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INTEGRAL DEFINIDA.-CALCULO DE AREASINTEGRAL DEFINIDA.-CALCULO DE AREAS
1.-Calcula el área del recinto limitado por la parábola y=x1.-Calcula el área del recinto limitado por la parábola y=x
y las rectasy las rectas
y=0, x=2, x=6.y=0, x=2, x=6.
Solución:Solución:
La rectaLa recta y = 0y = 0 es el ejees el eje x.x.
El área del recinto limitado por una funciónEl área del recinto limitado por una función f (x),f (x), el ejeel eje xx y la rectasy la rectas x =a, x =b,x =a, x =b,
viene dada por el valorviene dada por el valor absoluto de la integralabsoluto de la integral
bb
aa
II ff((xx)) dxdx
siempre que la funciónsiempre que la función
f(x)f(x)
no corte al ejeno corte al eje
xx
en ningún punto interior delen ningún punto interior del
intervalo [a,b]intervalo [a,b]
66
22
22
II xx dxdx
33 33
66
22
33
xx
Area=Area=
208208
33
208208
33
22
uu
22 .- Calcula el.- Calcula el área limitada poárea limitada por la curr la curvava y = xy = x
33
22
- 8x y el eje x+ 8x y el eje x
Solución:Solución:
Calculamos los puntos de corte de la curva con el ejeCalculamos los puntos de corte de la curva con el eje x :x :
xx xx
33 22
22
22
xx xx xx xx
xx
xx xx xx
Los puntos de corte obtenidos sonLos puntos de corte obtenidos son 00 ,, 22 yy 44 , por tanto el área pedida se halla, por tanto el área pedida se halla
resolviendo las integrales:resolviendo las integrales:
I
∫
2
0
3 2
( x 6 x 8 x)dx
I
∫
− +
4
2
3 2
( x 6 x 8 x)dx
I
2
0
3 2
4
− x + x
x
I
4
2
3 2
4
− x + x
x
Area= 4 +-4=8 u
3.- Calcula el área del recinto limitado por la parábola de ecuación
y = 9 –x
2
y el eje de abscisas.
Solución
Determinamos los puntos de corte de la curva con el eje x:
9-x
=0 x=3; x=-
3
3
3
3
3
2
= − − − + =
= − = −
−
−
∫
x
I x dx x
Area= 36 u
=36 u
4.- Calcula el área del recinto limitado por la parábola y=4x-x
y el eje de
abscisas en
el intervalo [0,6]
Solución:
Comprobamos si hay puntos de corte
dentro del intervalo [0,6].
4x-x
=0⇒x(4-x)=0⇒x=0; x=
Como hay un punto de corte dentro
del intervalo [0,6] que es x = 4, las
integrales a plantear son:
∫
= −
4
0
2
1
I ( 4 x x )dx
4
0
3
2
= −
x
x
=
= − = −
∫
4
0
2
3
4
0
2
( 2 8 ) x
x
I x x dx
=
−
= −
Area=
64
3
64
3
2
u
7.- Area del recinto limitado por la parábola y=3x-x
y la recta y=x-
Solución:
Límites de integración:
2 2
x − x = x − ⇒ x − x− =
Resolviendo la ecuación se obtiene x=3; x=-
Función a integrar:
3
1
2
3
3
1
2
=−
= − − = − −
−
−
∫
x x
x
I x x dx
Area=
− =
2
u
8.- Halla el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y=x
, la
recta de ecuación y=x+2 y el eje OX.
Límites de integración:
Son los puntos de corte de la parábola y la recta:
x x x x
2 2
= + 2 ⇒ − − 2 = 0
−
=
±
=
±
=
x
Función a integrar:
x + 2 −x
2
(Diferencia de las dos funciones)
Hemos de resolver la integral siguiente:
2
1
2 3
2
1
2
=
= + − = + −
−
−
∫
x
x
x
I x x dx
Area u u
= =
2 2
9.- Calcula el área del recinto limitado por la parábola de ecuación
y=2(1-x
) y la
recta de ecuación y=
Solución:
Como la curva es simétrica respecto al eje
de ordenadas, podemos integrar entre 0 y
y multiplicar el resultado por 2.
Límites de integración: 2 1 1 3 2
2 2
( − x )= − ⇒ = x ⇒ x = ±
Función a integrar:
2 2
( − x ) − ( − )= − x
∫
= −
2
3
0
2
I ( 3 2 x )dx
=
−
2
3
0
3
x
x
Area = 4 u
2
12.- Halla el área del recinto limitado por la parábola
y = x
2
, la recta de
ecuación
y = − x+ 2
y el eje OX
Solución:
Punto de corte de la parábola y el eje
OX:
x x
2
= 0 ⇒ = 0
Punto de corte de la recta y el eje
=OX:
− x + 2 = 0 ⇒ x = 2
Punto de corte de la parábola y la
recta:
x x x
2 2
= − + 2 ⇒ + − 2 = 0
x
La solución x = -2 está fuera del eje OX, por tanto, sólo hemos de considerar el
valor
x =
Observando el dibujo, hemos de resolver las integrales siguientes:
2
1
2
1
0
2
1
= = = − + =
∫ ∫
I x dx I x dx
Area = + = u
2
13 .- Encuentre el área acotada por la parábola y = 2 - x
2
y la recta y= -x que
se muestra en la figura.
Para encontrar la intersección entre ambas curvas resolvemos la ecuación:
2 - x
2
= - x.
⇒
x
2
(x - 2)(x + 1) = 0
⇒
x = 2
∨
x = - 1
y= -2 y = 1
Area =
∫
−
− +
2
1
2
( 2 x x)dx =
2
1
3 2
−
− + x x x
= 5 - 1/2 = 9/2 [Unidades de Área].
14 .- Halle el área acotada a la derecha por la recta y = x - 2 a la izquierda
por la parábola x = y
2
y debajo por el eje x.
y = y
2
⇒
y
2
⇒ (y - 2)(y + 1) = 0 ⇒ y = 2 ∨ y = 1
x = 2 x = 1
Area =
∫
2
0
2
( y 2 y )dy
2
0
2 3
y + y− y = 2 + 4 - 8/
∫ ∫
−
3
0
2 2
0
2
2 2
dx
x
x
dx
x
x
∫ ∫
− +
10
1
2
1
5
2
u
du
u
du
10
1
1
5
u u
− − +
= 1/2 – 1/10 – 1/20 + 1/2 = 17/20 [Unidades de Area]
19.- Halle el área encerrada por las curvas: 4y = x
3
e y = x; x ≥ 0
∫
−
4
0
3
dx
x
x
2
0
2 4
x x
− = 2 – 1 - 0 = 1 [Unidades de Area]
20.- Halle el área encerrada por las curvas y = x
2
- 7x + 6; el eje X y las rectas:
Verticales x = 2 y x = 6.
∫
− +
6
2
2
( x 7 x 6 )dx =
6
2
3 2
x
x x
− + −
[Unidades de Area]
