Ejercicios de autómatas y lenguajes formales, Ejercicios de Informática

¡Descarga Ejercicios de autómatas y lenguajes formales y más Ejercicios en PDF de Informática solo en Docsity!

Exercicis

Exercici 1 Donats els aut`omats de la figura:

A 1

b

a

a b

A 2 a

b

b

a

a b

A 3

a

a

b

a

b

A 4

b

a

b

b b

a

a

a

A 5

b b

a

a

b

a b

(a) Es demana obtenir un AFD per al llenguatge L(A 1 )

Soluci´o:

b

a

a b

(b) Es demana obtenir un AFD per al llenguatge L(A 3 )

Soluci´o:

a

a

b

a

b

b

a, b

(c) Es demana obtenir un AFD per al llenguatge L(A 1 ) ∪ L(A 2 )

Soluci´o:

La construcci´o per a l’operaci´o dona com a resultat un AFD complet amb tots els estats finals, per la qual cosa equivalent a l’aut`omat seg¨uent: a, b

(d) Es demana obtenir un AFD per al llenguatge L(A 1 ) ∩ L(A 2 )

Soluci´o:

La construcci´o ens d´ona un AFD complet sense cap estat final, per la qual cosa equivalent a l’aut`omat seg¨uent:

Soluci´o:

b

a

b

b b

a

a

a

(i) Es demana obtenir un aut`omat per al llenguatge (bbbab)−^1 L(A 5 )

Soluci´o:

b b

a

a

b

a b

Exercici 2 Donats els aut`omats seg¨uents:

A 1

b b b

b

c

b

a

c

a A 2

a

b

a

b

a a

b

a

b

i els homomorfismes:

h :{ a, b, c} → { 0 , 1 }∗ 



h(a) = 00 h(b) = 1 h(c) = λ

g :{  0 , 1 , 2 } → {a, b}∗ 



g(0) = ab g(1) = bbb g(2) = a

f :{  0 , 1 , 2 } → {a, b}∗ 



f (0) = ab f (1) = bab f (2) = λ

(a) Es demana obtenir un aut`omat per al llenguatge g−^1 (L(A 1 ))

Soluci´o:

Noteu que l’aut`omat A 1 ´es no determinista i que la construcci´o vista en teoria considera un DFA.

(b) Es demana obtenir un aut`omat per al llenguatge f −^1 (L(A 2 ))

Soluci´o:

2 0 ,^2

(c) Es demana obtenir un aut`omat per al llenguatge h−^1 (f −^1 (L(A 2 )))

Soluci´o:

Partim de l’aut`omat que reconeix f −^1 (L(A 2 )) (apartat b d’aquest exercici)

2 0 ,^2

b

a

a b

(b)

q 1

q 2

q 3 q 5

q 4 q 6 q 7 a

b

a

b

a a

b

a

b

a

b

b

b a

Soluci´o:

La primera partici´o d’estats distingeix entre estats finales i no finals:

π 0 = {{q 1 , q 2 , q 4 , q 5 , q 7 }, {q 3 , q 6 }}

Tenint en compte aquesta primera partici´o:

a b

B 1

q 1 q 2 ∈ B 1 q 3 ∈ B 3 q 2 q 5 ∈ B 1 q 4 ∈ B 1 q 4 B 1 B 3 q 5 B 1 B 3 q 7 B 1 B 3 B 3 q 3 B 1 B 3 q 6 B 1 B 3

Es pot vore que l’estat q 2 es comporta de forma diferent a la resta d’estats en el seu bloc, per tant, la partici´o es refina:

π 1 = {{q 1 , q 4 , q 5 , q 7 }, {q 2 }, {q 3 , q 6 }}

a b

B 1

q 1 q 2 ∈ B 2 q 3 ∈ B 3 q 4 q 2 ∈ B 2 q 6 ∈ B 3 q 5 B 2 B 3 q 7 B 1 B 3 B 2 q 2 −− −− B 3 q 3 B 2 B 3 q 6 B 1 B 3

Les entrades corresponents al bloc B 2 de la partici´o no s´on necess`aries ja que aquest bloc cont´e un ´unic estat, i per tant, no es va a refinar. En aquesta iteraci´o, l’estat q 7 es comporta de forma diferent a la resta d’estats en el seu bloc, i Passa el mateix amb l’estat q 3. El refinamient de la partici´o queda:

π 2 = {{q 1 , q 4 , q 5 }, {q 2 }, {q 3 }, {q 6 }, {q 7 }}

a b

B 1

q 1 B 2 B 3 q 4 B 2 B 6 q 5 B 2 B 3 B 2 q 2 −− −− B 3 q 3 −− −− B 6 q 6 −− −− B 7 q 7 −− −−

En aquesta iteraci´o ´es l’estat q 4 el que es distingeix. El refinamient de la parti- ci´o queda:

π 3 = {{q 1 , q 5 }, {q 2 }, {q 3 }, {q 4 }, {q 6 }, {q 7 }}

a b B 1 q 1 B 2 B 3 q 5 B 2 B 3 B 2 q 2 −− −− B 3 q 3 −− −− B 4 q 4 −− −− B 6 q 6 −− −− B 7 q 7 −− −−

En aquesta iteraci´o la partici´o no es refina. L’aut`omat m´ınim equivalent ´es el seg¨uent:

a b

B 1 q 1 B 2 B 3 q 5 B 2 B 1

B 2 q 2 B 1 B 3 q 6 B 3 B 3

B 3 q 3 B 1 B 3 q 4 B 1 B 1 Tots los blocs es refinen, resultant en la partici´o:

π 1 = {{q 1 }, {q 2 }, {q 3 }, {q 4 }, {q 5 }, {q 6 }}

que no es pot refinar m´es. Per tant l’aut`omat ja era m´ınim.

(d)

a

b

a

b

a a

b

a

b

Soluci´o:

L’aut`omat no ´es complet, despr´es de completar-lo queda:

q 1

q 2

q 3 q 4

q 5 q 6 a

b

a

b

a a

b

a

b

b

a, b

La primera partici´o d’estats distingeix entre estats finals i no finals:

π 0 = {{q 1 , q 2 , q 3 , q 4 , q 6 }, {q 5 }}

Tenint en compte aquesta primera partici´o:

a b

B 1

q 1 B 1 B 1 q 2 B 1 B 5 q 3 B 1 B 1 q 4 B 1 B 1 q 6 B 1 B 1 B 5 q 5 −− −−

Creem un bloc amb l’estat q 2 amb la qual cosa la partici´o queda:

π 1 = {{q 1 , q 3 , q 4 , q 6 }, {q 2 }, {q 5 }}

a b

B 1

q 1 B 2 B 1 q 3 B 2 B 1 q 4 B 2 B 1 q 6 B 1 B 1 B 2 q 2 −− −− B 5 q 5 −− −−

L’estat q 6 i la partici´o queda:

π 2 = {{q 1 , q 3 , q 4 }, {q 2 }, {q 5 }, {q 6 }

a b

B 1

q 1 B 2 B 1 q 3 B 2 B 1 q 4 B 2 B 1 B 2 q 2 −− −− B 5 q 5 −− −− B 6 q 6 −− −−

En aquesta iteraci´o la partici´o no es refina. L’aut`omat m´ınim equivalent ´es el seg¨uent:

q 1 q 2 q 5 q 6

a

a

b

a

b

b a, b