sabiendo que dicha articulación está en equilibrio y que P = 2500 N y Q = 3250 N, halla los módulos de las fuerzas que se ejercen sobre las barras A y B , cuyos sentidos y direcciones están indicados en la figura. (û)
2.11. Halla la tensión a que está sometida cada una de las cuerdas, de peso despreciable, AC , BD , CD , CE y DE de la figura de la izquierda, supuesta una situación de equilibrio. Toma el peso P como un dato del problema. (ûû)
2.12. Un cajón y su contenido pesan 3200 N. Determina la cadena, de peso despreciable, más corta, ACB , que puede usarse para levantar el cajón si la tensión en la cadena no debe exceder de 5500 N. (ûûû)
2.13. Una grúa fija tiene una masa de 1000 kg y se utiliza para elevar un cajón de 2400 kg. Está sujeta mediante una articulación en A (ligadura doble) y un balancín en B (ligadura simple). El centro de gravedad de la grúa está situado en G. Determina las reacciones en A y B , supuesto el equilibrio. (û)
75º
75º
C
200 kg
A
B
75º
75º
C
200 kg
A
B
P
A B
C D
E
P
A B
C D
E
120 cm120 cm
Ejercicios de Física I: Mecánica Tema 2: Equilibrio del punto material y del sólido rígido
2.16. Determina las reacciones en las ligaduras para cada una de las vigas, de peso despreciable, de las figuras inferiores. (ûû)
a) b)
c) d)
2.17. Para el torno representado en la figura, supuesta una situación de equilibrio, halla la tensión en el cable ( T ) y la reacción en O , teniendo en cuenta que F = 200 N, P = 100 N (peso del torno), r = 10 cm, a = 30 cm y θ = 75º. Desprecia en los cálculos tanto el peso de la manivela como el del cable. (û)
2.18. Determina los valores de las fuerzas en las ligaduras que mantienen en equilibrio las armaduras de las figuras, supuestas sin peso y sometidas a las cargas que se indican. En la figura b, los triángulos son equiláteros. (ûûû)
a) b)
P
A^ 30º B
L / 2 L / 2
P^2 PL
A^ 30º B
L / 2 L / 2
2 PL
a
θ
r
O
T
F
a
θ
r
O
T
F
2 m 2 m (^) 2 m
1000 kg 500 kg
2000 kg
30º^ 1.5 m (^) 1.5 m A
2 m 2 m (^) 2 m
1000 kg 500 kg
2000 kg
30º^ 1.5 m (^) 1.5 m A
2 P (^) P
L
A B
C
2 P (^) P
L
A B
C
L
L L L
P P P
A
B
L
L L L
P P P
A
B
Ejercicios de Física I: Mecánica Tema 2: Equilibrio del punto material y del sólido rígido
c) d)
Soluciones de los Ejercicios del Tema 2 2.1. a) Isostáticamente; b) Hiperestáticamente; c) Parcialmente; d) Impropiamente; e) Parcialmente.
2.2. aa) Isostáticamente; ab) Sí; ac) Sí. ba) Impropiamente; bb) No; bc) No. ca) Parcialmente; cb) Sí; cc) Sí. da) Impropiamente; db) No; dc) No.
2.3. aa) Hiperestáticamente; ab) Sí; ac) No. ba) Isostáticamente; bb) Sí; bc) Sí. ca) Impropiamente; cb) Sí; cc) No. da) Impropiamente; db) No; dc) No. ea) Parcialmente; eb) Sí; ec) Sí.
2.4. aa) Isostáticamente; ab) Sí; ac) Sí. ba) Isostáticamente; bb) Sí; bc) Sí. ca) Isostáticamente; cb) Sí; cc) Sí. da) Parcialmente; db) Sí; dc) Sí. ea) Parcialmente; eb) No; ec) No. fa) Hiperestáticamente; fb) Sí; fc) No. ga) Impropiamente; gb) No; gc) No. ha) Impropiamente; hb) No; hc) No. ia) Hiperestáticamente; ib) Sí; ic) No. ja) Impropiamente; jb) No; jc) No.
2.5. i) Ligado isostáticamente para cualquier valor de α, salvo cuando tgα = 0.5, en que estaría ligado impropiamente; Está en equilibrio cuando está ligado isostáticamente y no está en equilibrio cuando tgα = 0.5; ii) Está ligado parcialmente para cualquier valor de α y no está en equilibrio salvo cuando α = 0°, ó α = 180°.
2.6. Impropiamente ligado; no está en equilibrio salvo si α = 45°.
2.7. Cuatro grados de libertad en figura 1 y tres grados de libertad en figura 2.
2.8. TAC ≈ 59.8 kg y TBC ≈ 223.1 kg.
2.9. TAB ≈ 66 kg y TAC ≈ 49 kg.
L
L
P
P P
A
B
L
L
P
P P
A
B
P P P P / 2 P / 2 L
L L L L
A
B C
P P P P / 2 P / 2 L
L L L L
A
B C
Ejercicios de Física I: Mecánica Tema 3: Armaduras planas
ARMADURAS PLANAS
3.1. Resuelve totalmente las siguientes armaduras, de peso despreciable, por el método de los nudos. ()
a) b)
c) d) e)
3.2. Resuelve por el método de Maxwell-Cremona todas las armaduras del ejercicio anterior. ()
3.3. Resuelve por el método de Maxwell-Cremona las armaduras de los ejercicios 2.15. d) , 2.15. e) , 2.18. b) , 2.18. c). ()
3.4. Determina cómo trabajan (módulo y clase de trabajo) las barras señaladas con en las armaduras del ejercicio 3.1, aplicando únicamente el método de las secciones. ()
3.5. Discute razonadamente qué barras no trabajan en las siguientes armaduras, de peso despreciable, e indícalo con un dos trazos cortos paralelos sobre la misma barra. A continuación, resuelve totalmente las armaduras utilizando cualquiera de los métodos disponibles. (NOTA: en el apartado b) sólo se consideran nudos los vértices señalados con un círculo). ()
a) b)
P
L
L
A
B
P
LL
LL
A
B
P (^) L P
A (^) B
P (^) LL P
A (^) B
P
L 30º
60º
A
B
P
LL 30º
60º
A
B
L P
L
A
B
LL P
L
A
B
P 2 P
L
L
L
A B
P 2 P
L
L
L
A B
P P
P
L
L
A B
P P
P
LL
LL
A B
P P P
L
L
A
B
P P P
LL
LL
A
B
Ejercicios de Física I: Mecánica Tema 3: Armaduras planas
3.6. Calcula, empleando el procedimiento más corto, cómo trabajan (módulo y clase de trabajo) las barras señaladas con , en las armaduras de peso despreciable representadas. ()
a) b)
c) d)
e) f)
P
P
P
P
P
L
L
A B
P
P
P
P
P
LL
LL
A B
P
P
P
P
P
L / 2
L
A B
P
P
P
P
P
L / 2
LL
A B
3 L
4 L
3 L P P
A
B
3 L
4 L
3 L P P
A
B
P P
P
P
P
L
L / 2
3 L / 2
L / 2
L / 2
A B
P P
P
P
P
LL
L / 2
3 L / 2
L / 2
L / 2
A B
P
2 P
P
L / 2
2 P
2 P
L
L / 4
L / 2
L / 4
L / 2
A
B
P
2 P
P
L / 2
2 P
2 P
L
L / 4
L / 2
L / 4
L / 4
L / 2
L / 4
L / 2
A
B
P P P P P
L
L
A B
P P P P P
LL
L
A B
