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Por experiencias realizadas se comprobó que la función de densidad de un fenómeno aleatorio fue la siguiente. Supóngase que la tasa de mortalidad para cierta enfermedad es de 0.10 y que la contraen 10 personas de la comunidad. Supóngase que durante un período de varios años el número promedio de muertes debidas a cierta enfermedad no contagiosa ha sido de diez. Si la v.a. tiene una distribución F, con v1 y v2 grados de libertad, respectivamente. Si la altura de un grupo de pacientes de una pobla
Tipo: Ejercicios
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1. Por experiencias realizadas se comprobó que la función de densidad de un fenómeno aleatorio fue la siguiente: Calcular: a) La expectativa y varianza de X Expectativa : 𝐸 𝑥( ) = 0 2 ∫ 𝑥𝑓 𝑥( )𝑑𝑥 𝐸 𝑥( ) = 0 2 ∫ 𝑥 3 2 (1 − 𝑥) 2 𝑑𝑥 𝐸 𝑥( ) = 3 4 𝑥 2 − 𝑥 3
3 8 𝑥 4 0 2 ∫ 𝐸 𝑥( ) = 3 4 2 2 − 2 3
3 8 2 4 𝐸 𝑥( ) = 3 − 8 + 6 = 1 Varianza : 𝑉 𝑥( ) = 𝐸 𝑥 2
0 2 ∫ 𝑥 2 𝑓 𝑥( )𝑑𝑥
2 𝑉 𝑥( ) = 0 2 ∫ 𝑥 2 3 2 (1 − 𝑥) 2 𝑑𝑥
2 𝑉 𝑥( ) = 0 2 ∫ 3 2 𝑥 2 − 3𝑥 3
3 2 𝑥 4 𝑑𝑥
2 𝑉(𝑥) = 2 3 2 −^ 3 4 2 4
3 10 2 5 𝑉 𝑥( ) = 4 − 12 + 9. 6 − 1 = 0. 6
b) La probabilidad que un valor esté comprendido entre 1/2 y 3/ 𝐹 1. 5( ) − 𝐹(0. 5) 𝐹(1. 5) = 0
∫ 3 2 (1 − 𝑥) 2 𝑑𝑥 = 3 2𝑥 −^ 3 2𝑥^2
𝑥 3 2 0
∫
2 𝐹 1. 5( ) = 3 2 (1. 5^ ) −^ 3 2 (2. 25^ ) +^
2 𝐹 1. 5( ) = 0. 5625 𝐹 0. 5( ) = 0
∫ 3 2 (1 − 𝑥) 2 𝐹 0. 5( ) = 3 2 (0. 5^ ) −^ 3 2 (0. 25^ ) +^
2 𝐹 0. 5( ) = 0. 4375 𝐹 1. 5( ) − 𝐹 0. 5( ) = 0. 5625 − 0. 4374 = 0. 125
2. Supóngase que la tasa de mortalidad para cierta enfermedad es de 0.10 y que la contraen 10 personas de la comunidad. ¿Cuál es la probabilidad de que a) Ninguna sobreviva. 𝑃 (𝑥=10)
10! 10!(10−10)! 0. 15 10 (0. 85 10− ) 𝑃 (𝑥=10)
3628800 3628800(1) 0. 15 10 (1) 𝑃 (𝑥=10)
− b) El cincuenta por ciento muera. 𝑃 (𝑥=5)
10! 5!(10−5)! 0. 15 5 (0. 85 10− ) 𝑃 (𝑥=5)
3628800 120(120) 0. 15 5 (0. 85 5 ) 𝑃 (𝑥=5)
c) Al menos tres mueran. 𝑃 (𝑥<3)
(𝑥=0)
(𝑥=1)
(𝑥=2)
(𝑥=3)
10! 3!(10−3)! 0. 15 3 (0. 85 10− ) 𝑃 (𝑥=3)
3628800 6(5040) 0. 15 3 (0. 85 7 ) 𝑃 (𝑥=3)
5. El número de fallas de un instrumento de fallas debidas a las partículas contaminantes de un producto es una variable aleatoria Poisson con media 0. fallas por hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el instrumento no falle en una jornada de ocho horas? λ = (0. 02)𝑥 8 = 0. 16 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎𝑠 ℎ𝑜𝑟𝑎 x = Como queremos que el instrumento no falle P (x=0)= 𝑒 −0. 𝑥 0. 0 0! =^ 𝑒 −0. = 0. 8521 b) ¿Cuál es la probabilidad de que se presente al menos una falla en un período de 24 horas? λ = (0. 02)𝑥 (24) = 0. 48 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎𝑠 ℎ𝑜𝑟𝑎 x= P (y ≥0)=1 - P(y=0)= 1 𝑒 −0. 𝑥 0. 0 0! = 1 −^ 𝑒 −0. = 0. 3812 6. Un investigador informa que unos ratones a los que primero se les restringen drásticamente sus dietas y después se les enriquecen con vitaminas y proteínas vivirán un promedio de 40 meses. Si suponemos que la vida de tales ratones se distribuye normalmente, con una desviación estándar de 6.3 meses, calcule la probabilidad de que un ratón determinado viva: a ) más de 32 meses; b ) menos de 28 meses; c ) entre 37 y 49 meses. SOLUCIÓN : a) Se nos pide más de 32 meses entonces x= Utilizando la distribución normal estandarizamos Z= = = 1. 𝑥 − 𝑢 σ 32 − 40
Z= 1.26 por tablas: área=0. ∵ Sabiendo que la distribución normal es simétrica decimos que: P ( x > 32 ) = 0. b ) menos de 28 meses P(x<28)P(x<28) = 0,
z=(28-40) / 6,3= -1, P(z< - 1,904761905 ) = 0, c) Tenemos x1=37 y x2=49.Estandarizamos ambas variables Z= = = - 0. 𝑥1 − 𝑢 σ 37 − 40
Z= = = - 1. 𝑥2− 𝑢 σ 49− 40
∵ Para z1 por tablas tenemos de tablas obtenemos que para z=0.47 la probabilidad es 0.6808 pero como necesitamos el recíproco este será z1=1-0.6808=0.3192 Para z2=1.42 por tablas la probabilidad es 0.9222 El área que buscamos está comprendida entre z1 y z2 por tanto restando área superior menos la inferior obtendremos la respuesta P (37 < x < 49 )= 0.9222 - 0.3162= 0.
7. Calcule el valor de z si el área bajo una curva normal estándar a ) a la derecha de z es 0. El área a la izquierda de z es 1 a 0,3622 = 0,6378, que es más cercano al valor que nos dan de 0,6368 a 0,6406. Por lo tanto, elegimos z = 0,35 ya que cogemos el valor que esté más cercano. 0,3622=1,09Z=1, P=(Z>1.09)=0.500-0. P=0, b ) a la izquierda de z es 0.1131; Si tomamos los valores de la tabla y buscamos ese valor Z nos dará -1.21. 0,1131=0, Z=0, P=(Z<0,29)=0,500+0, p=0, c ) entre 0 y z , con z > 0, es 0.4838; El área total a la izquierda de z es 0,5000 + 0,4838 = 0,9838. Por lo tanto, podemos encontrar el valor, z = 2,14. 0,4838=2, Z=2, P=(Z<2.14)=0.500+ p=0,
estadístico sigue una distribución , y, por lo tanto: 7 144 𝑆 2 𝑋 7 2 𝑃𝑟(𝑆 ≤ 10) = 𝑃𝑟(𝑆 2 ≤ 100) = 𝑃𝑟 7 144 𝑆 2 ≤ 700 ( 144 ) = 𝑃𝑟(𝑇 ≤ 4, 8611) Donde la variable T sigue una distribución 𝑋, es decir: 7 2 𝑃𝑟(𝑆 ≤ 10) = 0. 3232
11. Sea T una v.a. que tiene una distribución t con v grados de libertad. Calcular: a) P [ ⏐T⏐ > 2.228], cuando v= 10 b) P [ -1.753 ≤ T ≤ 2.602 ], cuando v= 15. SOLUCIÓN: a) P [ ⏐T⏐ > 2.228], cuando v= 10 𝑃[𝑇 > 2. 228] 1 − 𝑃[𝑇 > 2. 228] 1 − 0. 975 0. 135 b) P [ -1.753 ≤ T ≤ 2.602 ], cuando v= 15. 𝑃[𝑇 ≤ 2. 602] − 𝑃[𝑇 ≤− 1. 753] 𝑃[𝑇 ≤ 2. 602] − 𝑃[𝑇 ≥ 1. 753] 𝑃[𝑇 ≤ 2. 602] − [1 − 𝑃[𝑇 ≤ 1. 753]] 0. 99 − [1 − 0. 95] 0. 94 12. Si la v.a. tiene una distribución F, con v 1 y v 2 grados de libertad, respectivamente. Calcular: a) P [ F ≥ 4.76 ] con v 1 = 3 y v 2 = 6 b) P [ F ≤ 3.5 ] con v 1 = 7 y v 2 = 8 a) P (F ≥ 4.76) con v1= 3 y v2= P (F3,6 ≥ 4.76) = 1 - P(F3,6 ≤ 4.76) De la tabla P (F3,6 ≤ 4.76) = 0. = 1 - 0. = 0. b) P (F ≤ 3.5) con v1 = 7 y v2 = 8 De la tabla P (F7,8 ≤ 3.5) = 0.
