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Resumen conceptual. Aportación Riemann. Contribución Stieljes
Jose Luis Palma Oliva
Aportacion de Riemann
La suma de Riemann es un modelo de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo la curva. Este método es útil cuando no s posible utilizar el Teorema Fundamental del Calculo. Si f:[D] -> R donde D es un subconjunto de los números reales I= [a,b], intervalo cerrado contenido en D Conjunto finito de puntos {xo, x1, x2,…..,xn} tales que a = x0<x<xn=b crean una partición de I que llamamos P. P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición p se define como : Si yi=xi-1 para todo i, entonces S= suma de Riemann por la izquierda Si yi= xi para todo i, entonces S= suma de Riemann por la derecha El problema que presenta este método de integración numérico es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande
Representacion grafica:
Contribucion Stieljes
La integral de Riemann-Stieltjes es una extensión del concepto de Integral de Riemann que permite ampliar el potencial de esta herramienta. A diferencia de la integral de Riemann, que depende de una sola función f(x) llamada integrando, la integral de Riemann-Stieltjes depende de dos funciones, el integrando f(x) y una función α (x) llamada integrador. Para la integral de Riemann-Stieltjes se utiliza el siguiente símbolo:
Para definir la integral de Riemann utilizamos la norma de una partición, esta definición se puede ampliar a que sea parecida a la de Riemann-Stieltjes, esta integral se llama la ()-integral (que de hecho esta es la definición que originalmente propuso Stieltjes, y que luego Pollard, propondría la que actualmente usamos, la que está arriba): Una función f acotada definida en un intervalo [a, b] se dice que es ()- integrable con respecto a α en [a, b] si existe un número I en los reales tal que, para todo número real positivo 0 3B 5 existe una 0 3B 4 positiva tal que si P es una partición de [a, b] con ||P || < 0 3B 4y S(P, f, α ) es cualquier suma de Riemann-Stieltjes entonces |S(P, f, α ) - I| < 0 3B 5. El problema con esta definición es que no nos permite derivar todas las propiedades que nos gustaría, específicamente existen funciones que son (*)- integrables con respecto a otra función en los intervalos [a,c] y [c,b], pero que no lo son en [a,b], un ejemplo de tales funciones es el siguiente: Sean f y α las siguientes funciones:
