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Debido a este teorema, los números combinatorios se llaman también coeficientes binomiales. Aunque es común atribuir a este teorema de Newton, ya aparece en los ...
Tipo: Apuntes
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Pablo L. De Nápoli
Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires
Álgebra I - Segundo cuatrimestre de 2020
Este proceso puede continuar para los siguientes valores de n. Pero vamos a
hacerlo mediante un programa en Ptyhon 3 usando Sagemath
var("x")
var("y")
b=x+y
Newton = 1
for n in range (1 ,8):
Newton = expand (Newton * b)
print("(x+y)^"+str(n)+"&=",latex(Newton ),"\\")
Pueden descargar Sagemath en https://www.sagemath.org/
(x + y)^1 = x + y
(x + y)^2 = x^2 + 2 xy + y^2
(x + y)^3 = x^3 + 3 x^2 y + 3 xy^2 + y^3
(x + y)^4 = x^4 + 4 x^3 y + 6 x^2 y^2 + 4 xy^3 + y^4
(x + y)
5 = x
5
4 y + 10 x
3 y
2
2 y
3
4
5
(x + y)
6 = x
6
5 y + 15 x
4 y
2
3 y
3
2 y
4
5
6
(x + y)
7 = x
7
6 y + 21 x
5 y
2
4 y
3
3 y
4
2 y
5
6
7
vemos que ¡aparecen como coeficientes los números combinatorios!
(x + y)
x
0 y
1
x
1 y
0
(x + y)
1 = x + y
En la primera suma hacemos el cambio de índice k = j − 1, o sea j = k + 1
∑^ n −^1
k = 0
n
k
x
k + 1 y
∑^ n
j = 1
n
j − 1
x
j y
n −( j − 1 )
Lo que también podemos escribir como
n ∑− 1
k = 0
n
k
x
k + 1 y
∑^ n
k = 1
n
k − 1
x
k y
n + 1 − k
ya que la segunda suma es la misma si a la variable la volvemos a llamar k en
lugar de j.
Sustituyendo nos queda:
(x + y)
∑^ n
k = 1
n
k − 1
x
k y
n + 1 − k
n
n
x
n + 1 y
0
n
0
x
0 y
n + 1
∑^ n
k = 1
n
k
x
k y
n + 1 − k
Pero ¡ahora podemos juntar las dos sumatorias en una!
(x + y)
n
0
x
0 y
n + 1
∑^ n
k = 1
n
k − 1
n
k
x
k y
n + 1 − k
n
n
x
n + 1 y
0
El binomio de Newton es útil para probar distintas identidades que cumplen los
números combinatorios. Algunos ejemplos aparecen en los ejercicios 25 y 26 de la
práctica 3. Veamos una como ejemplo:
n + m
r
∑^ r
j = 0
m
j
n
r − j
En particular si tomamos n = m = r , como
( n
j
n
n − j
nos queda: ( 2 n
n
∑^ n
j = 0
n
j
n
n − j
∑^ n
j = 0
n
j
que es la identidad del ejercicio 25, item iv de la práctica 3.
Consideremos dos polinomios,
∑^ m
j = 0
a j · x
j , Q =
∑^ n
k = 0
b k · x
k
El producto entre ellos se define usando la propiedad distributiva
∑^ m
j = 0
∑^ n
k = 0
a j · b k x
j x
k
Si agrupamos los términos que tienen el mismo exponente j + k = r , nos queda
n ∑+ m
r = 0
c r x
r
donde
c r =
0 ≤ j ≤ m , 0 ≤ k ≤ n j + k = r
a j · b k =
∑^ r
j = 0
a j · b r − j
En particular, si elegimos P = ( 1 + x)
m , Q = ( 1 + x)
n tendremos
a j =
m
j
, b k =
n
k
por el binomio de Newton, pero
P · Q = ( 1 + x)
n · ( 1 + x)
m = ( 1 + x)
n + m
entonces usando de nuevo el binomio de Newton
c r =
n + m
r
y reemplazando en la fórmula para los coeficientes c r de P · Q obtenmos la
identidad de Vandermonde
c r =
∑^ r
j = 0
a j · b r − j =
∑^ r
j = 0
m
j
n
r − j
