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ejercicios de estadistica libro de triola
Tipo: Ejercicios
1 / 12
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CATEDRÁTICO: Mg. Oswaldo Quiroz Marin
3.1 Determine si los valores dados pueden servir como valores de una distribución de
probabilidad de una variable aleatoria con el intervalo x = 1, 2, 3 y 4:
Para poder saber si los valores de esta distribución de probabilidad sirven tenemos
que tener en cuenta el teorema:
f ( x ) ≥ 0
x
❑
❑ f ( x ) = 1
(a) f ( I )=0.25_. f_ ( 2 )=0.75 , f ( 3 )=0.25 y f ( 4 )=− 0 .2 5 ;
Basándonos en el teorema nos damos cuenta que la
f ( 4 ) no cumple la primera
condición ,por lo tanto lo tanto los valores de la distribución no sirven para esta
variable aleatoria.
(b) f ( l )=0.15 , f ( 2 )=0.27_. f_ ( 3 )=0.29 y f ( 4 )=0.29 ;
En cada una de estas funciones de probabilidad se cumple la primera condición,
para verificar la segunda condición debemos sumar los resultados de cada
función y esta sumatoria debe resultar 1, en las funciones dadas si se cumple la
segunda condición. Por lo tanto, estos valores de la función de probabilidad si
sirven para esta variable aleatoria.
(c)
f ( I )=
, f ( 2 )=
, f 3 ¿=
yf ( 4 )=
En cada función de probabilidad se cumple la primera condición, pero no se cumple la
segunda condición por ello se concluye los valores de la distribución de la probabilidad no
sirven para esta variable aleatoria.
3.2 Determine si la función dada puede servir como distribución de probabilidad de una
variable aleatoria con el intervalo dado:
(a)
f ( x )=
x − 2
para x = 1, 2, 3, 4, 5;
b)
f ( x )= c
(
x
)
para x =0,1,2,3,4,5 ; rpta: 0 ≤ c < 1
c) f ( x )= c x
2
para
x =0,1,2,3 , … , k ; rpta: 0
d)
f ( x )= c
(
x
)
para
x =0,1,2,3 , … rpta: 0
3.5 ¿Para qué valores de k
f ( x )=( 1 − k ) k
x
puede servir como los valores de la distribución de probabilidad de u n a variable aleatoria
con el intervalo infinito numerable
x = 0_._ 1_._ 2_._ ... ?
0 < k <1.
3.6 Demuestre que no hay valores de c tales que
f ( x )=
c
x
pueda servir como los valores de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria
con el intervalo infinito numerable x = 1 , 2 , 3 , …
c puede tomar los valores entre 0 y 1
3.7 Construya un histograma de probabilidad para cada una de las siguientes
distribuciones de probabilidad:
(a)
f ( x )=
(
x
)(
3 − x
)
(
)
para x= 0,1,
f
(
)(
)
(
)
f
(
)(
)
(
)
f
(
)(
)
(
)
(b)
f
x
(
x
)
(
)
x
(
)
5 − x
para x=0, 1, 2, 3, 4,5.
f
(
)
(
)
0
(
)
5 − 0
f
(
)
(
)
1
(
)
5 − 1
f
(
)
(
)
2
(
)
5 − 2
f
(
)
(
)
3
(
)
5 − 3
f
(
)
(
)
4
(
)
5 − 4
f
(
)
(
)
5
(
)
5 − 5
Vamos a mencionar 2 propiedades importantes:
Los valores de F(x) se encuentran siempre en este intervalo: 0 ≤ F(x) ≤ 1.
F(x) no es una función decreciente.
Además, para la función de distribución acumulativa de la variable aleatoria
discreta, se cumple que:
Por lo tanto el punto (c) F (1) = 0.25, F {2) = 0.61, F (3) = 0.83. y F (4) = 1.0. Es el
único que cumple la propiedad.
3.10 Encuentre la función de distribución de la variable aleatoria del inciso (a) del ejercicio
3.7 y dibuje su gráfica.
a
f
x
(
x
)(
3 − x
)
(
)
Para x =0,1,
f ( x )=
{
3.11 Encuentre la función de distribución de la variable aleatoria que tiene la distribución
de probabilidad
f ( x )=
x
Para x =0,1,
f ( x )=
{
3 .12 Si X tiene la función de distribución
f ( x )=
{
c) La distribución de probabilidad de X
x f(x)
3.13 Si
tiene la función de distribución
F ( x )=
{
0 para x ← 1
para − 1 ≤ x < 1
para 1 ≤ x < 3
para 3 ≤ x < 5
1 para x ≥ 5
Encuentre:
a) P ( X ≤ 3 )
Utilizamos la teoría que nos dice que P ( X ≤ a )= F ( a )
b) P ( X = 3 )
Utilizamos la propiedad de
P ( X = a )= F ( a )− F ( a − 1 )
c) P ( X < 3 )
d)
Utilizamos lo siguiente: P ( X ≥ a )= 1 − P ( X < a )
e) P (−0.4< X < 4 )
Utilizamos la siguiente propiedad:
P ( a < x < b )= F ( b )− F ( a )− P ( X = b )
P (−0.4< x < 4 ) = F ( 4 )− F (−0.4) − P ( X = 4 )
P (−0.4< x < 4 ) =
(
)
P (−0.4< x < 4 ) =0.
f) P ( X = 5 )
Utilizamos la propiedad de P ( X = a )= F ( a )− F ( a − 1 )
3.14 Con respecto al ejemplo 3.4, verifique que los valores de la función de distribución
están dados por
F ( x )=
x
2
para x = 1 , 2 , 3 , 4 y 5.
Del ejemplo 3.4 tenemos que:
f ( 1 ) =
f ( 2 )=
f ( 3 )=
f ( 4 )=
f ( 5 )=
F ( x )=
0 para x < 1
para 1 ≤ x < 2
para 2 ≤ x < 3
para 3 ≤ x < 4
para 4 ≤ x < 5
1 para x ≥ 5
Reemplazando los valores de
x en
F ( x ) verificaremos que esta función de distribución si
cumple con la distribución de probabilidad.
x
x
2
