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INGENIERIA DE LA REACCION QUIMICA. CURSO 2008-
1. Se dispone de los siguientes valores de la conversión de equilibrio para la reacción elemental en fase gaseosa
A ⇔ B
con cA0 = 1 mol/L y cB0 = 0 mol/L.
T (ºC) 35 75 95 xe 0,991 0, 789 0,
Calcúlese el valor de la constante de equilibrio K para cada una de las temperaturas. A partir de esta información determínese el calor de reacción, comprobando que puede tomarse como constante. Finalmente, dibújese un esquema de las curvas de rA constante en el diagrama xA – T para esta reacción.
En este caso, admitiendo comportamiento de gas ideal, la constante de equilibrio K es igual a K (^) p y, además, teniendo en cuenta que no hay variación
en el numero de moles igual a Kc.
( ) (^) Ae
Ae A 0 Ae
Ae A
B A 0 B
Ae
Be c (^1) x
x c 1 x
c x
c
c K K −
T (ºC ) 35 75 95
x (^) Ae^0 ,^9910 ,^7890 ,^479 K (^) c 119,11^ 3,74^ 0,
2
0 r RT
H
dt
dln K ∆
1 2
0 r T 1
T 2 T
T
R
H
K
K
ln
T 1 (K ) T 2 (K) ∆rH 0 (cal/mol)
∆r H 0 med=− 17989 , 0 cal/ mol
conversion - temperatura
0
0,
0,
0,
0,
1
273 323 373 423 T, K
xA
2. Considérese que la reacción irreversible en fase gas
2 A ⇒ B + C + 3 D
es de segundo orden. La mezcla reaccionante inicial está formada por 50% en moles de A y 50% de un inerte. Si la reacción se desarrolla a presión y temperatura constantes, dedúzcase una expresión que muestre la variación del volumen de la mezcla con la conversión de A. Escríbase la ecuación cinética en función también de xA.
0 (^ A A)^0 V 0 (^1 xA) p
p T
T
V V 1 x A 0
= +ε = + ε
n(x 0 )
n(x 1 ) n(x 0 ) A
A A A =
2 A
2 A
2 A 0 2 A
2 0
2 A
2 A 0
2 2 A A ( 1 0 , 75 x )
kc ( 1 x ) V ( 1 0 , 75 x )
kn ( 1 x ) V
n r kc k A
3. Una mezcla formada por SO 2 (20% en moles) y aire (80%) se introduce continuamente en un reactor de flujo en el que se desarrolla la reacción
SO 2 + 1 / 2 O 2 ⇔ SO 3
Dedúzcanse las expresiones que muestran la variación de los flujos molares y las concentraciones de reactivos y producto con la conversión de SO 2. El reactor opera isotérmica e isobáricamente a 227 ºC y 1485 kPa.
A ⇔ 2 B
A e
2 B c (^) c
c K (^)
a)RDTAvolumenconstan te
( ) ( )
0 , 072 mol/ L RT
y p RT
p c
2 c x V
n x
V
n c
c 1 x V
n 1 x V
n c
A 0 A 0 A 0
A 0 A 0
A A
B A 0 B B B
A 0 A 0
A A 0 A A
( ) ; x 0 , 43 c ( 1 x )
2 c x K (^1) Ae A 0 Ae
2 A 0 Ae c = = − =
b)PFRpresiónconstan te
A A
A 0 A
0 A A
A A
B A 0 B B B
A A
A 0 A
0 A A
A A 0 A A
1 x
2 c x
V ( 1 x )
F x
V
F
c
1 x
c ( 1 x )
V ( 1 x )
F ( 1 x )
V
F
c
ε^ ε
( ) ( ) ( )
( )( )
; x 0 , 51 1 x 1 x
4 c x
1 x
c 1 x
1 x
4 c x
K (^1) Ae A Ae Ae
2 A 0 Ae
A Ae
A 0 Ae
2 A Ae
2 Ae
2 A 0
c = + − =
( ) (^)
c
2 A A
2 A 0 A A A
A A A 0
c
2 A 0 A A 0 A
2 A A B
1 x K
4 c x 1 x
1 x RFPpcte. r kc
K
4 c x c)RDTAvol.cte. r kc kc kc 1 x
5. La reacción irreversible elemental en fase líquida
2 A ⇒ B
se desarrolla isotérmicamente. Calcúlese el tiempo de reacción necesario para conseguir una conversión del 80% en un RDTA con concentración inicial de A de 2 mol/L. Cacúlese también el volumen de reactor y el tiempo espacial para conseguir esta conversión en: a) Un RCTA b) Un RFP En estos dos casos el reactor se alimenta con un caudal de 2 L/min de una corriente de la misma composición de la mezcla inicial del RDTA. La constante de velocidad a la temperatura de operación vale 0,4 L/mol min.
2 A A A (^) r kc dt
dc RDTA =− =−
5 min. kc ( 1 x )
x c
c
k
kc
dc t dt A 0 A
A A A 0
t
0
c
c
2 A
A
A
A 0
= (^) ∫ =−∫ = −
50 L; 25 min. kc ( 1 x )
Vc x kc ( 1 x )
F x kc
F F
V
RCTA F F rV F F kcV 0
2 A
2 A 0
A 0 A 2 A
2 A 0
A 0 A 2 A
A 0 A
2 A 0 A A A 0 A A
= = −
kc ( 1 x )
x kc ( 1 x )
dx F
dV F
V
RFP dF r dV F dx r dV 0
A
2 A 0
A
x
0
2 A
2 A 0
A
V
A 0 0 A 0
A A A 0 A A A
−
∫ ∫
6. La reacción irreversible en fase gaseosa
A ⇒ 3 P
es de orden cero y se desarrolla isotérmicamente. Calcúlese el tiempo necesario para conseguir una conversión del 80% en: a) Un RDTA a volumen constante b) Un RDTA a presión constante En estos dos casos la concentración inicial de A es de 2 mol/L y el sistema contiene 40% de un inerte. Calcúlese también el volumen de reactor y el tiempo espacial para conseguir esta conversión en: c) Un RCTA d) Un RFP En estos dos casos el reactor se alimenta con un caudal de 2 L/min de una corriente de la misma composición de la mezcla reactiva inicial del RDTA.
( ) x ;V 12 , 9 L; 6 , 45 min 1 x
1 ln k
V
V( 1 x )
kF ( 1 x )
dx F r
dF RFP; V F A A A
A
0
x
0 0 A
A 0 A
A A 0
x
0 A
A A 0
A
A
A = =
= (^) ∫ = ∫ ε ε τ
8. La especie A en disolución y con una concentración de 2 mol/l se convierte en R en un RDTA isotermo, siguiendo una cinética de orden uno. En cada ciclo de operación se consigue una conversión del 95% de A. Este ciclo dura 4 h, distribuidas en 3 h de reacción y 1 h para las operaciones de carga, descarga y limpieza. La demanda de producto en el mercado ha crecido y se quiere duplicar la actual capacidad de produccción. a) Cual es la producción actual, en mol R/h m^3 de reactor b) ¿Funciona el reactor en las condiciones de máxima producción?. En el caso que la respuesta sea negativa, ¿podría duplicarse la producción?.
A → R
Datos : cA 0 = 2 kmol/min, tc=t+td = 3 + 1 = 4 h, xA= 0 , 95
0 , 475 kmolR/m h t t
c x a ) P^3 d
A 0 A R = + =
b ) La producción máxima se obtiene cuando d
A A t t
x dt
dx
Para una reacción irreversible de orden uno x (^) A = 1 −e−kt
Derivando x (^) Ay sustituyendo en la expresión anterior opt d
kt kt t t
1 e e
opt opt
− −
Calculando el valor de A^1 h^1 t
ln( 11 x ) k = −
y resolviendo por tanteo se obtiene topt = 1 , 1 h, luego el reactor no funciona en
condiciones de máxima producción. Para condiciones óptimas de reacción
x (^) A = 1 −e−kt^ opt = 0 , 67 y P 0 , 64 kmol/m^3 h R = y, por lo tanto, no es posible
duplicar la producción.
9. Se dispone de dos reactores continuos de tanque agitado, cuyos volúmenes son V 1 y V 2 = 2 V 1 , para desarrollar una reacción irreversible
A ⇒ B , de primer orden, a temperatura constante. Para un caudal de
alimento V& 0 , ¿cuál de las ordenaciones siguientes daría una mayor
producción de B?:
a) Operación en paralelo de los dos reactores con el mismo tiempo espacial b) Operación en paralelo de los dos reactores de manera que el caudal se reparte igualmente entre los dos reactores c) Operación en serie situando el reactor más grande en primer lugar d) Operación en serie situando el reactor más pequeño en primer lugar
Puede suponerse que el grupo kV 1 /V& 0 vale 1.
A →B: reacc.irrev.deorden 1
x x 3 V
Vx 2 Vx a) x
V x Vx V x
Vc ( 1 x ) Vc ( 1 x ) Vc ( 1 x )
Vc Vc Vc
A 1 A 2 1
1 A 1 1 A 2 A
0 A 1 A 1 2 A 2
0 A 0 A 1 A 0 A 1 2 A 0 A 2
0 A 1 A 1 2 A 2
Además, x (^) A 1 = xA 2 por ser iguales los tiempos espaciales. Escribiendo el
balance de materia a uno cualquiera de los reactores tenemos
V& 1 cA 0 − V& 1 cA 1 −rA 1 V 1 =V& 1 cA 0 −V& 1 cA 0 ( 1 −xA 1 )−kcA 0 ( 1 −xA 1 )V 1 = 0
0 , 75 ; x 0 , 75 1 kV /(V / 3 )
kV /(V / 3 ) 1 kV /V
kV /V V kV
kV x (^) A 1 0
1 0 1 1
1 1 1 1
1 A 1 = =
x x 2 V
Vx Vx b ) x A^1 A^2 1
1 A 1 1 A 2 A
Ahora, teniendo en cuenta que los tiempos espaciales son diferentes calcularemos la conversión alcanzada en ambos reactores
1 kV /(V / 2 )
kV /(V / 2 ) 1 kV /V
kV /V x 1 0
1 0 1 1
1 1 A 1 =
1 k( 2 V )/(V / 2 )
k( 2 V )/(V / 2 ) 1 kV /V
kV /V x 1 0
1 0 2 2
2 2 A 2 =
xA = 0 , 735
c ) En este caso calcularemos primero x (^) A 1 y a continuación x (^) A 2 resolviendo
el sistema de reacción paso a paso
1 k( 2 V )/V
k( 2 V)/V 1 kV /V
kV /V x 1 0
1 0 2 0
2 0 A 1 =
2 i A 0
2 1
2 i A 0 Ai 1 1 i A 0
2 1
2 1 i A 0 1 i A 0 Ai 2 (k 0 , 5 k ) c
( 1 2 k c ) ( 1 2 k c ) 4 (k 0 , 5 k ) c (x k c ) x
Reactor 1) x (^) Ai − 1 =xA 0 = 0 xAi =xA 1 = 0 , 450
Reactor 2) x (^) Ai − 1 =xA 1 = 0 , 450 xAi =xA 2 = 0 , 637
Reactor 3) x (^) Ai − 1 =xA 2 = 0 , 637 xAi =xA 3 = 0 , 731
Reactor 4) x (^) Ai − 1 =xA 3 = 0 , 731 xAi=xA 4 = 0 , 785
3
τtotal =τ 1 +τ 2 +τ 3 + τ 4 = 0 , 17 h; Vtotal = 0 , 60 m
11. Selecciónese el tipo de reactor (flujo de pistón, mezcla completa o intermedio) que favorece la formación de R dada la siguiente estequiometría y órdenes de reacción:
A →^1 R
A →^2 S
A →^3 T
en los siguientes casos: a) n 1 = 0, n 2 = 1, n 3 = 2 b) n 1 = 2, n 2 = 0, n 3 = 1 c) n 1 = 1, n 2 = 0, n 3 = 2
Se sabe que las concentraciones elevadas de reactivo favorecen las reacciones de orden superior. También se sabe que en caso de desear mantener elevados los valores de concentración los reactores de flujo de pistón resultan más indicados, ya que en estos la concentración va disminuyendo a medida que la mezcla reactiva avanza por el reactor, mientras que en los de mezcla completa la concentración desciende instantáneamente hasta el valor final. Con estas ideas analizaremos los tres casos.
a )
La reacción deseada es la de orden más bajo, por tanto interesan concentraciones bajas de A y el reactor más adecuado es el de mezcla completa.
b )
Se trata del caso contrario, la reacción deseada es la mayor orden y, por tanto, optamos por un reactor de flujo de pistón.
c)
Se trata de una situación intermedia a la de los casos anteriores. Interesará por tanto un reactor de flujo intermedio. Analizaremos ahora este tercer caso cuantitativamente. Para ello escribiremos el rendimiento instantáneo de R en función de la concentración de reactivo A
( ) ( ) 3 A A
2 1
1 n 3 n 1 3 A
n 2 n 1 1 2 A
1 n 3 3 A
n 2 2 A
n 1 1 A
n 1 1 A A
R R k c c
k k
k k k c kc
k kc kc k c
kc r
r S
Analizando esta expresión se observa que el segundo y tercer sumandos del denominador presentan efectos contrapuestos. Mientras que el segundo decrece al aumentar c (^) A, el tercero crece. Ahora bien, para valores pequeños
de c (^) Ael segundo término varía más rápidamente con la concentración. Por ello
la curva SR ′^ −cA primero crece hasta alcanzar un máximo y luego decrece al
seguir aumentando la concentración. Por ello optaremos por colocar en primer lugar un reactor de mezcla completa, operando con la concentración correspondiente al máximo de la curva, y a continuación uno de flujo de pistón.
12. Determínese el tipo de reactor (flujo de pistón, mezcla completa o intermedio) y las condiciones (concentración de reactivo elevada, baja o intermedia; temperatura, etc.) que favorecen la formación de R en las reacciones:
A →^1 R →^2 S n 1 = 2 , n 2 = 1 , Ea 1 = 25 , Ea 2 = 35
En el caso de reacciones en serie altas concentraciones de reactivo favorecen la formación del producto intermedio. Vemos, además, que la reacción de consumo de R es de orden inferior al de la reacción de formación. Por lo tanto optaremos por un reactor de flujo de pistón con alimentación concentrada. Por otro lado observamos que la energía de activación de la reacción deseada Ea 1 es menor, por lo que nos interesa trabajar a bajas temperaturas.
13. En un RCTA se llevan a cabo las reacciones en fase líquida A ⇒ B ⇒ C , siendo k 1 = 0,8 h-1^ y k 2 = 0,12 h-1. El reactor se alimenta con
1000 L/h de una disolución 5 M de A.
a) ¿Para qué volumen de reactor se obtiene la máxima concentración de B?. ¿Cuál será la conversión de A?. b) ¿Cuál sería la máxima concentración de B que se podría conseguir en un RDTA?. ¿Qué volumen de reactor se necesitaría para que, obteniendo la máxima concentración posible de B, tuviese la misma capacidad de tratamiento, 1000 L/h?. La suma de los tiempos de llenado, vaciado y limpieza es de 40 min.
2 .a)
c (^) A =cA 0 exp ( −k 1 τ) = 0 , 0184 kmol/m^3
En el máximo de la curva c B− τ, las velocidades de formación y desaparición
de B se igualan
3 A 2
1 A 1 A 2 B B c^0 ,^0184 kmol/m k
kc k c =k c ; c = = =
3 cC =cA 0 −(cA+cB)= 0 , 0132 kmol/m
2 .b ) 3 c (^) A = 0 , 0125 kmol/m
Existen tres formas diferentes de calcular c (^) Ben este caso:
- sustituyendo τ (^) opten la ecuación del balance de materia
[ ( 1 τ ) ( 2 τ)] 2 1
1 A 0 B (^) k k exp k exp k
kc c − − − −
- empleando la ecuación deducida para el cálculo de cBmax k 2 ( k 2 k 1 )
2
1 A 0
Bmax k
k c
c
−
- igualando las velocidades de formación y desaparición de B k 1 cA=k 2 c B
Cualquiera de ellas conduce al mismo valor c (^) B = 0 , 025 kmol/m^3
3 cC = 0 , 0125 kmol/m
15. Las reacciones irreversibles consecutivas de primer orden A ⇒ B ⇒ C se llevan a cabo en dos RCTA en serie de 0,15 m^3 de volumen
cada uno. Las reacciones se desarrollan en fase líquida y a temperatura constante. El reactor se alimenta con 0,15 m^3 /min de una disolución de A exenta de B y C. Calcúlese:
a) El rendimiento de B a la salida del segundo reactor b) El caudal de alimentación que haría máximo el rendimiento de B
A la temperatura de operación las constantes de velocidad valen k 1 = 0, min-1^ y k 2 = 0,05 min-1, respectivamente. a )Balances de materia a A y B en el primer reactor
1 k
c
c c c kc 0 ; A 0 1 1
A 1
A 0 − A 1 − 1 A 1 τ= = + τ =
( )
1 k
c
c k c
c
c
c
c c kc kc 0
2 1
1 A 0
A 1 1 A 0
B 0
A 0
B 1
B 0 B 1 1 A 1 2 B 1 1
τ
τ
τ
Balances en el segundo reactor
1 k
c
c
c
c c c kc 0 ; 1 2
A 0
A 1
A 0
A 2 A 1 A 2 1 A 2 2 =
( )
1 k
c
c k c
c
c
c
c c kc k c
2 2
2 A 0
A 2 1 A 0
B 1
A 0
B 2
B 1 B 2 1 A 2 2 B 2 2
τ
τ
τ
b ) Será aquel que hace máximo el rendimiento en los dos reactores
Vopt =V τ opt & (^) , siendo
11 , 45 min; V 0 , 013 m / min kk
opt 1 2
opt =^ = = τ &
16. Las reacciones irreversibles de primer orden A ⇒ B ⇒ C se llevan a
cabo en un RDTA de 1 m^3 de volumen. Las constantes cinéticas de este proceso son k 1 = 0,4 h-1^ y k 2 = 0,04 h-1. El reactivo A se puede separar fácilmente de la mezcla por destilación, pero no se conoce una manera efectiva para separar B y C. Sin embargo, el mercado aceptaría una mezcla de B y C que no contuviera más de un 4% en moles de C. Se dispone de una disolución de reactivo A cuya concentración es 5 mol/L.
a) ¿Cuánto tiempo se requiere para obtener un producto de la composición deseada?. ¿Cuál sería la concentración de A en el producto que se va a destilar?. ¿Cuál será la producción de B, si el tiempo muerto es de 5 min?. b) Determínese el tiempo de reacción necesario para conseguir la máxima producción de B y compruébese que se cumple la restricción señalada. a )
a ) Balance de materia (^1612000) T
16 12000 T ERT
ERT A (^110) e
10 e 1 Ae
Ae 1 k
k x (^) −
− −
−
τ
τ τ
τ
Balance de energía ( )
∑ j
j 0 pj
0 r A 0 A F c
HF
; J
T 310
J
T T
x
Resolviendo el sistema anterior se obtiene xA = 0 , 983 y T = 363 K
b ) A partir del balance de materia se obtiene que es posible alcanzar la
conversión del 80% operando a 338,5K <340K. Reescribiendo el bance de energía para operación no adiabática
∑ j
j 0 pj
f 0 A (^) F c
UA
J
T T
T
J
x κ
κ κ
; UA 9 , 96
UA
κ= 0 , 53 = =
18. En un RCTA se desarrolla la reacción elemental, endotérmica e irreversible, en fase líquida A + B → C. El reactor dispone de una camisa
de vapor a presión, adecuada para calefacción. La alimentación consiste en una mezcla de A y B, cuya concentración es la misma para los dos e igual a 2 kmol/m^3 , la cual se introduce en el reactor a 300 K, con un caudal 3 10-2^ m^3 /minuto. El volumen total del reactor es 1,2 m^3 , y se quiere obtener una conversión del 60% de A.
a) Encuéntrese la temperatura a la que ha de funcionar el reactor para conseguir la conversión deseada. b) ¿A qué temperatura ha de condensar el vapor de calefacción?. ¿Cuántos kg de vapor de calefacción condensarán por hora?.
La constante cinética vale 1,035 m^3 /kmol h para una temperatura de 300 K y la energía de activación vale 10000 J/mol. El calor de reacción a 300 K val 41860 J/mol de A. Puede considerarse que los valores específicos medios, para el intervalo de temperaturas de trabajo, toman los siguientes calores: cpA = cpB = 83,7 J/mol K; cpC = 167,4 J/mol K. El área de la superficie de transmisión de calor es de 6 m^2. El coeficiente global de transmisión de calor desde el fluido calefactor a la mezcla reactiva vale U = 15070 kJ/h m^2 K. El calor latente de vaporización del agua vale ∆ v H ( kcal / kg )= 606 , 5 − 0 , 695 T (º C ).
2 3 ERT 2 A
2 A 0
A 0 A
2 A
2 A 0 A A 0
A 0 A A
4 , 6910 m /kmolmin Ae c ( 1 x ) V
F x k
F x kc ( 1 x )V 0
F F rV 0
a)
= ⋅ −^ =^ −
m /kmol min 8 , 314 T
m /kmolh 0 , 95 exp 8 , 314 T
57 , 04 exp T
T
R
E
k k exp^33 1
400 K
Rln(k/A)
E
T =
b )
401 , 7 K
T T Jx T T
Jx T T (T T) 0 A f
A 0 f
=
κ
κ
71 , 1 kg/ h H
UA(T T)
m
q UA(T T) m H
v
f v
f v v
=
∆
∆
&
19. En un RCTA se desarrolla la reacción reversible en fase acuosa A ⇔ B. Si el alimento consiste en una corriente de A puro, con un caudal
de 30L/min:
a) Determínese el valor de la temperatura de operación que hace mínimo el volumen del reactor, sabiendo que se quiere conseguir una conversión del 80%. ¿Cuál será la temperatura de entrada para operación adiabática?. b) Como resulta difícil alimentar el reactor a la temperatura calculada en el apartado anterior, se ha pensado utilizar una batería de 2 RCTA en serie con un intercambiador de calor entre ambos que permita el enfriamiento de la mezcla reactiva a la salida del primer reactor. Si la alimentación se introduce en el sistema a 25 ºC, y los dos reactores funcionan de forma adiabática, calcúlese la conversión y la temperatura de entrada en el segundo reactor para que el volumen total sea mínimo, manteniéndose la conversión final del 80%. c) Compárense los volúmenes de reacción para las condiciones de operación de los apartados a) y b).
Puede admitirse que el calor específico de la mezcla reaccionante permanece constante e igual a 374 J/mol K. Las constantes de velocidad, directa e inversa, valen:k = 2,24 10^3 exp(-2400/T) y k´ = 6,78 10^7 exp(- 6428/T), respectivamente.
a ) Se trata de una reacción irreversible de orden dos rA = kcAcB=kc^2 A; ( cA=cB). Para este tipo de reacciones al despejar x (^) A del
Balance de materia tenemos:
( )
Da kc Aexp( E/RT)c 1 , 98 10 exp( 10000 T )
2 Da
1 2 Da 1 4 Da x 11 A 0 A 0
A
= = − = ⋅ −
τ τ
Por otro lado, despejando x (^) Adel Balance de energía
J
T T
T
J
x (^) A^0 f
( )
x 0 , 0059 T 1 , 7527
Vc
UA
184 , 6 K;
Vc
HF
J
A
p p
r A 0
κ
∆
Resolviendo el sistema de ecuaciones con Excel se encuentran tres soluciones
T = 296 , xA = 0
b ) Con el fin de obtener la sensibilidad paramétrica con la temperatura de la
alimentación se repiten los cálculos del apartado anterior para diferentes valores de dicha temperatura, obteniéndose los siguientes resultados
T 0 ,K T,K
sensibilidad paramétrica con T
200
250
300
350
400
450
500
200 250 300 350 T
T
21. En un RDTA se produce la reacción elemental irreversible, en fase líquida A → B + C .El reactor se carga inicialmente con 500 kg de
componente A puro a la temperatura de 340 K.
a) Si el reactor está equipado con una resistencia eléctrica sumergida a la que se aplica una potencia de116 kw, calcúlese el tiempo de reacción necesario para convertir el 75% de la carga inicial de A b) Si el reactor opera adiabáticamente, ¿cuál será el tiempo de reacción necesario para convertir el mismo porcentaje de reactivo A?. c). La constante de velocidad vale 1,928 10^15 exp(-22450/T) min-1. El calor de reacción puede considerarse independiente de la temperatura e igual a 45 kcal/mol. La densidad y el calor específico medio de la disolución (para cualquier temperatura y composición) valen 920 kg/m^3 y 0,6 kcal/kg K, respectivamente. El peso molecular de A vale1154 g/mol
a ) Se trata de operación no isotérmica no adiabática. Por tanto habrá que
plantear los correspondientes balances de Materia y de Energía:
r V dt
dx n dt
dn A A A 0
A = =−
( ) ∑ ∑
j
j pj
A
j
j pj
A 0 r n c
Q
dt
dx nc
n H dt
dT ∆ &
Sustituyendo dxA dt del balance de Materia
( ) ∑ ∑
j
j pj
A j
j pj
r n c
Q
rV nc
H
dt
dT ∆ &
