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Contrastes para los par´ametros de dos poblaciones Normales
independientes.
Varianzas desconocidas distintas
Ejercicios Tema 6 (Resuelto)
1. Problema 5
Con objeto de conocer si se ha producido eutrofizaci´on en el lago 2 y sabiendo que el incremento en la concentraci´on de f´osforo favorece el crecimiento de ciertas poblaciones de fitoplancton se han muestreado los niveles de f´osforo en dicho lago y se ha comparado con el muestreo realizado en el lago 1, con condiciones similares y cuyo estado se asume no alterado, obteniendo como resultado las siguientes observaciones:
L1 6.856 27.452 3.039 38.1 17.448 15.505 33.437 11.03 19.922 44.371 21.874 8.635 49.993 52.41 26. L2 21.831 38.575 26.855 18.067 34.807 35.114 24.732 29.129 19.969 20.031 44.512 35.549 31.834 38.068 27.
Tras el an´alisis de dichos datos, y suponiendo que las observaciones siguen una distribuci´on normal, ¿se podr´ıa afirmar que existe eutrofizaci´on?
1.1. Resoluci´on
1.1.1. Planteamiento del contraste
Dado que puede asumirse que el crecimiento en fitopancton puede utilizarse como indicador del aumento de la concentraci´on de f´osforo, que a su vez es indicador de la eutrofizaci´on, puede plantearse que el aumento de dicho crecimiento en el lago 2 para la especie analizada se debe a dicha eutrofizaci´on y por tanto se debe comprobar si existen diferencias entre ambos lagos, asumiendo que la muestra obtenida en el primer lago corresponde a datos en una zona no alterada. Por tanto, y dado que se dispone de datos para los dos lagos, es factible utilizar un contraste para los par´ametros de dos poblaciones, en este caso para las diferencias de las medias y varianzas de las poblaciones σ desconocidas al no disponer de sus valores, con objeto de comprobar si la muestra en el lago 2 se comporta conforme a los datos obtenidos en el lago 1 no alterado, demostr´andose en caso contrario que si hay afecci´on y por tanto eutrofizaci´on.
1.1.2. Planteamiento de la hip´otesis
Sea X la variable aleatoria crecimiento del fitoplancton en el lago 1 e Y la variable aleatoria cre- cimiento del fitoplancton en el lago 2, y sabiendo seg´un el enunciado del ejercicio y el planteamiento propuesto que se quiere conocer si existen diferencias entre las dos variables mediante el contraste de las diferencias de sus medias, se podr´ıa plantear un contraste unilateral con las siguientes hip´otesis:
H 0 : La media poblacional de X es mayor o igual que la de Y H 1 : La media poblacional de X es menor que la de Y
→ β → α = 0. 05 H 0 : μx ≥ μy H 1 : μx < μy
→ H 0 : μx − μy ≥ 0 → H 1 : μx − μy < 0
→ β → α = 0. 05
Varianzas desconocidas distintas
1.1.3. Requisitos del contraste y datos necesarios para su desarrollo
a) Datos necesarios
Para poder analizar los requisitos y desarrollar el contraste se necesitan conocer los siguientes datos:
X Y x = 25. 0969 y = 29. 7619 Sx = 15. 7185 Sy = 7. 9566 S x^2 = 247. 0712 S^2 y = 63. 3075 nx = 15 ny = 15
b) Requisitos
En lo referente a los requisitos, se debe comprobar previamente que las variables aleatorias se ajustan a una distribuci´on Normal, dado que se asume para este tipo de contrastes que la distribuci´on
muestral de las diferencias de las medias es X¯ − Y¯ ≈ N
μx − μy ;
σ^2 x nx +^
σ^2 y ny
. La normalidad se puede
analizar a partir de un contraste de bondad de ajuste como el de Kolmogorov-Smirnof. No obstante, en el ejercicio ya se dice y por tanto no es necesario realizarlo. El siguiente requisito a conocer en el caso de este tipo de contraste es si las varianzas son iguales o diferentes, que definir´a el tipo de contraste y estad´ıstico experimental a utilizar. Para ello debe plantearse y desarrollarse un contraste de igualdad de varianzas basado en el cociente de las varianzas. En este caso, las hip´otesis ser´an:
H 0 : σ^2 x = σ^2 y H 1 : σ^2 x 6 = σ^2 y
→ H 0 : σ x^2 /σ^2 y = 1 → H 1 : σ x^2 /σ^2 y 6 = 1
→ β → α = 0. 05 Desarrollando con el m´etodo simplificado del contraste, tenemos que:
S^2 mayor S^2 menor
Fnnum− 1 ,ndenom− 1 ,α/ 2 ⇒ SE RECHAZA H 0
- 0712
- 3075
= 3. 9027 > 2. 97851 = F 14 , 14 , 0. 025 ⇒ SE RECHAZA H 0
1.1.4. Estad´ıstico de contraste
Como las varianzas son desconocidas y distintas, el estad´ıstico experimental a utilizar ser´a el de una t de Student que habr´a que comparar con el correspondiente punto cr´ıtico. texpt y tteo se definen en este caso como:
texpt =
X − Y¯
− (μx − μy ) √ §^2 x nx +^
§^2 y ny Pc = tteo = tm,α
Dado que las varianas son diferentes, se debe obtener m como aproximaci´on a los grados de libertad de la funci´on t:
m =
(S
(^2) x/nx+S (^2) y /ny )^2 (S^2 x/nx)^2 nx− 1 +^
(S^2 y /ny )^2 ny − 1
(^1) Valor obtenido a partir de R. En el caso de utilizar las tablas de F se debe escoger el valor para los gl del numerador m´as pr´oximo inferior a 14 al no estar definido ´este en la tabla.
Varianzas desconocidas distintas
1.1.6. Representaci´on gr´afica del contraste
1.1.7. Conclusi´on biol´ogica
En base al contraste y el p-valor obtenido se puede concluir que no existe evidencia estad´ıstica en contra de H 0 como para poder ser rechazada a ninguno de los nivel de significaci´on habituales. Por tanto se puede concluir que no existen diferencias significativas en el crecimiento del fitoplanc- ton en las dos muestras estudiadas y por tanto no hay evidencia estad´ıstica suficiente como para concluir que existe eutrofizaci´on.
