ejericio 12 cap 8 golstein, Ejercicios de Física Clásica

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Las coordenadas de laboratorio (x,y) son:

y R t r t

x R t r t

 

 

sin cos

cos sin

Y realizando algebra se puden optener las coordenadas de giro (R,r) apartir de (x,y):

r y t x t

R x t y t

 

 

cos sin

cos sin

Escribimos la energia cinetica T para las coord de laboratorio

 2 ^2

T m x y

El potenial es :

   

(^22) 0

V  k R  R  r

Ahora en coord de lab queda :

   

(^22)

cos sin 0 ( cos sin )

V  k x  t  y  t  R  y  t  x  t

Entonces el lagragiano queda :

   

(^22) 0

2 2

cos sin ( cos sin ) 2

L m x y  k x  t  y  t  R  y  t  x  t 

 

Ahora la función de energia h es :

m

P

my y

y

L

P

m

P

mx x

x

L

P

h xP yP L

y y

x x

x y

 



 



 

Por lo tanto el hamiltoniano es:

   

(^22) 0

2 2

cos sin ( cos sin )

P P k x t y t R y t x t

m

H  x  y         

Notemos que como el tiempo aparece en forma explicita, el hamiltoniano no se conserva pero la energia mecanica si se conserva

H  T  V

Ahora hallemos el hamiltoniano en coord de giro:

x  R cos  t  R sin t  r sin t  r cos  t

  

y  R sin  t  R cos t  r cos t  r sin  t

  

Simplificando :

 

  

   

  

  

  

x cos t R r  sen  t r R 

  

y sin t R r  cos t r R 

Por lo tanto :

y

x

R cosѠt

R sinѠt

r sinѠt

  

   

   

     

 

   

  

  

  

  

 



 



 

 

 

2 2

2 2 2 2

(^22) 0

2 2

(^22) 0

2 2

(^22) 0

(^22) 0

2 2

sin cos

sin cos cos sin

cos

cos sin sin cos

cos sin ( cos sin ) 2

cos sin

cos sin

T m R r r R

x y R r r R

y t R r t r R

y R t R t r t r t

x t R r sen t r R

x R t R t r t r t

H T V

P P k R R r rP RP m

H

R

m

P

mr R r

r

L

P

r m

P

m R r R

R

L

P

h RP rP L

L m R r r R k R R r

V k x t y t R y t x t

V k R R r

T m x y

r y t x t

R x t y t

R r R r

r r

R R

R r