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PROBLEMA 5
Se tiene la fuerza
F =( 21
^
i + 14
^
J )^ kN. Resuelva la fuerza en sus componentes
vectoriales paralela y normal a la línea OA.
Solución:
Respecto al vector A: ⃗
A =(^6
^
i − 2
^
j + 3
^
k )^ → |
A |=√ 6
2
2
2
= 7 m
Su vector unitario de A es:
u ^ A
A
|
A |
→ ^ u A
(
^
i −
^
j +
^
k
)
Por lo tanto, la componente paralela, o proyección de ⃗ F sobre A es:
F
P
=( u ^ ⋅F
P
) u ^^ →
F
P
=( u ^
a
⋅ F
P
) u ^
a
F
P
((^
^
i −
^
j +
^
k
)
^
i + 14
^
J )
)
u ^ a
F
P
(
^
i −
^
j +
^
k
)
F
P
^
i − 4
^
j + 6
^
k ) kN
La componente normal se obtiene de:
F
n
F −
F
P
F
n
^
i + 14
^
J )−( 12
^
i − 4
^
j + 6
^
k ) →
F
n
^
i + 18
^
J − 6
^
k ) kN
PROBLEMA 1.
Determine las componentes F x
, F
y
, y F z
, de la fuerza ⃗ F que actúa en un
tetraedro como se muestra. Las cantidades a, b, c y F son conocidos, y M es
punto medio del lado AB.
Solución:
Ahora:
M ( OQ ,QM , 0 ) →
M
a
b
→ M =
√ a
2
2
P (0,0 , − OP )
M ( OQ , QM , 0 )
Q
a
a
Q
QA
OA
AM
BM
QA
a
√ a
2
2
√ a
2
2
QA
a
→QA =
a
= OQ
QA =
a
AM =
√ a
2
2
√ a
2
2
2
a
2
+( QM )
2
→
a
2
2
a
2
+ ( QM )
2
( QM )
2
a
2
2
a
2
→ (^ QM )
2
b
2
→ QM =
b
OP
OM
OM
OC
→ OP =
√ a
2
2
2
c
→ OP =
a
2
2
4 c
F = F u ^ PM
F = F
a
^
i +
b
^
J +
a
2
2
4 c
^
k
a
2
b
2
( a
2
2
2
16 c
2
F = F
a
^
i + b
^
J +
a
2
2
2 c
^
k
a
2
2
( a
2
2
2
4 c
2
Donde :
P (^ 0,0 , − OP )^ →
P
a
2
2
4 c
Determine la magnitud requerida de
F
1
F
2
y
F
3
, de modo que el momento de
par resultante sea (
Mc ) R
=(^50
^
i − 45
^
J − 20
^
k )^ Nm.
RESOLUCIÓN:
Obtenemos la posición de los vectores:
r ⃗ 1
^
i
r ⃗ 2
^
j
r ⃗ 3
^
j
La
F
4
actua sobre un plano inclinado por lo que la forma de hallar
será diferentes a de los demás
En la componente “x” será:
cos 45 ° =
( r
4
x
0.3 cos 30 °
( r^
4
x
=(cos 45 ° )0.3 cos 30 °
( r^
4
x
(
√ 2
)
(
√ 3
)
( r^
4
x
(^3) √ 6
En la componente “y” será:
sen 45 ° =
r
4 )^ y
0.3 cos 30 °
r
4 )^ y
= sen 45 ° ( 0.3 cos 30 ° )
( r^
4
y
= sen 45 ° ( 0.3 cos 30 ° )
( r
4
y
(
√ 2
)
(
√ 3
)
( r^
4
y
3 √ 6
En la componente “z” será:
( r^
4
z
=0.3 sen 30 °
( r^
4
z
Entonces la posición del vector r ⃗^ 4
será:
⃗ r 4
(^3) √ 6
^
i +
(^3) √ 6
^
j +
^
k
Ahora calculamos los momentos:
M
1
= ⃗ r 1
×
F
1
M
1
^
i× F 1
^
k
M
1
=−0.2 F
1
^
j
M
2
= ⃗ r 2
×
F
2
M
2
^
j × F 2
^
k
M
2
=0.2 F
2
^
i
M
3
= ⃗ r 3
×
F
3
M
2
^
j × F 3
^
i
M
2
=−0.2 F
3
^
k
PROBLEMA VIZCARRAAA
La esquina de una tienda de campaña se sostiene con tres cuerdas que
muestran las fuerzas. Se desea calcular la suma de los producto cruz
M
O
= ⃗ r O A
×
F
A B
×
F
A C
×
F
A D
donde ⃗ r O A
está el vector de posición
desde los puntos O a A,
F
A B
es la fuerza dirigida desde los puntos A a B, y
así sucesivamente.
a) En lugar de calcular tres productos cruz separados para encontrar
M
O
, Hacer uso de las propiedades del producto cruz que permite
encontrar
M
O
usando un solo producto cruz.
b) Determinar
M
O
Solución:
El momento para el punto “O” aplicando propiedades es:
M
O
= ⃗ r O A
× (
F
A B
F
A C
F
A D
Para poder hallar las respectivas fuerzas primero hallamos las
coordenadas de cada punto:
A ( 0,0,96)∈ ; B (72,0,0)∈¿
C (72,72,0)∈ ; D (0,72,0)∈¿
La posición del vector de O hasta A es:
r ⃗ O A
=(^0 − 0 )^
^
i + (^0 − 0 )^
^
j +(^96 − 0 )^
^
k
r ⃗ O A
^
k in
La fuerza que actúa con respecto AB es:
F
A B
[
^
i + ( 0 − 0 )
^
j + ( 0 − 96 )
^
k
√^72
2
+(− 96 )
2 ]
F
A B
[
^
i + (− 96 )
^
k
]
F
A B
^
i − 120
^
k lb
La fuerza que actúa con respecto AC es:
F
A C
[
^
i + ( 72 − 0 )
^
j +( 0 − 96 )
^
k
√^72
2
2
+(− 96 )
2 ]
F
A C
[
^
i +(^72 )^
^
J +(− 96 )^
^
k
24 √ 34
]
F
A C
^
i + 51,
^
J −68,
^
k lb
La fuerza que actúa con respecto AD es:
F
A D
[
^
i +( 72 − 0 )
^
j +( 0 − 96 )
^
k
√^72
2
2 ]
F
A D
[
^
J + (− 96 )^
^
k
]
F
A D
^
J − 200
^
k lb
La sumatoria de fuerzas es:
F
A B
F
A C
F
A D
^
i − 120
^
k )^ +(^ 51,
^
i +51,
^
J −68,
^
k )^ + 150
^
J − 200
^
k
^
i +(^ 201.45)^
^
J +(−388.6 )^
^
k
El momento respecto a “O” es:
M
O
= ⃗ r OA
× (
F
AB
F
AC
F
AD
M
O
^
k × ( 141.
^
i +201.
^
j −388.
^
k )
M
O
|
^
i
^
j
^
k
|
M
O
^
i +13579.
^
j
Hallamos el momento resultante:
M
R
^
i −25.
^
k +6.
^
j −11.
^
k
M
R
^
i + 6.
^
j − 37_._ 18
^
k
