¡Descarga Ejercicios sobre conjuntos y más Ejercicios en PDF de Probabilidad solo en Docsity!
Leslie Hernández Tapia
Actividad 2, conjuntos
Para realizar esta actividad:
- Lee los siguientes problemas de conjuntos tomados de (Devore, 2004).
Ejercicio 1. Una familia se acaba de cambiar a una nueva ciudad y requiere los servicios tanto
de un obstetra como de un pediatra. Existen dos clínicas médicas fácilmente accesible y cada
una tiene dos obstetras y 3 pediatras. La familia obtendrá los máximos beneficios del seguro
de salud si se une a la clínica y selecciona ambos doctores de la clínica. ¿De cuántas
maneras se puede hacer esto?
Resolviendo mediante un diagrama de árbol, hay 12 posibles combinaciones en que la
familia puede elegir una obstetra y un pediatra:
Ejercicio 2. Considere el equipo de béisbol que tiene 15 jugadores en su plantel.
a) ¿Cuántas formas existen de seleccionar 9 jugadores para la alineación inicial?
Para este problema se utiliza la fórmula de permutaciones, ya que importa el orden en el
que se seleccionen los jugadores para la alineación.
15 , 9
Hay un total de 1,816,214,400 formas de seleccionar una alineación de 9 jugadores a
partir de 15 personas.
Leslie Hernández Tapia
Actividad 2, conjuntos
b) ¿Cuántas formas existen de seleccionar 9 jugadores para la alineación inicial y
un orden al bat de los 9 inicialistas?
Primero hay que tener una alineación de 9 personas y después seleccionar un orden de bateo
para cada persona de la alineación. El problema se resuelve mediante la regla del producto:
15 , 9
14
Hay un total de 𝟔. 𝟓𝟗𝒙𝟏𝟎
𝟏𝟒
formas de seleccionar 9 jugadores para una alineación y
ordenarlos para batear.
c) Suponga que 5 de los 15 jugadores son zurdos. ¿Cuántas formas existen de
seleccionar 3 jardineros zurdos y tener las otras 6 posiciones ocupadas por
jugadores derechos?
Primero hay que formar una alineación de 9 jugadores, seleccionando 3 zurdos y 6 derechos,
el problema lo resolveré utilizando la regla del producto.
5 , 3
15 − 5 , 9 − 3
5 , 3
15 − 5 , 9 − 3
Hay 2100 formas de tener una alineación integrada por 3 jardineros zurdos y las demás
posiciones por jugadores diestros.
Ejercicio 3. Poco tiempo después de ser puestos en servicio, algunos autobuses fabricados
por una cierta compañía presentaron grietas debajo del chasis principal. Suponga que una
ciudad particular utiliza 25 de estos autobuses y que en 8 de ellos aparecieron grietas.
a) ¿Cuántas maneras existen de seleccionar una muestra de 5 autobuses de entre
los 25 para una inspección completa?
Resolviendo mediante la fórmula de combinaciones, ya que la selección de los autobuses no
implica un orden:
25 , 5
Hay un total de 53,130 maneras de elegir 5 autobuses entre los 25 que existen.
Leslie Hernández Tapia
Actividad 2, conjuntos
de ser seleccionado al igual que cualquier otro grupo (sacando 6 papelitos de entre 45 sin
reemplazarlos).
a) ¿Cuántas selecciones resultarán en que los 6 trabajadores seleccionados
provengan del turno de día?
20 , 6
Hay 38,760 formas diferentes de seleccionar 6 trabajadores de los 20 que hay en el
turno matutino.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los 6 trabajadores seleccionados sean del
mismo turno?
𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑í𝑎: 𝐶
20 , 6
15 , 6
10 , 6
45 , 6
La probabilidad de que los 6 trabajadores seleccionados sean del mismo turno es de
c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos turnos diferentes estarán
representados entre los trabajadores seleccionados?
La probabilidad de que por lo menos dos turnos diferentes estarán representados entre
los trabajadores seleccionados es del 99.46%
d) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los turnos (creo que este
enunciado esta incompleto desde el archivo de origen)
Leslie Hernández Tapia
Actividad 2, conjuntos
Ejercicio 5. Un departamento académico compuesto de cinco profesores limitó su opción para
jefe de departamento a el candidato A o el candidato B. Cada miembro votó entonces con un
papelito por uno de los candidatos. Suponga que en realidad existen tres votos para A y dos
para B. Si los papelitos se cuentan al azar, ¿cuál es la probabilidad de que A permanezca
delante de B durante todo el conteo de votos? (p. ej. ¿ocurre este evento si el orden
seleccionado es AABAB pero no si es ABBAA)?
Hay 10 combinaciones posibles (
) para seleccionar las posiciones de los votos de B:
BBAAA, BABAA, BAABA, BAAAB, ABBAA, ABABA, ABAAB, AABBA, AABAB, y AAABB.
Sólo los dos últimos tienen A por delante de B en todo el recuento de votos.
Dado que los resultados son igualmente probables, la probabilidad buscada resultará de dividir
el total de resultados entre los 2 donde A lidera:
2
10
La probabilidad de que A permanezca delante de B durante todo el conteo de votos, es
de 0.2 o 20%
Ejercicio 6. Un experimentador está estudiando los efectos de la temperatura, la presión y el
tipo de catalizador en la producción de cierta reacción química. Tres diferentes temperaturas,
cuatro presiones distintas y cinco catalizadores diferentes se están considerando.
a) Si cualquier experimento particular implica utilizar una temperatura, una presión
y un catalizador, ¿cuántos experimentos son posibles?
Los experimentos posibles resultarán de multiplicar las posibilidades para la temperatura (3),
las de la presión (4) y las del catalizador (5).
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 = ( 3 )( 4 )( 5 ) = 60
Hay 60 posibles maneras de realizar un experimento combinando temperatura, presión
y catalizador.
b) ¿Cuántos experimentos existen que impliquen el uso de la temperatura más baja
y dos presiones bajas?
Cómo solamente son 3 resultados de temperatura suponiendo que las tres fueran distintas, si
restamos 2 quedará la más baja; siguiendo la misma lógica para la presión, si restamos 2
tendremos las 2 más bajas.
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 = ( 3 − 2 )( 4 − 2 )( 5 ) = ( 1 )( 2 )( 5 ) = 10
Son 10 los experimentos que implican el uso de la temperatura más baja y dos
presiones bajas.
c) Suponga que se tienen que realizar cinco experimentos diferentes el primer día
de experimentación. Si los cinco se eligen al azar de entre todas las
posibilidades, de modo que cualquier grupo de cinco tenga la misma
Leslie Hernández Tapia
Actividad 2, conjuntos
d) Suponga ahora que los focos tienen que ser seleccionados uno por uno hasta
encontrar uno de 75 W. ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario examinar
por lo menos seis focos?
1
2
3
4
5
La probabilidad de que sea necesario examinar por lo menos seis focos hasta encontrar
uno de 75W, es de 4.3%
Ejercicio 8. Quince teléfonos acaban de llegar a un centro de servicio autorizado. Cinco de
éstos son celulares, cinco inalámbricos y los otros cincos alámbricos. Suponga que a estos
componentes se les asignan al azar los números 1, 2,... , 15 para establecer el orden en que
serán reparados.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que los teléfonos inalámbricos estén entre los
primeros diez que van a ser reparados?
5
5
5
10
10
15
La probabilidad de que los teléfonos inalámbricos estén entre los primeros diez que van
a ser reparados es de 8.3 9 %
b) ¿Cuál es la probabilidad de que después de reparar diez de estos teléfonos, sólo
dos de los tres tipos de teléfonos queden para ser reparados?
La probabilidad de que después de reparar diez de estos teléfonos, sólo dos de los tres
tipos de teléfonos queden para ser reparados es del 24.98%
c) ¿Cuál es la probabilidad que dos teléfonos de cada tipo estén entre los primeros
seis reparados?
La probabilidad que dos teléfonos de cada tipo estén entre los primeros seis reparados
es de 19.98%
Leslie Hernández Tapia
Actividad 2, conjuntos
Ejercicio 9. Tres moléculas de tipo A, tres de tipo B, tres de tipo C y tres de tipo D tienen que
ser unidas para formar una cadena molecular. Una cadena molecular como esa es
ABCDABCDABCD y otra es BCDDAAABDBCC.
a) ¿Cuántas moléculas en cadena hay? [Sugerencia: si se pudieran distinguir entre
sí las tres letras A, A1, A2, A3, y también las letras B, C y D, ¿cuántas moléculas
del tipo habría? ¿Cómo se reduce este número cuando se eliminan de las letras
A los subíndices?
12! = 479 , 000 , 600 𝑚𝑜𝑙é𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠
Habría 479,000,600 moléculas de cada tipo
12! 3! = 369 , 600 𝑚𝑜𝑙é𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠
Habría 369,600 moléculas, eliminando los subíndices A
b) Suponga que se elige al azar una molécula del tipo descrito. ¿Cuál es la
probabilidad de que las tres moléculas de cada tipo terminen una junto a la otra
(como en BBBAAADDDCCC)?
4 , 3
12 , 12
La probabilidad de que las tres moléculas de cada tipo terminen una junto a la otra es
de 0.05%
Ejercicio 10. Una profesora de matemáticas desea programar una cita con cada uno de sus
ocho asistentes, cuatro hombres y cuatro mujeres, para discutir su curso de cálculo. Suponga
que todos los posibles ordenamientos de citas tienen la misma probabilidad de ser
seleccionados.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una mujer asistente quede entre
los primeros tres con quien la profesora se reúna?
𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 3 𝑐𝑖𝑡𝑎𝑠
𝑚𝑢𝑗...
La probabilidad de que por lo menos una mujer asistente quede entre los primeros tres
con quien la profesora se reúna, es de 92.9%
